Решение иррациональных неравенств | Репетитор по математике и физике

в результатах поиска

Меню

Категории

Решение иррациональных неравенств

11.08.2016 Сергей Валерьевич Методическая копилка

В этой статье я расскажу об одном эффективном способе решения иррациональных неравенств. То есть таких неравенств, которые содержат неизвестную величину под знаком корня. Данный материал очень редко изучается в школа. Разве что в школе с углублённым изучением математики, да и то не всегда. А ведь научиться решать иррациональные неравенства, используя этот способ, очень важно. Поэтому дочитайте эту статью до конца или посмотрите мой видеоурок (ссылка ниже в тексте). Информация, которую вы получите, может очень пригодиться при сдаче ОГЭ, ЕГЭ или вступительных экзаменов по математике.

Иррациональные неравенства, как и любые другие, изучаемые в школьном курсе математики, можно решить с помощью метода интервалов. Но есть более простой и эффективный способ. Разберёмся, в чём он заключается. Все наиболее часто встречающиеся иррациональные неравенства из школьного курса математики можно условно разделить на два типа:

1. $\sqrt{f(x)} < g(x)$ или $\sqrt{f(x)}\leqslant g(x)$ .

2. $\sqrt{f(x)} > g(x)$ или $\sqrt{f(x)}\geqslant g(x)$ .

Здесь $f(x)$ и $g(x)$ — некоторые выражения относительно переменной $x$ . Разберём отдельно решение каждого из этих двух типов иррациональных неравенств.

Решение иррациональных неравенств первого типа

Рассмотрим внимательно неравенство $\sqrt{f(x)} < g(x)$ . Как уже отмечалось, $f(x)$ и $g(x)$ — это некоторые выражения относительно переменной $x$ . Но при определённых значениях $x$ эти выражения будут принимать какие-то определённые значения. Наша задача состоит в том, чтобы найти такие значения переменной $x$ , при которых значение выражения $g(x)$ будет больше значения выражения $\sqrt{f(x)}$ . Извините, что я говорю очевидные вещи. В данной статье я решил объяснить всё предельно подробно. Если эти разъяснения кажутся вам излишними, вы можете пропустить их и перейти непосредственно к примерам в красных рамочках.

Чтобы избавиться от корня, нужно возвести обе части неравенства в квадрат. Тогда неравенство примет вид: $f(x)<g^2(x)$ . Но просто так, без соблюдения определённых правил, этого делать нельзя. Почему? Представьте, что при каком-то значении $x$ значение выражения $f(x)$ равно, скажем, $-6$ , а значение выражения $g(x)$ равно, например, $4$ . Такое возможно? Вполне. Тогда, подставив эти значения в неравенство $f(x)<g^2(x)$ , получившееся после возведения обеих частей в квадрат, мы получим верное неравенство $-6<16$ . Всё будет хорошо, и мы воспримем то значение $x$ , которое взяли, как решение нашего иррационального неравенства.

Но проблема в том, что если значение $-6$ подставить вместо $f(x)$ в исходное неравенство, то всё уже не будет так прекрасно. Потому что любой школьник знает, что под корнем не может находиться отрицательных чисел! Как видите, возведение обеих частей неравенства в квадрат — операция вовсе не равносильная. Она может привести к появлению лишних решений. Поэтому делая это, нужно обязательно убедиться, что под знаком корня не находится отрицательного числа. То есть, что $f(x)\geqslant 0$ .

Теперь представим ситуацию, что при каком-то значении $x$ значение выражения $f(x)$ равно $4$ , а значение выражения $g(x)$ равно, например, $-6$ . Верно ли наше исходное неравенство? Конечно, нет. Всем понятно, что корень из $4$ , то есть $2$ , не меньше $-6$ . Но что будет если мы вновь возведём обе части нашего неравенства в квадрат? Получим неравенство $4<36$ . А вот это уже верно. И снова мы получили лишнее решение, которое не удовлетворяет исходном неравенству. Чтобы этого не случилось, нужно сказать дополнительно, что $g(x)>0$ .

Есть ли ещё какие-нибудь неприятные моменты, которые мы не учли при возведении обеих частей неравенства в квадрат? Разве что один. Что делать, если найдётся такое значение $x$ , при котором и значение выражения $f(x)$ , и значение выражения $g(x)$ равны нулю? Что ж, если неравенство строгое, как в нашем случае, когда $\sqrt{f(x)}<g(x)$ , то этот случай ничего не меняет, ведь нуль не меньше нуля. А вот если исходное неравенство нестрогое, то есть $\sqrt{f(x)}\leqslant g(x)$ , тогда это уже имеет значение, ведь нуль меньше или равен нулю! В этом случае все условия также должны быть нестрогими, поэтому $g(x)\geqslant 0$ .

