Вступительное тестирование по математике в лицей ВШЭ

Суббота, Декабрь 10, 2016

Столы и стулья, за которыми будут сидеть абитуриенты во время выполнения вступительного тестирования в лицей НИУ ВШЭ

Поступление в лицей НИУ ВШЭ – это заветная мечта многих школьников и их родителей. Но поступить туда не просто, для этого нужно пройти конкурсный отбор, включающий в себя тестирование по профильным предметам, в том числе по математике. Ко мне, как к репетитору по математике и физике, часто обращаются родители абитуриентов с просьбой помочь подготовиться к тестированию по математике в лицей НИУ ВШЭ. В данной статье представлен разбор варианта вступительного тестирования по математике в лицей ВШЭ.  Предложите своему ребёнку выполнить данные задания самостоятельно. Узнайте, вдруг ему тоже требуется помощь профессионального репетитора для подготовки к этому вступительному испытанию.

Разбора заданий вступительного тестирования в лицей при ВШЭ

1. Найдите значение выражения

    \[ \left(4u-4v+\frac{v^2}{u}\right):\left(2-\frac{v}{u}\right) \]

при u = 5+3\sqrt{3}, v = 6\sqrt{3}-5.

Упростим сперва выражение, находящееся в левых скобках:

    \[ 4u-4v+\frac{v^2}{u} = \frac{4u^2-4uv+v^2}{u} = \frac{(2u-v)^2}{u}. \]

Выражение, стоящее в правых скобках, может быть также преобразовано к виду:

    \[ 2-\frac{v}{u} = \frac{2u-v}{u}. \]

Тогда после деления результата первого действия на результат второго мы получаем:

    \[ \frac{(2u-v)^2}{u} : \frac{2u-v}{u} = \frac{(2u-v)^2\cdot u}{u\cdot (2u-v)} = 2u-v. \]

Подставляем в полученное выражение данные из условия. В результате получаем:

    \[ 2u-v = 2(5+3\sqrt{3})-(6\sqrt{3}-5) = \]

    \[ = 10+6\sqrt{3}-6\sqrt{3}+5 = 15. \]

2. Вычислите значение выражения:

    \[ \left(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{3}-5}{\sqrt{3}}\right)\cdot\frac{\sqrt{30}}{3+5\sqrt{2}}. \]

Начнём с упрощения выражения, стоящего в скобках. Как видите, общий знаменатель равен: \sqrt{2}\cdot\sqrt{3} = \sqrt{6}. Тогда получается следующее выражение:

    \[ \frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{\sqrt{6}}-\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-5)}{\sqrt{6}} = \]

    \[ = \frac{\sqrt{6}+3-\sqrt{6}+5\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{3+5\sqrt{2}}{\sqrt{6}}. \]

Далее полученные выражение умножаем на дробь, записанную справа от знака умножения:

    \[ \frac{3+5\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\cdot \frac{\sqrt{30}}{3+5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}\cdot\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \sqrt{5}. \]

3. На сколько процентов надо уменьшить y, чтобы при одновременном уменьшении x на 52% величина \frac{x}{y} выросла на 140%?

Пусть искомое число процентов равно n. Тогда после уменьшения y на n процентов останется \frac{100-n}{100}y. При этом при уменьшении x на 52% получится 0.48x. Тогда полученные после этих преобразований число равно:

    \[ \frac{0.48x}{\frac{100-n}{100}y}= \frac{48x}{(100-n)y}. \]

По условию это число составляет 240% от исходного числа \frac{x}{y}. Следовательно, имеет место уравнение:

    \[ \frac{48x}{(100-n)y} = 2.4\frac{x}{y}. \]

Так как понятно, что \frac{x}{y}\ne 0, обе части уравнения можно разделить на \frac{x}{y}. Тогда для n\ne 100 в результате получаем:

    \[ \frac{48}{100-n} = 2.4\Rightarrow 100-n = 20\Leftrightarrow n = 80. \]

То есть число y было уменьшено на 80%.

4. Найдите наибольшее значение функции

    \[ y = 6x+5-\frac{x^2}{4}. \]

Представлена квадратичная функция с коэффициентами a=-\frac{1}{4}, b = 6 и c=5. Графиком этой квадратичной функции является парабола. Ветви этой параболы направлены вниз, поскольку коэффициент a<0.

