Считается, что чем больше различных решений существует у задачи, тем она интереснее с математический точки зрения. В этом отношении, задача, которую мы рассмотрим сегодня, является одной из наиболее интересных в школьном курсе геометрии. Она же, кстати, была предложена для решения в задании 24 модуля «Геометрия» демонстрационного варианта ОГЭ по математике в 2015 году. Так что попробуем решить её максимально возможным количеством способов, не выходящих за рамки школьного курса. Присылайте, пожалуйста, свои варианты решения в комментариях или на почту репетитора по математике и физике. С удовольствием опубликую их и поставлю ссылку на вашу анкету или сайт, если это необходимо.
| Доказать, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. |
Доказательство репетитора по математике и физике
I способ. Дополнительное построение.
1. Проведем прямую через точку 
, параллельную прямой 
. Точку пересечения этой прямой с прямой 
обозначим буквой 
.
2. Тогда 
, так как они являются накрест лежащими при параллельных прямых 
, и секущей 
. Также 
, так как они вертикальные. Кроме того, 
по условию. Следовательно, 
по стороне и двум прилежащим к ней углам.
3. Следовательно, 
. То есть в четырехугольнике 
две стороны равны и параллельны. Следовательно, этот четырехугольник — параллелограмм. Кроме того, все углы этого параллелограмма прямые. Следовательно, — прямоугольник.
4. То есть 
, так как это диагонали данного прямоугольника. Кроме того, эти диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно, 
.
II способ. Описать окружность.
1. Опишем вокруг треугольника 
окружность. 
является диаметром этой окружности, поскольку 
— вписанный в эту окружность и должен опираться на полуокружность.
2. Следовательно, 
, где 
— радиус описанной окружности.
III способ. Решение «с конца».
1. Проведем отрезок 
такой, что 
. Тогда 
— равнобедренный, а значит 
.
2. Кроме того, 
. Следовательно, 
— равнобедренный, а значит 
.
3. Следовательно, 
. Что и требовалось доказать.
Можно еще провести среднюю линию через катеты, построить на ней, как на диагонали, четырехугольник, второй диагональю которого будет медиана прямоугольного треугольника, и доказать что этот четырехугольник — прямоугольник.
Решение близкое к первому (с дополнительным построением), правда здесь средняя линия треугольника появляется. Так что, наверное, можно его считать другим с методической точки зрения). Пришлите, пожалуйста, полный текст решения, я его опубликую в статье.
здесь применяется т. Фалеса
Есть еще доказательство теоремы, основанное на том, что медиана не может быть ни больше, ни меньше половины гиппотенузы. Доказывается через свойство треугольника — против большего угла лежит большая сторона.
Дмитрий, из того, что вы написали, не совсем ясно, в чём суть доказательства. О каком конкретно треугольнике речь?
Дмитрий, спасибо. Очень красивый способ.
Есть ещё одна задача, хотелось бы её видеть. Док-во II способа, то что можно провести окружность. Заранее спасибо
Вокруг любого треугольника можно описать окружность, так как все срединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка является центром описанной окружности.
А можно ли найти медиану треугольника с помощью теоремы косинусов? Если да, то помогите пожалуйста)
данную теорему можно доказать векторным методом