Итак, исходя из всех этих долгих пояснений, мы делаем вывод, что иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)}<g(x)$ равносильно следующей системе неравенств:

$\begin{cases} f(x)<g^2(x) \\ f(x)\geqslant 0 \\ g(x)>0. \end{cases}$

А иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)}\leqslant g(x)$ , в свою очередь, равносильно следующей системе неравенств:

$\begin{cases} f(x)\leqslant g^2(x) \\ f(x)\geqslant 0 \\ g(x)\geqslant 0. \end{cases}$

Пример 1. Требуется решить неравенство:

$\sqrt{x-2}<\frac{x}{3}.$

Для решения иррационального неравенства переходим к равносильной системе неравенств:

$\begin{cases} x-2 <\left(\frac{x}{3}\right)^2 \\ x-2\geqslant 0 \\ \frac{x}{3}>0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x^2-9x+18>0 \\ x\geqslant 2 \\ x>0. \end{cases}$

Условие $x\geqslant 2$ «сильнее» условия $x>0$ , поэтому последнее неравенство системы можно отбросить. Решаем квадратичное неравенство. Для этого находим корни уравнения $x^2-9x+18 = 0$ , они равны $x_1 = 3$ и $x_2 =6$ . Теперь строим кривую знаков и стрелкой отмечаем на ней условие $x\geqslant 2$ :

Получаем следующий ответ к неравенству: $x\in[2;3)\cup(6;+\mathcal{1})$ .

Решение иррациональных неравенств второго типа

Рассмотрим теперь иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)}>g(x)$ . Как и в предыдущем случае, безусловным требованием является отсутствие под знаком корня отрицательных чисел. То есть должно выполняться условие $f(x)\geqslant 0$ . При этом выражение $\sqrt{f(x)}$ тоже, конечно, является неотрицательным. Пусть, например, при некотором значении $x$ оно равно $6$ . Если при этом же значении $x$ , значение выражения $g(x)$ отрицательно, то есть $g(x)<0$ (например, это значение равно $-5$ ), то мы получаем верное неравенство $\sqrt{6}>-5$ . И никаких дополнительных требований уже не нужно.

Что если выражение $g(x)$ принимает неотрицательные значения, то есть $g(x)\geqslant 0$ ? Например, пусть при каком-то значении $x$ значение выражения $g(x)$ равно $4$ , а значение выражения $f(x)$ равно $25$ . Тогда верно как исходное неравенство $\sqrt{25}>4$ , так и неравенство, полученное после возведения обеих частей в квадрат $25>16$ . Как видите, в этом случае мы уже можем возводить обе части неравенства в квадрат, не боясь получить посторонние решения. При этом, раз уж мы требуем, чтобы $g(x)\geqslant 0$ , то из условия $f(x)>g^2(x)$ автоматически следует условие $f(x)\geqslant 0$ , о выполнении которого, получается, можно не беспокоиться.

Какие ещё подводные камни могут возникнуть при решении иррационального неравенства второго типа? Как и для иррационального неравенства первого типа, стоит отдельно рассмотреть случай, когда при каком-то значении переменной $x$ и значение выражения $g(x)$ , и значение выражения $f(x)$ равны нулю. Этот случай имеет значение только если неравенство нестрогое. Тогда неравенство, полученное после возведения обеих частей исходного иррационального неравенства в квадрат, тоже должно быть нестрогим. В случае строгого неравенства ничего не изменится.

Итак, исходя из всего вышеизложенного, можно заключить, что неравенство вида $\sqrt{f(x)}>g(x)$ равносильно следующей совокупности из двух систем неравенств:

$\left[ \begin{array}{l} \begin{cases} g(x)\geqslant 0\\ f(x)>g^2(x) \end{cases} \\ \begin{cases} f(x)\geqslant 0 \\ g(x)<0. \end{cases} \end{array}$

Ну а неравенство вида $\sqrt{f(x)}\geqslant g(x)$ равносильно следующей совокупности из двух систем неравенств:

$\left[ \begin{array}{l} \begin{cases} g(x)\geqslant 0\\ f(x)\geqslant g^2(x) \end{cases} \\ \begin{cases} f(x)\geqslant 0 \\ g(x)< 0. \end{cases} \end{array}$

Квадратная скобка обозначает совокупность, то есть объединение решений каждой из систем неравенств.

Пример 2. Требуется решить неравенство:

$\sqrt{x-2}\geqslant\frac{x-1}{2}.$

Для решения данного иррационального неравенства перейдём к следующей равносильной совокупности:

$\left[ \begin{array}{l} \begin{cases} \frac{x-1}{2}\geqslant 0\\ x-2\geqslant \left(\frac{x-1}{2}\right)^2 \end{cases} \\ \begin{cases} x-2\geqslant 0 \\ \frac{x-1}{2}< 0. \end{cases} \end{array}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x\geqslant 1 \\ x^2-6x+9\leqslant 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x\geqslant 2 \\ x< 1. \end{cases} \end{array}$

В первой системе неравенство $x^2-6x+9\leqslant 0$ можно преобразовать по формуле «квадрат разности» к виду $(x-3)^2\leqslant 0$ , которое выполняется при одном единственном значении $x=3$ (при всех остальных значениях x выражение $(x-3)^2$ положительно, потому что это полный квадрат). Это условие удовлетворяет требованию $x\geqslant 2$ . Что касается второй системы, то для неё нет ни одного значения $x$ , при которых были бы выполнены оба условия одновременно. То есть решений данная система не имеет. Тогда в итоге в ответе получаем одно единственное число: $x=3$ .

