Решение иррациональных неравенств

Четверг, Август 11, 2016

В этой статье я расскажу об одном эффективном способе решения иррациональных неравенств. То есть таких неравенств, которые содержат неизвестную величину под знаком корня. Данный материал очень редко изучается в школа. Разве что в школе с углублённым изучением математики, да и то не всегда. А ведь научиться решать иррациональные неравенства, используя этот способ, очень важно. Поэтому дочитайте эту статью до конца или посмотрите мой видеоурок (ссылка ниже в тексте). Информация, которую вы получите, может очень пригодиться при сдаче ОГЭ, ЕГЭ или вступительных экзаменов по математике.


Иррациональные неравенства, как и любые другие, изучаемые в школьном курсе математики, можно решить с помощью метода интервалов. Но есть более простой и эффективный способ. Разберёмся, в чём он заключается. Все наиболее часто встречающиеся иррациональные неравенства из школьного курса математики можно условно разделить на два типа:

1. \sqrt{f(x)} < g(x) или \sqrt{f(x)}\leqslant g(x).

2. \sqrt{f(x)} > g(x) или \sqrt{f(x)}\geqslant g(x).

Здесь f(x) и g(x) — некоторые выражения относительно переменной x. Разберём отдельно решение каждого из этих двух типов иррациональных неравенств.

Решение иррациональных неравенств первого типа

Рассмотрим внимательно неравенство \sqrt{f(x)} < g(x). Как уже отмечалось, f(x) и g(x) — это некоторые выражения относительно переменной x. Но при определённых значениях x эти выражения будут принимать какие-то определённые значения. Наша задача состоит в том, чтобы найти такие значения переменной x, при которых значение выражения g(x) будет больше значения выражения \sqrt{f(x)}. Извините, что я говорю очевидные вещи. В данной статье я решил объяснить всё предельно подробно. Если эти разъяснения кажутся вам излишними, вы можете пропустить их и перейти непосредственно к примерам в красных рамочках.

Чтобы избавиться от корня, нужно возвести обе части неравенства в квадрат. Тогда неравенство примет вид: f(x)<g^2(x). Но просто так, без соблюдения определённых правил, этого делать нельзя. Почему? Представьте, что при каком-то значении x значение выражения f(x) равно, скажем, -6, а значение выражения g(x) равно, например, 4. Такое возможно? Вполне. Тогда, подставив эти значения в неравенство f(x)<g^2(x), получившееся после возведения обеих частей в квадрат, мы получим верное неравенство -6<16. Всё будет хорошо, и мы воспримем то значение x, которое взяли, как решение нашего иррационального неравенства.

Но проблема в том, что если значение -6 подставить вместо f(x) в исходное неравенство, то всё уже не будет так прекрасно. Потому что любой школьник знает, что под корнем не может находиться отрицательных чисел! Как видите, возведение обеих частей неравенства в квадрат — операция вовсе не равносильная. Она может привести к появлению лишних решений. Поэтому делая это, нужно обязательно убедиться, что под знаком корня не находится отрицательного числа. То есть, что f(x)\geqslant 0.

Теперь представим ситуацию, что при каком-то значении x значение выражения f(x) равно 4, а значение выражения g(x) равно, например, -6. Верно ли наше исходное неравенство? Конечно, нет. Всем понятно, что корень из 4, то есть 2, не меньше -6. Но что будет если мы вновь возведём обе части нашего неравенства в квадрат? Получим неравенство 4<36. А вот это уже верно. И снова мы получили лишнее решение, которое не удовлетворяет исходном неравенству. Чтобы этого не случилось, нужно сказать дополнительно, что g(x)>0.

Есть ли ещё какие-нибудь неприятные моменты, которые мы не учли при возведении обеих частей неравенства в квадрат? Разве что один. Что делать, если найдётся такое значение x, при котором и значение выражения f(x), и значение выражения g(x) равны нулю? Что ж, если неравенство строгое, как в нашем случае, когда \sqrt{f(x)}<g(x), то этот случай ничего не меняет, ведь нуль не меньше нуля. А вот если исходное неравенство нестрогое, то есть \sqrt{f(x)}\leqslant g(x), тогда это уже имеет значение, ведь нуль меньше или равен нулю! В этом случае все условия также должны быть нестрогими, поэтому g(x)\geqslant 0.