Следовательно, наиболее значение эта функция принимает в вершине соответствующей параболы. Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле:

    \[ x_0=-\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)} = 12. \]

Тогда легко находится ордината вершины. Она и будет являться наибольшим значением данной функции:

    \[ y_0 = 6x_0+5-\frac{x_0^2}{4} = 6\cdot 12 +5 -\frac{12^2}{4} = 41. \]

5. Найдите сумму квадратов корней уравнения 2x^2+82x+81=0.

Сперва разделим обе части этого уравнения на 2. Тогда получится следующее уравнение: x^2+41x+\frac{81}{2}=0. Зачем мы это сделали? Чтобы коэффициент при x^2 стал равен 1.

Теперь можно воспользоваться теоремой Виета. Пусть x_1 и x_2 — корни данного квадратного уравнения. Тогда имеем:

    \[ \begin{cases} x_1+x_2=-41 \\ x_1x_2 = \frac{81}{2}. \end{cases} \]

Умножим на 2 обе части второго уравнения, а в первом уравнении обе части возведём в квадрат и раскроем скобки. В результате получаем:

    \[ \begin{cases} x_1^2+2x_1x_2+x_2^2= 1681\\ 2x_1x_2 = 81. \end{cases} \]

Теперь вычтем почленно второе уравнение системы из первого и в результате получим требуемый ответ:

    \[ x_1^2+2x_1x_2+x_2^2 - 2x_1x_2 = 1681-81, \]

    \[ x_1^2+x_2^2 = 1600. \]

6, Решите неравенство

    \[ \frac{3-10x}{\sqrt{3-4x-4x^2}}>0. \]

Начнём с определения области допустимых значений данного неравенства. Известно, что выражение, стоящее в знаменателе дроби не может быть равно 0, а выражение, стоящее под знаком корня, не может быть отрицательным. Следовательно, область допустимых значений данного неравенства определяется следующим условием: 3-4x-4x^2>0.

Для всех x, удовлетворяющих этому условию, исходное неравенство эквивалентно следующему: 3-10x>0. Получается, что исходное сложное неравенство эквивалентно следующей системе неравенств:

    \[ \begin{cases} 3-4x-4x^2> 0\\ 3-10x>0. \end{cases} \]

Решаем первое неравенство системы методом интервалов. Второе неравенство решается элементарным образом. В результате приходим к следующей системе:

    \[ \begin{cases} -\frac{3}{2}<x<\frac{1}{2}\\ x<\frac{3}{10}. \end{cases} \]

Ответом к заданию будет пересечение промежутком, служащих решением каждого из неравенств данной системы. Итак, ответ: x\in\left(-\frac{3}{2};\frac{3}{10}\right).

7. Найдите площадь равнобедренного треугольника ABC, если высота, опущенная на основание, равна 10, а высота, опущенная на боковую сторону, равна 12.

Пусть в равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена высота BE длиной 10 и высота AD длиной 12:

Равнобедренный треугольник с высотами, проведенными к боковой стороне и к основанию

Введём следующие обозначения. Пусть BC = a и AC = b. Известно, что площадь треугольника вычисляется путём умножения длины его высоты на половину длины основания, к которому эта высота проведена. Тогда площадь треугольника ABC с одной стороны равна 6a, а с другой стороны — 5b. То есть a = \frac{5}{6}b.

Поскольку высота BE проведена в равнобедренном треугольнике ABC к основанию AC, то она является также и медианой этого треугольника. Следовательно, ED = \frac{1}{2}b. Тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника BEC получаем:

    \[ 10^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2 = a^2\Leftrightarrow 400 + b^2 = 4a^2. \]

С учётом найденной ранее связи между a и b получаем:

    \[ 400 + b^2 = 4\times\left(\frac{5}{6}b\right)^2\Rightarrow b = 15. \]

Тогда искомая площадь треугольника равна 75.

8. Если в арифметической прогрессии a_5+a_{11}=15, то чему равна сумма a_3+a_7+a_9+a_{13}?

Пусть разность данной арифметической прогрессии равна d. Обращаем сразу внимание на то, что третий член арифметической прогрессии получается вычитанием удвоенной разности этой прогрессии из пятого её члена. В cвою очередь, седьмой член арифметической прогрессии получается добавлением удвоенной разности этой прогрессии к пятому её члену.