Ну и напоследок решим более сложное иррациональное неравенство, чтобы показать, что даже более сложные случаи сводятся к тем двум типам иррациональных неравенств, решение которых описано в данной статье.

Пример 3. Решите неравенство:

$\sqrt{x^2+3x+2}-\sqrt{x^2-x+1}<1.$

Перенесём второй радикал (корень) в правую часть неравенства с противоположным знаком. В результате данного преобразования получим такое неравенство:

$\sqrt{x^2+3x+2}<1+\sqrt{x^2-x+1}.$

Это уже неравенство вида $\sqrt{f(x)}<g(x)$ , поэтому можно перейти к следующей равносильной системе:

$\begin{cases} x^2+3x+2\geqslant 0 \\ x^2-x+1\geqslant 0 \\ x^2+3x+2<\left(1+\sqrt{x^2-x+1}\right)^2. \end{cases}$

Обращаем сразу внимание, что второе неравенство системы выполняется при любых значениях $x$ . Действительно, ветви соответствующей параболы направлены вверх, а дискриминант соответствующего квадратичного уравнения отрицателен, то есть эта парабола нигде не пересекает ось абсцисс. Поэтому соответствующая квадратичная функция принимает только положительные значения. Первое неравенство решается методом интервалов. Теперь в последнем неравенстве нужно раскрыть скобки и упростить полученное выражение. В результате получаем следующую систему:

$\begin{cases} x\leqslant -2,\, x\geqslant -1 \\ \sqrt{x^2-x+1}>2x. \end{cases}$

Последнее неравенство системы — это иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)}>g(x)$ . Его можно представить в виде равносильной ему совокупности, о которой я подробно рассказывал выше. В результате получаем следующую равносильную систему:

$\left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x\leqslant -2,\, -1\leqslant x< 0 \\ x^2-x+1\geqslant 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x\geqslant 0 \\ 3x^2+x-1<0. \end{cases} \end{array}$

Дальше всё решается стандартными способами, которые уже были рассмотрены в данной статье. Попробуйте дорешать этот пример до конца самостоятельно. Внимание спойлер! Окончательный ответ к неравенству будет выглядеть следующим образом:

$x\in(-\mathcal{1};-2]\cup\left[-1;\frac{\sqrt{13}-1}{6}\right).$

Вот такой способ решения иррациональных неравенств. Запомните его, он вам пригодится на экзамене по математике, будь то ОГЭ, ЕГЭ или дополнительное вступительное испытание при поступлении в ВУЗ.

Проверьте, насколько хорошо вы усвоили материал урока. Выполните следующие задания самостоятельно:

Решите неравенство: $\sqrt{3x-x^2}<4-x$ .

Показать ответ

$x\in[0;3]$

Решите неравенство: $\sqrt{x+3}<\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}$ .

Показать ответ

$x\in\left(\frac{2\sqrt{21}}{3};+\mathcal{1}\right)$

Материал подготовлен репетитором по математике, Сергеем Валерьевичем

5 комментариев

⇓

Ирина
21.03.2017 к 19:35

Помогите, пожалуйста, решить второе неравенство, никак не могу получить верный ответ!
- Сергей
  22.03.2017 к 09:57
  
  Найдите, при каком значении левая часть неравенства равна правой, и докажите, что при всех x, которые больше этого числа, неравенство выполняется.
  - Арсений
    18.10.2017 к 03:43
    
    Здравствуйте, Сергей. А как доказать что при всех значениях x, которые больше этого числа, неравенства выполняется.
    - Сергей
      18.10.2017 к 08:41
      
      Здравствуйте. Область допустимых значений неравенства: x>=2. Обе части неравенства неотрицательны, то есть можно возвести их в квадрат, не меняя при этом знак неравенства. Получаем неравенство 6-x<2*корень((x-1)(x-2)). Решаем теперь уравнение 6-x=2*корень((x-1)(x-2)) возведением обеих частей в квадрат. Получаем один корень, удовлетворяющий условию x>=2. Это корень x = 2*корень(21)/3. Значит график убывающей функции y=6-x пересекает график возрастающей при x>=2 функции y=2*корень((x-1)(x-2)) в точке x = 2*корень(21)/3. Стало быть до пересечения при x>=2 первая функция y=6-x принимала бОльшие значения, чем вторая, а после пересечения станет принимать мЕньшие. Нас интересуют мЕньшие. То есть ответ (2*корень(21)/3;+бесконечность).
Станислав
07.10.2019 к 19:29

Здравствуйте Сергей, помогите пожалуйста решить одно неравенство:
√x^2-x(все в корне)>2√3
Тема понятная, но как у меня,так и у всех одна проблема, поменяли пару чисел или знаков и все, задача невыполнима.
(хотя бы объясните как подобные решаются или вы наверное скажите что я не внимательный, и попросите прочитать еще раз)

Комментарии закрыты

топ