Решение задания 13 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Суббота, Июль 9, 2016

В задании 13 ЕГЭ по математике профильного уровня требуется решить уравнение и осуществить отбор его корней, удовлетворяющих некоторому условию. В данной статье представлен разбор такого задания из профильного уровня ЕГЭ по математике, предложенного в 2016 году. Доступен видеоразбор решения от репетитора по математике.

а) Решите уравнение:

    \[ 2\log_2^2\left(2\sin x\right) - 7\log_2\left(2\sin x\right) +3 = 0. \]

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[\frac{\pi}{2};2\pi\right].

Видеоразбор задания доступен здесь:

а) Используем замену \log_2\left(2\sin x\right) = t. Тогда уравнение принимает вид:

    \[ 2t^2-7t+3 = 0. \]

Дискриминант данного уравнения равен:

    \[ D = b^2 -4ac = 7^2-4\cdot 2\cdot 3 = 25. \]

Тогда корни уравнения равны:

    \[ t_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} = \left[ \begin{array}{l} t_1 = \frac{-(-7)-\sqrt{25}}{2\cdot 2} \\ t_2 = \frac{-(-7)+\sqrt{25}}{2\cdot 2}. \end{array} = \left[ \begin{array}{l} t_1 = \frac{1}{2} \\ t_2 = 3. \end{array} \]

Обратная подстановка приводит к следующему результату:

    \[ \left[\begin{array}{l} \log_2\left(2\sin x\right) = \frac{1}{2} \\ \log_2\left(2\sin x\right) = 3 \end{array}\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 2\sin x = 2^{\frac{1}{2}} \\ 2\sin x = 2^3 \end{array}\Leftrightarrow \]

    \[ \left[\begin{array}{l} 2\sin x = \sqrt{2} \\ 2\sin x = 8 \end{array}\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin x = 4. \end{array} \]

Второе уравнение не имеет корней, поскольку 0\leqslant|\sin x|\leqslant 1. Решением второго уравнения является серия:

    \[ x = (-1)^n\cdot\textrm{arcsin}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\pi n,\, n\in Z. \]

Получаем следующую серию:

    \[ x = (-1)^n\cdot\left(\frac{\pi}{4}\right)+\pi n,\, n\in Z. \]

Эту серию можно записать иначе:

    \[ \left[\begin{array}{l} x = \frac{\pi}{4}+2\pi n,\, n\in Z \\ x = \frac{3\pi}{4}+2\pi k,\, k\in Z. \end{array} \]

б) Осуществляем отбор решений с помощью единичной окружности. На рисунке множество \left[\frac{\pi}{2};2\pi\right] выделено красным цветом:

Единичная окружность для выбора решений из задания ЕГЭ по математике 2016

Из рисунка видно, что подходит только один корень: x = \frac{3\pi}{4}.

Ответ: а) x = (-1)^n\left(\frac{\pi}{4}\right)+\pi n,\, n\in Z,

б) \frac{3\pi}{4}.

Репетитор по математике в Москве, Сергей Валерьевич

Комментарии

  1. ТУПОЙ ПОЛЬЗОВАТЕЛЬ:

    АААА СЛООЖНАААА!!!!!!

  2. УМНЫЙ ПОЛЬЗОВАТЕЛЬ:

    ЛЕГКО

    1. Очень тупой пользователь:

      Помоги!!!

  3. Вообще тупой пользователь:

    нет

    1. добряк:

      чего нет?

      1. Вообще тупой пользователь:

        не легко решить, если не знаешь формул

  4. Аноним:

    красиво!

  5. Аноним:

    это пример того как НЕЛЬЗЯ оформлять задание. нет ОДЗ, на рис не указаны промежутки.

    1. Сергей:

      Здесь нет ни одного неравносильного преобразования, поэтому указывать здесь ОДЗ не имеет ни малейшего смысла. Промежуток выделен на рисунке красным цветом.

  6. Аноним:

    дауны, это изи

    1. не даун:

      нифига подобного

Добавить комментарий