Стереометрия на ЕГЭ по математике

Автор

Среда, 23 мая, 2012

Стереометрия ЕГЭ задачи

Стереометрии в экзаменационных вариантах ЕГЭ по математике посвящены задачи B9 и C2, первые попроще, вторые посложнее. О некоторых методах решения задач C2 можно почитать в статье «Как решать задачи C2 ЕГЭ по математике — советы репетитора». В данной статье мы подробно остановимся на решении задач B9. Причем как репетитор по физике и математике постараюсь построить изложение таким образом, что через решение простых заданий B9 мы будем переходить к решению более сложных задач C2 по стереометрии из ЕГЭ, связанных с теми же пространственными фигурами и величинами. Как всегда материал будем разбирать на конкретных примерах из вариантов ЕГЭ по математике прошлых лет.

Задачи по стереометрии из ЕГЭ, связанные с параллелепипедом

Пример 1. Найдите диагональ прямоугольного параллеле-пипеда, если она наклонена к его грани под углом 60^0, а стороны этой грани равны 3 и 4.
Стереометрическая задача B9 из ЕГЭ по математике

Чертеж к заданию

Решение. Так как ABCDA_1B_1C_1D_1 — параллелепипед, то DC\perp BCC_1, а значит и любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и CB_1. То есть треугольник DCB_1 — прямоугольный, гипотенузой в нем будет являться искомая диагональ DB_1.

Из прямоугольного треугольника CBB_1 находим гипотенузуCB_1=\sqrt{BC^2+BB_1^2} = 5. Для прямоугольного треугольника DCB_1 имеем \cos DB_1C = \frac{CB_1}{DB_1}, то есть DB_1 = \frac{5}{\cos 60^0} = 10.

Ответ: 10.

Задача для самостоятельного решения №1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна \sqrt{8} и наклонена к плоскости его грани под углом 45^0. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное плоскости этой грани.

Показать ответ
Ответ: 2.
Пример 2. Основанием прямого параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 является ромб ABCD, сторона которого равна 4\sqrt{3}, а угол BAD равен 60^0. Найдите расстояние от точки A до прямой C_1D_1, если известно, что боковое ребро данного параллелепипеда равно 8.
Стереометрия на ЕГЭ по математике задача C2 с параллелепипедом

Рисунок к заданию с выноской

Решение. Искомое расстояние есть высота треугольника AC_1D_1, проведенная из вершины A. Ищем стороны данного треугольника. Ребро C_1D_1 = 4\sqrt{3}. Из прямоугольного треугольника ADD_1 находим AD_1 = \sqrt{AD^2+DD_1^2} = 4\sqrt{7}.

Далее \angle ADC = 180^0-60^0 = 120^0. Из теоремы косинусов для треугольника ADC получаем, что AC^2 = AD^2+DC^2--2\cdot AD\cdot DC\cos\angle ADC, откуда AC = 12. Из прямоугольного треугольника ACC_1 находим AC_1=\sqrt{AC^2+CC_1^2} = 4\sqrt{13}.

Из теоремы косинусов для треугольника AC_1D_1 получаем, что D_1C_1^2 = AD_1^2+AC_1^2-2\cdot AD_1\cdot AC_1 \cos\angle D_1AC_1, откуда \cos \angle D_1AC_1 = \frac{17}{2\sqrt{13}\sqrt{7}}. Тогда \sin\angle D_1AC_1 = \frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{13}\sqrt{7}}. Площадь треугольника равна S = \frac{1}{2}AD_1\cdot AC_1\sin\angle D_1AC_1 = 20\sqrt{3}. С другой стороны S = \frac{1}{2}AH\cdot C_1D_1 = 2\sqrt{3}\cdot AH. Следовательно, AH = 10.

Здесь мы воспользовались приемом сведения задачи по стереометрии из ЕГЭ к задаче по планиметрии. Как видите, в данном случае такой способ решения нельзя назвать наиболее рациональным. И все же он не лишен права на существование. Подробнее о решении планиметрических задач из ЕГЭ по математике читайте в статье «Решение задач C4».

Ответ: 10.