Аналогично, девятый член арифметической прогрессии получается вычитанием удвоенной разности этой прогрессии из одиннадцатого её члена. А тринадцатый член арифметической прогрессии получается добавлением удвоенной разности этой прогрессии к одиннадцатому её члену.

С учётом этих обстоятельств получаем:

    \[ a_3+a_7+a_9+a_{13} = a_5-2d+a_5+2d+ \]

    \[ + a_{11}-2d+a_{13}+2d =2(a_5+a_{11}) = 30. \]

9. Из пункта А в пункт В выехал велосипедист, который приедет в В через 2 часа, одновременно с ним из В в А вышел пешеход, который придет в А через 6 часов. Через какое время они встретятся?

Здесь в варианте вступительного тестирования по математике в лицей ВШЭ предлагается решить задачу на движение. Пусть скорость пешехода равна x. Тогда скорость велосипедиста равна 3x, ведь он движется в 3 раза быстрее пешехода. Тогда скорость сближения велосипедиста и пешехода равна 4x, что в 4 раза больше скорости пешехода. Значит вместе они преодолеют расстояние от A к В (то есть встретятся) спустя промежуток времени вчетверо меньший того времени, которое требуется пешеходу, чтобы дойти из пункта A в пункт B. То есть через \frac{6}{4} = 1.5 часа.

10. Взяли 5 листов бумаги, один из них разрезали на 5 частей, один из полученных снова на 5 и так далее. Какое число листов можно таким образом получить? 2015, 2016, 2017 или 2018?

Если записать в ряд количество листков, которые получаются в результате всех этих действий на каждой итерации, то получится арифметическая прогрессия с разностью 4. Значит может получиться только число, которое при уменьшении на 5 делилось бы нацело на 4. Из всех предложенных это число 2017.

Задание с полным решением из вступительного экзамена в лицей НИУ ВШЭ

Дано уравнение (p+4)x^2-3x+p=0.

а) Найдите наименьшее целое значение параметра p, при котором уравнение имеет корни разных знаков.

Начнём с того, что параметр p\ne -4, в противном случае уравнение имело бы только один корень. Разделим обе части уравнения на p+4. В результате приходим у следующему уравнению:

    \[ x^2-\frac{3}{p+4}x+\frac{p}{p+4} = 0. \]

Как узнать при каких значениях p корни этого уравнения будут различны по знаку? Нужно вспомнить, что графиком соответствующей квадратичной функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Причём эта парабола пересекает вертикальную ось в точке с ординатой c=\frac{p}{p+4}. Следовательно, корни будут различны по знаку, если свободный член отрицателен. То есть имеет место неравенство:

    \[ \frac{p}{p+4}<0\Leftrightarrow x\in(-4;0). \]

Итак, наименьшее целое значение из полученного промежутка — это число -3.

б) Найдите длину промежутка, в который может попасть значение параметра p, чтобы уравнение имело хотя бы один корень.

Полученное нами уравнение имеет два корня в том случае, если его дискриминант положителен, то есть выполнено неравенство:

    \[ \left(\frac{3}{p+4}\right)^2-\frac{4p}{p+4}>0\Leftrightarrow \frac{9-4p(p+4)}{(p+4)^2}>0. \]

Последнее неравенство выполняется при x\in\left(-\frac{9}{2};-4\right)\cup \left(-4;\frac{1}{2}\right).

Один корень будет, когда дискриминант равен нулю, то есть при p=-\frac{9}{2} и p=\frac{1}{2}, а также при p=-4, поскольку в этом случае уравнение становится линейным.

Из всего вышесказанного заключаем, что промежуток, в который может попасть значение параметра p, чтобы уравнение имело не менее одного корня, — это промежуток \left[-\frac{9}{2};\frac{1}{2}\right]. Длина этого промежутка равна \frac{1}{2}-\left(-\frac{9}{2}\right) = 5.

в) Найдите сумму всех значений p, при которых уравнение имеет ровно 1 корень.

Корень будет один, если p=-4, и когда дискриминант равен 0, то есть при p=\frac{1}{2} и p=-\frac{9}{2}. Тогда искомая сумма равна -8.

Телефон репетитора для подготовки к вступительному тестированию по математике в лицей НИУ ВШЭ, Сергея Валерьевича

Добавить комментарий