Как решать задачи C2 ЕГЭ по математике — советы репетитора

Суббота, 31 марта, 2012

Как научиться решать задачи по математике

Как научиться решать задачи C2 из ЕГЭ по математике? Этот вопрос в преддверии экзамена возникает у будущих выпускников все чаще. Как репетитор по математике, в течении длительного времени занимающийся подготовкой школьников к сдаче ЕГЭ, раскрою сегодня несколько связанных с этим секретов. Существует три основных метода решения задач C2 из ЕГЭ по математике. Условно назовем их «методом построений», «векторным методом» и «методом объемов». Каждый из них удобен в том или ином случае, поэтому лучше знать и уметь использовать все три (совет репетитора по математике).

Наиболее универсальным является «метод построений», с его помощью можно решить практически любую задачу по стереометрии из тех, что предлагаются в вариантах ЕГЭ по математике. Однако, он не всегда целесообразен с точки зрения временных и вычислительных затрат. В этом случае на помощь приходят два оставшихся метода. Но обо всем по порядку.

Итак, что же нужно, чтобы решать задачи C2 с использованием «метода построений». Необходимым (но, конечно, не достаточным) условием является безупречное знание и понимание основных теорем стереометрии, связанных с взаимным расположением прямых и плоскостей в пространстве. Они потребуются для доказательств, которые непременно сопровождают решение практически любой задачи C2, без которых часть баллов за это задание на экзамене может быть потеряна. Приведем в справочном виде основные из этих теорем.

1. Признак параллельности прямой и плоскости

Признак параллельности прямой и плоскости

Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая не лежит в плоскости и параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в данной плоскости, то она параллельна этой плоскости. На рисунке прямая a не лежит в плоскости \alpha, но при этом она параллельна прямой b, лежащей в плоскости \alpha, следовательно прямая a параллельна плоскости \alpha.

2. Признак параллельности плоскостей

Признак параллельности плоскосей

Признак параллельности плоскостей

Если две пересекающиеся прямые, принадлежащие одной плоскости, соответственно параллельны двум прямым, принадлежащим другой плоскости, то такие плоскости параллельны. На рисунке прямые a и b принадлежат плоскости \beta и пересекаются, прямые c и d принадлежат плоскости \alpha и пересекаются, кроме того прямая a параллельна прямой c, а прямая b параллельна прямой d, поэтому плоскости \alpha и \beta параллельны.

3. Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим данной плоскости, то такая прямая перпендикулярна этой плоскости. На рисунке прямые a и b лежат в плоскости \alpha и пересекаются, прямая c перпендикуляра и прямой a, и прямой b, следовательно прямая c перпендикулярна плоскости \alpha.

4. Теорема о трех перпендикулярах

Теорема о трех перпендикулярах

Теорема о трех перпендикулярах

Прямая. Прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Обратная. Прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная наклонной, перпендикулярна и проекции этой наклонной на данную плоскость.

На рисунке наклонная a пересекает плоскость \alpha в точке O. Из точки M, принадлежащей прямой a опущен перпендикуляр к плоскости \alpha, основанием этого перпендикуляра служит точка H, отрезок OH — проекция наклонной a на плоскость \alpha. В плоскости \alpha проведена прямая b перпендикулярно проекции OH, значит прямая b перпендикулярна и самой наклонной a. Верно и обратное.

5. Признак перпендикулярности плоскостей

Признак перпендикулярности плоскостей

Признак перпендикулярности плоскостей

Если плоскость проходит через прямую, которая перпендикулярна другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны. На рисунке прямая a перпендикулярна плоскости \alpha, плоскость \beta проходит через прямую a, поэтому плоскость \beta перпендикулярна плоскости \alpha.

Кроме знания этих теорем вам потребуется умение строить искомые в задачах углы и расстояния. В виде справки напомним, что понимается под расстояниями и углами между прямыми и плоскостями в стереометрии.

Геометрический объект Описание
Угол между скрещивающимися прямыми Это угол между одной их этих прямых и прямой, параллельной второй прямой и пересекающей первую
Расстояние между скрещивающимися прямыми Это длина общего перпендикуляра и обеим прямым
Угол между прямой и плоскостью Это угол между данной прямой и ее проекцией на данную плоскость
Расстояние от точки до прямой/плоскости Это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую/плоскость
Угол между плоскостями Это угол между перпендикулярами, проведенными в обеих плоскостях к линии их пересечения

Разберем несколько примеров.