Итак, исходя из всех этих долгих пояснений, мы делаем вывод, что иррациональное неравенство вида \sqrt{f(x)}<g(x) равносильно следующей системе неравенств:

    \[ \begin{cases} f(x)<g^2(x) \\ f(x)\geqslant 0 \\ g(x)>0. \end{cases} \]

А иррациональное неравенство вида \sqrt{f(x)}\leqslant g(x), в свою очередь, равносильно следующей системе неравенств:

    \[ \begin{cases} f(x)\leqslant g^2(x) \\ f(x)\geqslant 0 \\ g(x)\geqslant 0. \end{cases} \]

Пример 1. Требуется решить неравенство:

    \[ \sqrt{x-2}<\frac{x}{3}. \]

Для решения иррационального неравенства переходим к равносильной системе неравенств:

    \[ \begin{cases} x-2 <\left(\frac{x}{3}\right)^2 \\ x-2\geqslant 0 \\ \frac{x}{3}>0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x^2-9x+18>0 \\ x\geqslant 2 \\ x>0. \end{cases} \]

Условие x\geqslant 2 «сильнее» условия x>0, поэтому последнее неравенство системы можно отбросить. Решаем квадратичное неравенство. Для этого находим корни уравнения x^2-9x+18 = 0, они равны x_1 = 3 и x_2 =6. Теперь строим кривую знаков и стрелкой отмечаем на ней условие x\geqslant 2:

Кривая знаков из решения иррационального неравенства

Получаем следующий ответ к неравенству: x\in[2;3)\cup(6;+\mathcal{1}).

Решение иррациональных неравенств второго типа

Рассмотрим теперь иррациональное неравенство вида \sqrt{f(x)}>g(x). Как и в предыдущем случае, безусловным требованием является отсутствие под знаком корня отрицательных чисел. То есть должно выполняться условие f(x)\geqslant 0. При этом выражение \sqrt{f(x)} тоже, конечно, является неотрицательным. Пусть, например, при некотором значении x оно равно 6. Если при этом же значении x, значение выражения g(x) отрицательно, то есть g(x)<0 (например, это значение равно -5), то мы получаем верное неравенство \sqrt{6}>-5. И никаких дополнительных требований уже не нужно.

Что если выражение g(x) принимает неотрицательные значения, то есть g(x)\geqslant 0? Например, пусть при каком-то значении x значение выражения g(x) равно 4, а значение выражения f(x) равно 25. Тогда верно как исходное неравенство \sqrt{25}>4, так и неравенство, полученное после возведения обеих частей в квадрат 25>16. Как видите, в этом случае мы уже можем возводить обе части неравенства в квадрат, не боясь получить посторонние решения. При этом, раз уж мы требуем, чтобы g(x)\geqslant 0, то из условия f(x)>g^2(x) автоматически следует условие f(x)\geqslant 0, о выполнении которого, получается, можно не беспокоиться.

Какие ещё подводные камни могут возникнуть при решении иррационального неравенства второго типа? Как и для иррационального неравенства первого типа, стоит отдельно рассмотреть случай, когда при каком-то значении переменной x и значение выражения g(x), и значение выражения f(x) равны нулю. Этот случай имеет значение только если неравенство нестрогое. Тогда неравенство, полученное после возведения обеих частей исходного иррационального неравенства в квадрат, тоже должно быть нестрогим. В случае строгого неравенства ничего не изменится.

Итак, исходя из всего вышеизложенного, можно заключить, что неравенство вида \sqrt{f(x)}>g(x) равносильно следующей совокупности из двух систем неравенств:

    \[ \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} g(x)\geqslant 0\\ f(x)>g^2(x) \end{cases} \\ \begin{cases} f(x)\geqslant 0 \\ g(x)<0. \end{cases} \end{array} \]

Ну а неравенство вида \sqrt{f(x)}\geqslant g(x) равносильно следующей совокупности из двух систем неравенств:

    \[ \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} g(x)\geqslant 0\\ f(x)\geqslant g^2(x) \end{cases} \\ \begin{cases} f(x)\geqslant 0 \\ g(x)< 0. \end{cases} \end{array} \]

Квадратная скобка обозначает совокупность, то есть объединение решений каждой из систем неравенств.

Пример 2. Требуется решить неравенство:

    \[ \sqrt{x-2}\geqslant\frac{x-1}{2}. \]

Для решения данного иррационального неравенства перейдём к следующей равносильной совокупности:

    \[ \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} \frac{x-1}{2}\geqslant 0\\ x-2\geqslant \left(\frac{x-1}{2}\right)^2 \end{cases} \\ \begin{cases} x-2\geqslant 0 \\ \frac{x-1}{2}< 0. \end{cases} \end{array}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x\geqslant 1 \\ x^2-6x+9\leqslant 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x\geqslant 2 \\ x< 1. \end{cases} \end{array} \]

В первой системе неравенство x^2-6x+9\leqslant 0 можно преобразовать по формуле «квадрат разности» к виду (x-3)^2\leqslant 0, которое выполняется при одном единственном значении x=3 (при всех остальных значениях x выражение (x-3)^2 положительно, потому что это полный квадрат). Это условие удовлетворяет требованию x\geqslant 2. Что касается второй системы, то для неё нет ни одного значения x, при которых были бы выполнены оба условия одновременно. То есть решений данная система не имеет. Тогда в итоге в ответе получаем одно единственное число: x=3.

