Решение задач B14 из ЕГЭ по математике

Автор

Пятница, 11 мая, 2012

Решение задач B14 из ЕГЭ по математике

Задание B14 в ЕГЭ по математике завершает первую его часть, представляющую собой, по сути, итоговую контрольную работу по курсу математики 11 класса. К выполнению заданий только первой части ЕГЭ репетиторы по математике готовят учащихся, цель которых — спокойная сдача экзамена и получение хорошей отметки по математике в аттестат. Во второй части ЕГЭ по математике присутствуют задания, умение решать которые понадобится выпускникам, собирающимся поступать в вузы, учебная программа которых в той или иной мере связана с математикой, на что обращает внимание при подготовке своих занятий профессиональный репетитор.

Задача B14 из ЕГЭ 2012 по математике соответствует задаче B11 из ЕГЭ 2011 по математике и представляет собой задание на исследование элементарных функций (дробно-рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных, логарифмических). Чаще всего это исследование сводится к нахождению наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке или же максимума (минимума) функции. Существует два различных подхода к решению этих задач: с использованием и без использования понятия производной функции. В статье представлен краткий обзор каждого из них.

Решение задач B14 с помощью производных

Что нужно знать для решения задач на исследование функций с помощью понятия производной из ЕГЭ по математике. Выделим здесь три основных пункта:

1. Безупречное знание производных элементарных функций, изучаемых в школьном курсе математики. Обязательно выучите из наизусть!

Таблица производных элементарных функций

Функция Производная
Постоянная (C)' = 0,\, C = const
Степенная \left(x^{\alpha})' = \alpha\cdot x^{\alpha-1}\right,\, \alpha\in R
Показательная \left(a^x\right)' = a^x\ln a,\, a>0,\, a\ne 1
Экспоненциальная \left(e^x\right)'=e^x
Синус \left(\sin x\right)' = \cos x
Косинус \left(\cos x\right)'=-\sin x
Тангенс \left(\operatorname{tg} x\right)'=\frac{1}{\cos^2 x},\, x\ne \frac{\pi}{2}+\pi k,\, k\in Z
Котангенс \left(\operatorname{ctg} x\right)'=-\frac{1}{\sin^2 x},\, x\ne\pi k,\, k\in Z
Логарифмическая \left(\log_a x\right)' = \frac{1}{x\ln a},\, x>0,\, a>0,\, a\ne 1
Натуральный логарифм \left(\ln x\right)' = \frac{1}{x},\, x>0
Арксинус \left(\operatorname{arcsin} x\right)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\, |x|<1
Арккосинус \left(\operatorname{arccos} x\right)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\, |x|<1
Арктангенс \left(\operatorname{arctg} x\right)' = \frac{1}{1+x^2}
Арккотангенс \left(\operatorname{arcctg} x\right)' = -\frac{1}{1+x^2}

2. Безупречное знание и умение применить на практике основные правила вычисления производных. Это одно из основополагающих обстоятельств, определяющих математическую грамотность человека.

Основные правила вычисления производных

Название правила Математическое описание
Производная суммы функций (f+g)'=f'+g'
Производная разности функций (f-g)'=f'-g'
Производная произведения функций (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'
Производная частного функций \left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2},\,g\ne 0

Правило вычисления производной произведения имеет полезное следствие, которое также требуется запомнить: если f=C=const, то (C\cdot g)'=C\cdot g' (постоянный множитель можно выносить за знак производной).

3. Знание и понимание алгоритмов нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции, а также максимума (минимума) функции с использованием понятия производной функции (подробнее об этом читайте в статье «Решаем задачи B14 из ЕГЭ»). Когда дело доходит до алгоритмов, без конкретных примеров не обойтись, разбором которых мы сейчас и займемся.

Алгоритм нахождения наименьшего или наибольшего значения функции на отрезке

Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке

Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке

Задача для самостоятельного решения №1. Найдите наибольшее значение функции y=x+\frac{9}{x} на отрезке [-4;-1].
Показать ответ
Ответ: -6.