Пример 1. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой AB и плоскостью SAD.
Решение задачи C2 из сборника тренировочных заданий для подготовки к ЕГЭ по математике 2012

Рисунок к задаче

Решение. В пирамиде SABCD проведем высоту SO, тогда точка O — центр основания ABCD. Соединим ее с серединой M ребра AD. MO — средняя линия треугольника ADB, значит MO=\frac{1}{2} и MO\parallel AB, поэтому угол между MO и плоскостью ASD равен углу между AB и этой плоскостью.

В треугольнике SMO проведем мысленно высоту OH. Докажем, что OH\perp SAD. Несложно доказать, что AD\perp SMO (сделайте это самостоятельно). Из этого следует, что AD перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости MSO, в том числе и OH. Кроме того OH перпендикулярна SM по построению. Получается, что OH перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости SAD, а потому перпендикулярна этой плоскости.

OM тогда можно рассматривать как наклонную к плоскости SAD, а MH — как ее проекцию на эту плоскость. Значит \angle OMS — по определению угол между прямой MO и плоскостью ADS. SM находим из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника ASM. Получаем, что SM=\sqrt{SA^2-AM^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}. Из прямоугольного треугольника SMO, по определению находим \cos\angle SMO = \frac{MO}{SM}=\frac{\sqrt{3}}{3}.

Пример 2. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1, стороны основания которой равны 5, а боковые ребра равны 11, найдите расстояние от точки C до прямой A_1F_1.
Решение задачи C2 по математике правильная шестиугольная призма

Чертеж к решению

Решение. Посмотрите на изображенный рисунок к задаче. В основаниях правильной шестиугольной призмы лежат правильные шестиугольники, все углы которых равны, как известно, по 120^0. Докажите самостоятельно, что A_1C_1\perp A_1F_1. Сей факт непосредственно следует из свойств правильного шестиугольника, которые вы изучали на уроках геометрии в девятом классе.

CC_1\perp A_1C_1F_1, так как призма правильная, поэтому CA_1 можно рассмотреть как наклонную к плоскости A_1C_1F_1, а A_1C_1 — как проекцию этой наклонной на данную плоскость. Прямая F_1A_1 лежит в плоскости A_1C_1F_1 и перпендикулярна проекции A_1C_1, а значит по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах, перпендикуляра и самой наклонной CA_1. То есть CA_1 — искомое расстояние.

Из теоремы косинусов для треугольника A_1C_1B_1 находим A_1C_1 = 5\sqrt{3}. (проведите расчет самостоятельно). Тогда из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника A_1C_1C получаем, что CA_1=\sqrt{A_1C_1^2+CC_1^2}, то есть CA_1 = 14.

«Метод построений», как было сказано, универсален и подходит для решения практически любой задач C2 по математике, но при этом зачастую приходится проводить множество различных доказательств, поэтому его не всегда можно назвать целесообразным. В том случае, если требуется найди угол между двумя прямыми, иногда удобнее использовать так называемый «векторный метод». Разберемся в чем его суть.

Под скалярным произведением векторов понимают: \vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cos\alpha, где \alpha — угол между векторами.

Если координаты вектора \vec{a}\left\{a_x,a_y,a_z\right\}, а координаты вектора \vec{b}\left\{b_x,b_y,b_z\right\}, то скалярное произведение находится по формуле: \vec{a}\cdot\vec{b}=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z.

Если известны координаты вектора \vec{a}\left\{x,y,z\right\}, то его длина находится по формуле: |\vec{a}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}.

Пример 3. В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB_1 и BC_1.

Решение.

1. «Метод построений»

Решение задачи C2 из сборника заданий для подготовки к ЕГЭ по математике 2012

«Метод построений»

Прямая BC_1 принадлежит плоскости BCC_1, прямая AB_1 пересекает эту плоскость в точке B_1, не лежащей на прямой BC_1, следовательно, прямые AB_1 и BC_1 являются скрещивающимися по соответствующему признаку. Через точку B_1 проведем прямую, параллельную прямой BC_1, пусть K — точка пересечения этой прямой и плоскости ABC, тогда \angle AB_1K — искомый по определению угла между скрещивающимися прямыми.

