Вступительный экзамен в гимназию МГУ 2021 года

Среда, 26 января, 2022

Это вторая статья из цикла, посвященного подготовке к поступлению в Университетскую гимназию МГУ. Напоминаю, что специально для тех, кто самостоятельно готовится к вступительному экзамену в гимназию МГУ, я запустил новый телеграмм-канал (https://t.me/msu_gymn), в котором публикую варианты прошлых лет с подробными решениями всех заданий. Одну из задач каждого варианта я разбираю на своём Youtube-канале. Остальные решения выкладываю в Телеграмме и здесь на сайте.

Так что подписывайтесь на мой Youtube-канал, если ещё не подписаны, а также на мой новый канал в Телеграмме, чтобы ничего не пропустить. А сегодня у нас на очереди вариант реального вступительного экзамена в гимназию МГУ за 2021 год для инженерного и естественнонаучного направлений.

Разбор реального вступительного экзамена в гимназию МГУ за 2021 год

Задание 1. Решите неравенство:

    \[ |x-4|-3x^2\geqslant 0 \]


1) Для x\geqslant 4 раскрываем модуль со знаком плюс:

    \[ x-4-3x^2\geqslant 0 \]

    \[ 3x^2-x+4\leqslant 0 \]

Полученное неравенство не имеет решений, так как дискриминант соответствующего квадратного уравнения отрицателен, а ветви соответствующей параболы направлены вверх.

2) Для x < 4 раскрываем модуль со знаком минус:

    \[ -x+4-3x^2\geqslant 0 \]

    \[ 3x^2+x-4 \leqslant 0 \]

    \[ -\dfrac{4}{3}\leqslant x\leqslant 1 \]

Все точки в полученном промежутке удовлетворяют условию x < 4.

Ответ: x\in\left[-\dfrac{4}{3};1\right].


Задание 2. Решите систему уравнений:

    \[ \begin{cases} x^2-x+1 = y \\ y^2-y+1=x \end{cases} \]


Перепишем систему в другом виде:

    \[  \begin{cases} x^2+1 = y + x \\ y^2+1=x+y \end{cases}  \]

То есть x^2+1 = y^2+1, что верно при y = x или при y = -x.

Для первого случая получаем:

    \[  x^2+1 = x + x  \]

    \[ x^2-2x+1 = 0 \]

    \[ (x-1)^2 = 0 \]

    \[ x = 1 \]

Для второго случая получаем:

    \[  x^2-x+1 = -x  \]

    \[ x^2 + 1 = 0 \]

Последнее уравнение не имеет решений.

Итак, получается у системы есть только одно решение (1;1).

Ответ: (1;1).


Задание 3. Сторона ромба равна 4, а угол при вершине тупого угла 150 градусов. Найдите расстояние от центра ромба до его стороны.


Изобразим ситуацию на рисунке:

Так как прямые AD и BC параллельны, то \angle B + \angle A = 180^{\circ}, так как эти углы являются односторонними при параллельных прямых. Значит, \angle B = 30^{\circ}. Тогда в прямоугольном треугольнике ABK против этого угла лежит катет AK, который равен половине гипотенузы AB, то есть AK = 2.

Так как в ромбе, как в любом параллелограмме, диагонали точкой пересечения делятся пополам, то OH является средней линией треугольника AKC. Значит, OH = \dfrac{1}{2}\cdot AK = 1.

Ответ: 1.


Задание 4. При вращении двух колёс, соединённых ременной передачей, меньшее колесо за 1 минуту делает на 90 оборотов больше, чем другое. Время, за которое каждое колесо делает 9 оборотов, отличается на 1 секунду. Сколько оборотов делает каждое колесо за 1 минуту?


Пусть одно колесо делает x оборотов в минуту, а второе колесо делает x+90 оборотов в минуту. Тогда первое колесо делает 9 оборотов за \dfrac{9}{x} минут, а второе колесо делает 9 оборотов за \dfrac{9}{x+90} минут. Так как время одного колеса отличается от времени другого на 1 с, то есть на \dfrac{1}{60} минуты, то имеет место уравнение:

    \[ \dfrac{9}{x}-\dfrac{9}{x+90} = \dfrac{1}{60} \]

    \[ \dfrac{9\cdot 60(x+90)-9\cdot 60x-x(x+90)}{60x(x+90)} = 0 \]

    \[ x^2+90x-48600=0 \]

Полученное уравнение имеет один положительный корень: x = 180. То есть первое колесо делает 180 оборотов в минуту, а второе колесо делает 270 оборотов в минуту.

Ответ: 180 и 270.


Задание 5. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника ABC, если радиус вписанной окружности равен 4.5, а длина медианы, проведённой к основанию, равна 12.