Алгоритм нахождения точки максимума или минимума функции

Алгоритм нахождения максимума или минимума функции

Алгоритм нахождения максимума или минимума функции

Задача для самостоятельного решения №2. Найдите точку минимума функции y=x-5\ln x.
Показать ответ
Ответ: 5.

Задачи, подобные данным, предлагаются выпускникам школ в заданиях B14 на ЕГЭ по математике. Это, скажет так, тот «минимум», который должен, по мнению составителей ЕГЭ, освоить каждый современный человек. Ну и ни для кого не секрет, что этим минимумом большинство и ограничивается. Мы же с вами не будем уподобляться «читателям газет» из замечательного стихотворения Марины Цветаевой и решим еще одну задачу, связанную с исследованием функции на максимальное значение с использованием понятия производной.

Пример 1. Докажите, что прямоугольник с данной диагональю d имеет наибольшую площадь, если он квадрат.

Решение. Обозначим одну из сторон такого прямоугольника за x. Тогда длина второй стороны может быть определена из теоремы Пифагора и будет равна \sqrt{d^2-x^2}. Тогда его площадь равна S=x\sqrt{d^2-x^2}. Фактически это функция от переменной x. Определим при каком значении x, эта функция принимает наибольшее значение.

Область определения данной функции определяется промежутком x\in (0;d).. Находим производную.

    \[ \frac{dS}{dx}=\sqrt{d^2-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{d^2-x^2}}=\frac{d^2-2x^2}{\sqrt{d^2-x^2}}. \]

В области определения функции производная обращается в ноль в точке x=\frac{d}{\sqrt{2}}, при этом знак производной меняется с плюса на минус. Следовательно, это единственная точка максимума, и максимальное значение данная функция принимает именно в ней. Но прямоугольник с диагональною d и стороной \frac{d}{\sqrt{2}} — это квадрат (следует из теоремы Пифагора). Что и требовалось доказать.

Задача для самостоятельного решения №3. Из всех прямоугольников, у которых две вершины лежат на оси OX «внутри параболы», а две другие — на параболе y=3-x^2, выбран прямоугольник с наибольшей площадью. Найти эту площадь.
Показать ответ
Ответ: 4.

Решение задач B14 без использования понятия производной

Возможно некоторым школьникам, привыкшим решать задачи по математике исключительно по отработанному алгоритму, изложенное далее покажется излишним, ведь все предлагаемые в B14 задания из ЕГЭ можно решить с помощью производной. Однако, это вовсе не означает, что данный способ во всех случаях оказывается простейшим из возможных. Чтобы в этом убедиться, предлагаю вам самостоятельно выполнить следующие несложные задания:

1) найдите наименьшее и наибольшее значения функции y=6x-1 на отрезке [1;4];

Показать решение

Эта функция возрастает на данном отрезке (коэффициент при x положителен), поэтому наименьшего в нем значения она достигает на его левом конце y_{\operatorname{min}} = y(1) = 5, а наибольшего — на правом y_{\operatorname{max}} = y(4) = 23.

2) для функции y = x^2-4x+5 найдите наибольшее и наименьшее значения на отрезке [0;5];

Показать решение

Графиком данной квадратичной функции является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при x^2 положителен), а абсцисса ее вершины равна x_0=-\frac{b}{2a}=2. Эта точка принадлежит отрезку [0;5], в ней функция достигает своего наименьшего значения на этом отрезке y_{\operatorname{min}} = y(2) = 1. Наибольшее значение на рассматриваемом отрезке функция достигает в том из его концов, который наиболее удален от x_0, то есть y_{\operatorname{max}} = y(5) = 10.

3) найдите наименьшее и наибольшее значения функции y=4\cos x -1 на отрезке [1; 2012];

Показать решение

Длина рассматриваемого отрезка больше 2\pi (основного периода синусоиды). Следовательно, на отрезке [1;2012] функция f(x) = \cos x принимает свое наибольшее 1 и наименьшее -1 значения. Вместе с тем свои наибольшее 4\cdot 1-1 = 3 и наименьшее 4\cdot (-1)-1 = -5 значения принимает и исходная функция.