Ищем стороны треугольника AB_1K. KB_1C_1B — параллелограмм по построению, его противоположные стороны равны по соответствующему признаку, то есть B_1C_1 = KB = 1. В основаниях правильной треугольной призмы лежат правильные треугольники, каждый из углов которых, как известно, равен по 60^0. Значит \angle KBA = 120^0, как смежный с углом в 60^0. Сторону AK находим по теореме косинусов для треугольника ABK, получаем AK = \sqrt{3} (выполните расчет самостоятельно). Сторону KB находим по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника KBB_1, получаем KB_1=\sqrt{KB^2+BB_1^2}, то есть KB_1 = \sqrt{2}. Сторону AB_1 находим по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника AA_1B_1, получаем AB_1=\sqrt{AA_1^2+A_1B_1^2}, то есть AB_1=\sqrt{2}.

Зная три стороны треугольника, можно найти все его элементы. Искомый угол находим по теореме косинусов для треугольника AKB_1, получаем AK^2 = AB_1^2+KB_1^2-2\cdot AB_1\cdot KB_1\cos\angle AB_1K, то есть -1=-4\cdot\cos\angel AB_1K}, откуда \cos\angle AB_1K = \frac{1}{4}.

2. «Векторный метод»

Правильная треугольная призма в системе координат

«Векторный метод»

Обозначим косинус искомого угла \cos\alpha. Введем прямоугольную декартову систему координат так, как показано на рисунке. Ищем угол между векторами \overrightarrow{AB_1} и \overrightarrow{BC_1}. Координаты интересующих нас точек (определите их самостоятельно):

  • A(0;0;0);
  • B\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};0\right);
  • C_1(1;0;1);
  • B_1\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};1\right).

Чтобы определить координаты вектора, необходимо из координат точки, являющейся его концом, соответствующим образом вычесть координаты точки, являющейся его началом. То есть:

  • \overrightarrow{AB_1}\left\{\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};1\right\};
  • \overrightarrow{BC_1}\left\{\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2};1\right\}.

Искать длины данных векторов, используя соотношение |\vec{a}\{x,y,z\}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}, в данном случае нецелесообразно. Гораздо проще найти их из геометрии рисунка: \left|\overrightarrow{AB_1}\right| = \sqrt{2}, \left|\overrightarrow{BC_1}\right| = \sqrt{2}. Скалярное произведение равно, как известно, сумме произведений соответствующих координат, то есть в нашем случае \overrightarrow{AB_1}\cdot\overrightarrow{BC_1} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+1\cdot 1 =\frac{1}{2}. С другой стороны:  \overrightarrow{AB_1}\cdot\overrightarrow{BC_1} = \left|\overrightarrow{AB_1}\right|\cdot\left|\overrightarrow{BC_1}\right| \cdot\cos\alpha = 2\cos\alpha. Приравниванием правых частей последних двух выражений получаем \cos\alpha = \frac{1}{4}.

Второй случай, когда не всегда целесообразно использовать «метод построений», связан с нахождением расстояния от точки до плоскости. Здесь на помощь может прийти так называемый «метод объемов». Из теории здесь вам понадобится лишь знание формулы объема произвольной пирамиды (кто не помнит, S=\frac{1}{3}Sh, здесь S — площадь основания пирамиды, h — ее высота).

Пример 4. В единичном кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 найдите расстояние от точки A до плоскости BDC_1.

Решение.

1. «Метод построений»

Решение задачи C2 из ЕГЭ по математике методом построений и методом объемов

«Метод построений»

В треугольнике BDC_1 проведем высоту C_1H, соединим точки A и H. Искомое расстояние — высота AK треугольника AHC_1. Докажем это. AK\perp C_1K по построению. AH — наклонная к плоскости C_1BD, HK — проекция этой наклонной на данную плоскость, DB лежит в этой плоскости и перпендикулярна проекции по построению, значит перпендикулярна и самой наклонной по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах, то есть AK\perp DB. Получается, что AK перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости BDC_1, а значит по признаку перпендикулярности прямой и плоскости перпендикулярна этой плоскости.