Ну и напоследок решим более сложное иррациональное неравенство, чтобы показать, что даже более сложные случаи сводятся к тем двум типам иррациональных неравенств, решение которых описано в данной статье.

Пример 3. Решите неравенство:

    \[ \sqrt{x^2+3x+2}-\sqrt{x^2-x+1}<1. \]

Перенесём второй радикал (корень) в правую часть неравенства с противоположным знаком. В результате данного преобразования получим такое неравенство:

    \[ \sqrt{x^2+3x+2}<1+\sqrt{x^2-x+1}. \]

Это уже неравенство вида \sqrt{f(x)}<g(x), поэтому можно перейти к следующей равносильной системе:

    \[ \begin{cases} x^2+3x+2\geqslant 0 \\ x^2-x+1\geqslant 0 \\ x^2+3x+2<\left(1+\sqrt{x^2-x+1}\right)^2. \end{cases} \]

Обращаем сразу внимание, что второе неравенство системы выполняется при любых значениях x. Действительно, ветви соответствующей параболы направлены вверх, а дискриминант соответствующего квадратичного уравнения отрицателен, то есть эта парабола нигде не пересекает ось абсцисс. Поэтому соответствующая квадратичная функция принимает только положительные значения. Первое неравенство решается методом интервалов. Теперь в последнем неравенстве нужно раскрыть скобки и упростить полученное выражение. В результате получаем следующую систему:

    \[ \begin{cases} x\leqslant -2,\, x\geqslant -1 \\ \sqrt{x^2-x+1}>2x. \end{cases} \]

Последнее неравенство системы — это иррациональное неравенство вида \sqrt{f(x)}>g(x). Его можно представить в виде равносильной ему совокупности, о которой я подробно рассказывал выше. В результате получаем следующую равносильную систему:

    \[ \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x\leqslant -2,\, -1\leqslant x< 0 \\ x^2-x+1\geqslant 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x\geqslant 0 \\ 3x^2+x-1<0. \end{cases} \end{array} \]

Дальше всё решается стандартными способами, которые уже были рассмотрены в данной статье. Попробуйте дорешать этот пример до конца самостоятельно. Внимание спойлер! Окончательный ответ к неравенству будет выглядеть следующим образом:

    \[ x\in(-\mathcal{1};-2]\cup\left[-1;\frac{\sqrt{13}-1}{6}\right). \]

Вот такой способ решения иррациональных неравенств. Запомните его, он вам пригодится на экзамене по математике, будь то ОГЭ, ЕГЭ или дополнительное вступительное испытание при поступлении в ВУЗ.

Проверьте, насколько хорошо вы усвоили материал урока. Выполните следующие задания самостоятельно:

  • Решите неравенство: \sqrt{3x-x^2}<4-x.
Показать ответ
x\in[0;3]
  • Решите неравенство: \sqrt{x+3}<\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}.
Показать ответ

    \[ x\in\left(\frac{2\sqrt{21}}{3};+\mathcal{1}\right) \]

Материал подготовлен репетитором по математике, Сергеем Валерьевичем

Смотрите также:

Комментарии

  1. Ирина:

    Помогите, пожалуйста, решить второе неравенство, никак не могу получить верный ответ!

    1. Сергей:

      Найдите, при каком значении левая часть неравенства равна правой, и докажите, что при всех x, которые больше этого числа, неравенство выполняется.

      1. Арсений:

        Здравствуйте, Сергей. А как доказать что при всех значениях x, которые больше этого числа, неравенства выполняется.

        1. Сергей:

          Здравствуйте. Область допустимых значений неравенства: x>=2. Обе части неравенства неотрицательны, то есть можно возвести их в квадрат, не меняя при этом знак неравенства. Получаем неравенство 6-x<2*корень((x-1)(x-2)). Решаем теперь уравнение 6-x=2*корень((x-1)(x-2)) возведением обеих частей в квадрат. Получаем один корень, удовлетворяющий условию x>=2. Это корень x = 2*корень(21)/3. Значит график убывающей функции y=6-x пересекает график возрастающей при x>=2 функции y=2*корень((x-1)(x-2)) в точке x = 2*корень(21)/3. Стало быть до пересечения при x>=2 первая функция y=6-x принимала бОльшие значения, чем вторая, а после пересечения станет принимать мЕньшие. Нас интересуют мЕньшие. То есть ответ (2*корень(21)/3;+бесконечность).

Добавить комментарий