Задача для самостоятельного решения №2. Основанием прямой призмы ABCA_1B_1C_1 является равнобедренный треугольник ABC, боковая сторона которого равна 6\sqrt{3}, а угол ACB равен 120^0. Найдите расстояние от точки A до прямой B_1C_1, если известно, что боковое ребро данной призмы равно 12.

Показать ответ
Ответ: 15.

Задачи по стереометрии из ЕГЭ, связанные с пирамидой

Пример 3. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 4. Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30^0. Найдите боковое ребро пирамиды.
Чертеж к задаче B9 по стереометрии из ЕГЭ по математике

Чертеж к заданию

Решение.  Угол наклона бокового ребра к плоскости основания есть угол между этим боковым ребром и его проекцией на плоскость основания, то есть угол SDO, где SO — перпендикуляр из вершины S на плоскость ABC (высота пирамиды). Для прямоугольного треугольника SOD имеем \sin\angle SDO = \frac{SO}{SD}, откуда SD = \frac{4}{\sin 30^0} = 8.

Задача для самостоятельного решения №3. Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6. Боковое ребро равно 5. Найдите высоту пирамиды.

Показать ответ
Ответ: 4.
Пример 4. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD с вершиной P сторона основания равна 3, высота 2. Найдите расстояние от вершины A до плоскости боковой грани PCD.
Задача по стереометрии с правильной пирамидой

Чертеж к задаче

Решение. DC лежит в плоскости PDC, AB в этой плоскости не лежит и параллельна DC, следовательно, AB параллельна PDC. Ищем расстояние из точки K (середины AB), оно будет равно искомому расстоянию из точки A, что следует из доказанного выше.

Точка H находится в центре основания ABCD, поскольку пирамида правильная. То есть KH = \frac{1}{2}KL = 1,5. Из прямоугольного треугольника PLH находим PL = \sqrt{HL^2+PH^2} = 2,5. Площадь треугольника PKL с одной стороны есть S = \frac{1}{2}KL\cdot PH = 3, а с другой стороны S = \frac{1}{2}PL\cdot KO = \frac{5}{4}KO. Сравнивая полученные результаты, получаем, что KO = \frac{12}{5}.

Ответ: \frac{12}{5}.

Задача для самостоятельного решения №4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми SB и AC.

Показать ответ
Ответ: \frac{1}{2}.

Задачи по стереометрии из ЕГЭ, связанные c цилиндром

Пример 5. Радиус основания цилиндра равен 3. Найдите диагональ осевого сечения цилиндра, если она наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 60^0.
Цилиндр с осевым сечением задача по стереометрии

Чертеж к задаче

Решение. Искомую диагональ ищем из прямоугольного треугольника ABC. По определению косинуса получаем: \cos 60^0=\frac{BC}{AC}, откуда находим AC = \frac{BC}{\cos 60^0}=\frac{3+3}{0,5}=12.

Ответ: 12.

Задача для самостоятельного решения №5. Образующая цилиндра равна 10. Диагональ осевого сечения наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 45^0. Найдите радиус основания цилиндра.

Показать ответ
Ответ: 5.
Пример 6. Найдите высоту и радиус цилиндра, имеющего наибольшую площадь боковой поверхности, если периметр осевого сечения цилиндра равен 2p.
Наибольшая площадь сечения цилиндра задача по стереометрии

На рисунке r — радиус основания, l — образующая цилиндра

Решение. Из рисунка видно, что периметр осевого сечения цилиндра определяется по формуле: 2p = 4r+2l или, что тоже самое, p = 2r+l. Площадь осевого сечения равна S=2rl, с учетом l=p-2r получаем S = 2r(p-2r) = 2pr-4r^2.

Полученное выражение представляет собой квадратичную функцию S от переменной r. Наибольшее значение она принимает в вершине соответствующей параболы, то есть в точке r = \frac{p}{4}. При этом образующая цилиндра равна l=\frac{p}{2}.

Ответ: \frac{p}{2} или \frac{p}{4}.

Задача для самостоятельного решения №6. Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади круга, описанного около его осевого сечения. Найдите отношение радиуса цилиндра к его высоте.