Замена переменной

Пример 2. Найдите наименьшее значение функции y=-\sin^22x-\cos 2x +1 на отрезке \left[0;\frac{\pi}{2}\right].

Решение. Используя основное тригонометрическое тождество, преобразуем функцию к виду: y=\cos^2 2x-\cos 2x. Используем замену t=\cos 2x. Так как x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right], то t\in[-1;1].

Ищем тогда наименьшее значение функции y=t^2-t на отрезке [-1;1]. Оно достигается  в вершине данной параболы, ветви которой направлены вверх (коэффициент при t^2 положителен), то есть в точке t_0=-\frac{b}{2a} = \frac{1}{2}, исходная переменная принимает при этом значение x_0 = \frac{\pi}{6}.

Соответствующее значение функции равно y_{\operatorname{min}} = y\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{4}.

Ответ: -\frac{1}{4}.

Задача для самостоятельного решения №4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y=6\sqrt{2x-3}-2x на отрезке [2;8].
Показать ответ
Ответ: y_{\operatorname{min}} = 2, y_{\operatorname{max}} = 6.

Использование монотонности функций

Пример 3. Найдите точку максимума функции y=\log_8 (1+8x-x^2)+1.

Решение. Логарифмическая функция y=\log_8 x является возрастающей (большему значению аргумента соответствует большее значение функции), поэтому достаточно найти максимум функции f(x)=1+8x-x^2, он же будет являться максимумом для исходной функции.

Максимума данная квадратичная функция достигает в точке x_0=-\frac{b}{2a} = 4. Соответствующее значение f(x_0) = 17 входит в область определения исходной функции.

Ответ: 4.

Задача для самостоятельного решения №5. Найдите точку максимума функции y=\log_4(-3+4x-x^2)+ +7.
Показать ответ
Ответ: 2.

Задача для самостоятельного решения №6. В центре квадратной комнаты площадью S = 25 м2 висит лампа. На какой высоте h от пола должна находиться лампа, чтобы освещенность в углах комнаты была наибольшей? Освещенность E от точечного источника света вычисляется по формуле:

    \[ E=\frac{I}{r^2}\cos \alpha, \]

где I — сила света (постоянная в данной задаче величина), r — расстояние от источника, \alpha — угол падения лучей света относительно нормали к поверхности.

Показать ответ
Ответ: 2,5 м.

Не сходится с ответом?

Показать решение
Решение

Как репетитор по физике и математике, занимающийся подготовкой школьников к сдаче ЕГЭ и ГИА, могу сказать, что ученики, которое ориентируются на поступление в вуз (в особенности это касается математических вузов) должны понимать, что им нужно решать безошибочно все задания части B. Потеря баллов по невнимательности за неверное выполнение несложных заданий первой части ЕГЭ — непозволительная для них роскошь. Поэтому я всегда советую проверять свои решения. Не пренебрегайте этой возможностью, она позволит вам улучшить свои результаты на экзамене.

Репетитор по математике на Юго-Западной
Сергей Валерьевич

Единственный способ освоить язык программирования — это писать на нем программы. © Д. М. Ричи

Метки: , , , ,
Опубликовано в категории Методическая копилка | 3 комментария »

Комментарии

  1. Kjrj:
    01.11.2012 в 18:48

    большое вам спасибо,это очень нужная инфа!

    Ответить
  2. Надежда:
    21.08.2017 в 21:19

    Несмотря на то, что статья давняя,
    всё же хочется сказать
    Спасибо Вам большое человеческое!
    Все Ваши уроки помогли мне не только вспомнить математику, но и освоить ЕГЭ, чего в мою бытность не было. Поступила в Лесотехнический университет, буду получать второе высшее образование.

    Ответить
    1. Сергей:
      22.08.2017 в 12:39

      Очень рад тому, что мои уроки Вам помогли. Спасибо за добрые слова и успехов в Ваших начинаниях!

      Ответить

Добавить комментарий