Найдем стороны треугольника AHC_1. AH = \frac{1}{2}AC = \frac{\sqrt{2}}{2} (половина диагонали квадрата), AC_1 = \sqrt{3} — диагональ куба, C_1H находим из прямоугольного треугольника HBC_1 по теореме Пифагора: HC_1=\sqrt{C_1B^2-HB^2} = \frac{\sqrt{6}}{2}. Из теоремы косинусов для треугольника AHC_1 получаем, что 3 = \frac{1}{2}+\frac{6}{4}-2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha, то есть \cos\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}, тогда \sin\alpha = \frac{\sqrt{6}}{3}. Ищем площадь треугольника AHC_1, она равна S =\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{6}}{2}\cdot\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{4}. С другой стороны это S = \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{6}}{2}\cdot AK = \frac{\sqrt{6}}{4}AK. Приравнивая, получаем AK = \frac{\sqrt{3}}{3}.

2. «Метод объемов»

Решение задачи C2 с репетитором "методом объемов"

«Метод объемов»

Рассмотрим пирамиду ABDC_1. Вычислим ее объем двумя способами. Возьмем сперва в качестве основания грань ABD, площадь которой равна \frac{1}{2} (докажите самостоятельно), высота пирамиды в этом случае CC_1 = 1. Тогда ее объем равен V = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot 1 = \frac{1}{6}. Теперь в качестве основания возьмем грань BDC_1, площадь которой равна \frac{\sqrt{3}}{2} (проведите расчет самостоятельно). Тогда объем равен V = \frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}h = \frac{\sqrt{3}}{6}h. Приравнивая получаем, h = \frac{\sqrt{3}}{3}.

На этом на сегодня все. Задавайте свои вопросы в комментариях, подписывайтесь на обновления. А напоследок очередное ближневосточное мудрое изречение, как нельзя лучше подходящее к тяжкой проблеме поиска по-настоящему нужных и ценных знаний.

Я знаю немного, но то, что знаю, — знаю в совершенстве.
© Абу-лъ-Фарадж

Ваш профессиональный
репетитор по физике и математике
Сергей Валерьевич

Комментарии

  1. Иван:

    По решению примера 2, там где я начал вычислять гипотенузу по теореме косинусов у треугольника в верхнем основании призмы, то получается что А1С1 = корню из 75 (по расчёту брал угол в градусах). Объясните пожалуйста откуда у вас 3 корня из 5 вышло?

    1. Sergey Seliverstov:

      Да, спасибо. Имелось ввиду, конечно, пять корней из трех. Исправил.

  2. Катерина:

    Никак не могу понять откуда взялись координаты точки В в векторном методе.

    1. Sergey Seliverstov:

      Координата х точки В — это длина отрезка АМ, которая равна 0,5. Действительно, BM — высота, проведенная в равностороннем треугольнике, поэтому она одновременно является и медианой. То есть AM = MC = 0,5. По рисунку так не скажешь, но это уж как получилось. Геометрия — наука правильно решать задачи на неправильных чертежах :-). Координата y точки B — это длина отрезка BM, которая находится по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника BMC. Координата z точки B равна 0, поскольку точка лежит в плоскости XOY.

  3. Рашид:

    Здравствуйте. Никак не пойму, почему в примере 3, используя метод построений, вы нашли угол AB1K, тогда как искомым является угол B1KB? Спасибо.

    1. Сергей:

      Здравствуйте. Нет, искомым является именно угол AB1K.

      1. Петр:

        В конце первого абзаца решения №3, Вы, действительно, говорите, что искомый B1KВ, а потом находите угол AB1K, который является искомым. Опечатка?

        1. Сергей:

          Да, спасибо. Понял, что вводило людей в заблуждение)

  4. Славик:

    Здравствуйте, в примере №1 разве не правильнее написать в условии, что «ребро основания» равно 1, а не ВСЕ ребра?

    1. Сергей:

      Здравствуйте, нет. Потому что у правильной пирамиды боковые рёбра могут быть не равны рёбрам, которые образуют основание.

      1. Славик:

        Про это и говорю. Если в условии написано, что все ребра пирамиды равны, я буду думать, что и боковые, и ребра основания равны. В решении по-другому.

        1. Сергей:

          В решении все ребра (и боковые, и в основании) равны 1.

          1. Славик:

            а, сори, да, все равны 1. Просто в решении там SM=корень из 3 на 2. Надо поменять SM на то, что находим в том действии. Качественнее надо тырить решения и менять буковки!

          2. Сергей:

            В том действии именно SM и есть. Высота в боковой грани SAD. Она равна корень из 3 на 2. Там и тырить то нечего, задача вводная и элементарная.

  5. Natalya:

    Спасибо! Доступно описаны все приемы решения данных задач.

Добавить комментарий