Показать ответ
Ответ: \frac{2\pm\sqrt{3}}{2}.

Задачи по стереометрии из ЕГЭ, связанные с конусом

Пример 7. Диаметр основания конуса равен 6. Образующая наклонена к плоскости основания под углом 60^0. Найдите образующую конуса.
Чертеж к задаче по стереометрии с конусом

Рисунок к задаче

Решение. На рисунке треугольник SAB — равносторонний, поэтому искомая образующая равна 6.

Ответ: 6.

Задача для самостоятельного решения №7. Образующая конуса равна 10 и наклонена к плоскости основания под углом 60^0. Найти радиус основания конуса.

Показать ответ
Ответ: 5.
Пример 8. Найдите угол между образующей и высотой конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор с дугой 270^0.
Конус и развертка его боковой поверхности стереометрия

Конус и развертка его боковой поверхности

Решение. Длина дуги сектора, образованного разверткой боковой поверхности конуса, равна с одной стороны \frac{3}{4}\cdot 2\pi l = \frac{3}{2}\pi, а с другой — 2\pi r — длина окружности основания конуса. Откуда получаем, что \frac{r}{l} = \frac{3}{4}. Но это же отношение есть синус угла между образующей и высотой конуса. Итак, искомый угол есть \operatorname{arcsin}\frac{3}{4}.

Ответ: \operatorname{arcsin}\frac{3}{4}.

Задача для самостоятельного решения №8. Высота конуса равна 4, а радиус основания равен 3. Вычислите площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды, вписанной в этот конус.

Показать ответ
Ответ: 18+6\sqrt{41}.

Задачи по стереометрии из ЕГЭ, связанные со сферой

Пример 9. Найдите радиус сферы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен 3, и образующая равна 8.
Цилиндр вписанный в сферу стереометрия на ЕГЭ

Осевое сечение описанной в задаче системы

Решение. OH = 4, BH = 3, тогда из прямоугольного треугольника BHO по теореме Пифагора находим BO=\sqrt{OH^2+HB^2} = 5.

Ответ: 5.

Задача для самостоятельного решения №9. Найдите диаметр сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны 2, 3, 6.

Показать ответ
Ответ: 7.

Итак, подведем итог. Что нужно для успешного решения задач по стереометрии из ЕГЭ?

  • знание основных формул для нахождения значений геометрических величин пространственных фигур;
  • умение проводить дополнительные построение и доказательства верности этих построений;
  • верно выполнять арифметические преобразования численных и буквенных выражений.

До экзамена осталось совсем мало времени и использовать его нужно максимально эффективно. К примеру, тренируйтесь в выполнении заданий, которые вызывают наибольшие затруднения. Помните, от того насколько хорошо вы сдадите выпускные экзамены в какой-то мере зависит ваша дальнейшая жизнь. Успехов вам!

Репетитор по математике на Тёплом Стане
Сергей Валерьевич

Геометрия — это искусство хорошо рассуждать на плохо выполненных чертежах.
© Нильс Г. Абель

Метки: , ,
Опубликовано в категории Методическая копилка | 4 комментария »

Комментарии

  1. Александр:
    17.01.2020 в 01:56

    В примере №4 «Найдите расстояние от вершины A до грани PCD.»
    До самой грани, а не до плоскости содержащей грань. Нужно найти высоту в треугольнике АРD.

    1. Сергей Валерьевич:
      17.01.2020 в 08:17

      Расстояние до плоскости боковой грани.

  2. Александр:
    17.01.2020 в 04:33

    Пример №10
    Возьмём пирамиду в основании которой прямоугольник со сторонами 6 и 8. Рассмотрим диагональные сечения. Они представляют собой равные равнобедренные треугольники. Значит углы наклона рёбер к основанию ( углы при основании диагональных сечений) равны. Отсюда вывод: в основании пирамиды не обязательно квадрат.
    Где у меня ошибка?

    1. Сергей Валерьевич:
      17.01.2020 в 08:47

      Согласен, не обязательно квадрат. Всё верно.