Изобразим ситуацию на рисунке:

Пусть AB = BC = a и AH = HC = b. Заметим, что AO — биссектриса угла A, так как центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника. Тогда по свойству биссектрисы получаем, что \dfrac{BO}{OH} = \dfrac{AB}{AH}, то есть \dfrac{a}{b} = \dfrac{7.5}{4.5} = \dfrac{5}{3}. То есть a = \dfrac{5}{3} b. Но по теореме Пифагора для треугольника ABH мы получаем:

    \[ a^2 = 12^2 + b^2 \]

    \[ \dfrac{25}{9}\cdot b^2 = 144 + b^2 \]

    \[ b = 9 \]

То есть стороны треугольника ABC равны 15, 15 и 18, а площадь равна S = \dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot AC = 108. Теперь используем формулу S = \dfrac{abc}{4R}, откуда находим, что R = \dfrac{abc}{4S} = 9.375.

Ответ: 9.375.


Задание 6. Найдите множество значений функции y = ax^2+a^2x-8x+2, если известно, что графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз, а прямая x = 1 является её осью симметрии.


Перепишем функцию в виде: y = ax^2+(a^2-8)x+2. Так как известно, что графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз, то a<0. Поскольку прямая x = 1 является осью симметрии этой параболы, то абсцисса вершины этой параболы равна x_0 = 1. Но x_0 = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{8-a^2}{2a}. Тогда имеет место уравнение:

    \[  \dfrac{8-a^2}{2a} = 1 \]

    \[ a^2 +2a - 8 = 0 \]

У последнего уравнения есть только один отрицательный корень a = -4. Итак, функция имеет вид: y = -4x^2 +8x+2. Её значение в вершине равно y_0 = 6. Значит, область значений E(y) = (-\infty; 6].


Задание 7. На новом станке рабочий за 1 час обрабатывает целое число деталей, большее 8, а на старом станке на 3 детали меньше. Один рабочий на новом станке выполняет заказ за целое число часов, а двое рабочих, работая одновременно на старых станках, выполняют такой же заказ на 1 час быстрее. Определите, сколько деталей в заказе, если известно, что производительность рабочих одинакова.


Пусть на новом станке рабочий изготавливает x > 8 деталей в час. Тогда на втором станке рабочий изготавливает x - 3 детали в час. Пусть в заказе N деталей. Тогда один рабочий выполняет заказ на новом станке за \dfrac{N}{x} часов, причём это целое число. Тогда двое рабочих выполняют заказ на старых станках за \dfrac{N}{2(x-3)} часов, что на 1 час меньше. Тогда имеет место равенство:

    \[ \dfrac{N}{x} - \dfrac{N}{2(x-3)} = 1 \]

    \[ N = \dfrac{6x-2x^2}{6-x} \]

    \[ N = 2x+6 + \dfrac{36}{x-6} \]

Так как x > 8, то x - 6 > 2. Значит, для целых N возможно только, если:

1) x - 6 = 3, то есть x = 9 и N = 36, но тогда \dfrac{N}{x} = 4 является целым, то есть подходит.

2) x - 6 = 4, то есть x = 10 и N = 35, но тогда \dfrac{N}{x} не является целым, то есть не подходит.

3) x - 6 = 6, то есть x = 12 и N = 39, тогда \dfrac{N}{x} не является целым, то есть не подходит.

4) x - 6 = 9, то есть x = 15 и N = 40, но тогда \dfrac{N}{x} не является целым, то есть не подходит.

5) x - 6 = 12, то есть x = 18 и N = 45, но тогда \dfrac{N}{x} не является целым, то есть не подходит.

6) x - 6 = 18, то есть x = 24 и N = 56, но тогда \dfrac{N}{x} не является целым, то есть не подходит.

7) x - 6 = 36, то есть x = 42 и N = 91, но тогда \dfrac{N}{x} не является целым, то есть не подходит.

Ответ: 36.


Вот такой вариант по математике был на вступительном экзамене в гимназию МГУ в 2021 году. Полный разбор варианта представлен также на моём Телеграмм-канале. Там же вы найдёте и другие варианты вступительных экзаменов в гимназию МГУ с подробными решениями.

Так что тренируйтесь, это очень хорошая возможность для самостоятельной подготовки. Ну а если вам требуется помощь профессионального репетитора, специализирующегося на подготовке к поступлению в гимназию МГУ, обращайтесь ко мне. У меня в этом очень большой опыт. Многие мои ученики успешно справились с вступительными испытаниями и стали счастливыми учащимися этой замечательной гимназии. Мои контакты вы найдёте на этой странице. Успехов и Вам!

Материал подготовил репетитор по математике и физике Сергей Валерьевич

Добавить комментарий