Геометрические задачи ЕГЭ с решениями

Суббота, Сентябрь 3, 2016

В данной статье разобраны решения геометрических задач, встречающихся в вариантах профильного ЕГЭ по математике. Всего таких задач 5: 3 из первой части и 2 из второй. По крайней мере, такой расклад был на момент написания статьи. Представленные материалы будут полезны тем, кто только начал подготовку к предстоящему экзамену. Здесь вы найдёте геометрические задачи ЕГЭ с решениями, снабжёнными подробными и понятными комментариями от профессионального репетитора по математике. Представлен также видеоразбор решений каждого задания.

Задачи представлены под номерами, под которыми они числятся в вариантах профильного ЕГЭ по математике.

Задача 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.Трапеция в квадратной решётке

Даже если вы забыли формулу площадь трапеции на экзамене, не спешите отчаиваться. Вы всегда может решить задачу проще, чем вас научили в школе. В данном случае можно просто посчитать площадь по клеточкам:

Трапеция на клеточной бумаге со вспомогательными прямоугольниками

Искомая площадь равна половине площади синего прямоугольника, плюс площади зелёного прямоугольника, плюс половина площади красного прямоугольника. Итого, получаем \frac{1}{2}\cdot 6+6+\frac{1}{2}\cdot 12 = 15.

Задача 6. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 3 и 5. Найдите среднюю линию трапеции.Окружность вписана в трапецию с боковыми сторонами 5 и 3

По-хорошему, рисунок здесь не нужен. Поскольку в трапецию вписана окружность, то суммы противоположных сторон равны. Следовательно, сумма оснований равна 8, а полусумма и, соответственно, средняя линия трапеции равны 4.

Задача 8. Площадь полной поверхности конуса равна 35. Сечение конуса плоскостью, проведенной параллельно основанию конуса, делит его высоту в отношении 3:2, если считать от вершины. Вычислите площадь полной поверхности полученного отсечённого конуса.

Конус и полученный из него отсечённый конус

Все линейные размеры малого конуса в \frac{3}{5} раз отличаются от линейных размеров большого конуса. Следовательно, квадратичные размеры (площадь поверхности) малого конуса в \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}  раз отличаются от квадратичных размеров большого конуса. То есть искомая площадь полной поверхности отсечённого конуса равна 35\cdot \frac{9}{25} = \frac{28}{5} = 12.6.

Задача 14. Дана пирамида ABCD такая, что в основании находится правильный треугольник ABC, а ребро CD перпендикулярно основанию. Все вершины пирамиды принадлежат сфере с центром в точке O.

а) Докажите, что прямая, проходящая через точку O и центр описанной около треугольника ABC окружности, перпендикулярна плоскости ABC.

б) Найдите радиус описанной сферы, если AB = 6, а CD = 4.


а) Из точки O опустим перпендикуляр OE на плоскость ABC:

Пирамида с перпендикулярным основанию ребром

Точка O равноудалена от точек A, B и C, так как O — центр описанной около пирамиды окружности. Тогда выделенные красным цветом прямоугольные треугольники AOE, BOE и COE равны по гипотенузе и катету.

Тогда AE = BE = CE. То есть точка E, лежащая в плоскости треугольника ABC, равноудалена от его вершин. Следовательно, она является центром описанной около него окружности. Что и требовалось доказать.

При доказательстве мы использовали так называемый метод решения с конца. Построили требуемый перпендикуляр и доказали, что данные условия задачи удовлетворены.

б) Введем систему координат, как показано на рисунке, и определим координаты вершин пирамиды в этой системе:

Пирамида с перпендикулярным основанию ребром в прямоугольной системе координат

Пусть центр описанной около этой пирамиды сферы имеет координаты O(X;Y;Z). Пусть радиус сферы равен R. Тогда уравнение сферы во введённой системе координат имеет вид:

    \[ (x-X)^2+(y-Y)^2+(z-Z)^2=R^2. \]

Этой сфере принадлежат все вершины данной пирамиды. Следовательно, имеет место следующая система:

    \[ \begin{cases} X^2+Y^2+Z^2 = R^2 \\ (X-6)^2+Y^2+Z^2 = R^2 \\ X^2+Y^2+(Z-4)^2 = R^2 \\ (X-3)^2+(Y-3\sqrt{3})^2+Z^2 = R^2 \end{cases} \]

Сравнивая первые два уравнения, получаем X^2 = (X-6)^2, откуда X = 3. Аналогично, сравнивая первое и третье уравнения, получаем Z^2=(Z-4)^2, откуда Z=2.

Теперь подставляем полученные значения в первое и последнее уравнение. В результате приходим к системе:

    \[ \begin{cases} Y^2 = R^2-13 \\ (Y-3\sqrt{3})^2 = R^2-4 \end{cases} \]

Вычитаем почленно из первого уравнения второе и получаем:

    \[ Y^2-(Y-3\sqrt{3})^2 = -9 \Leftrightarrow 6\sqrt{3}Y=18\Leftrightarrow Y = \sqrt{3}. \]

Тогда из первого уравнения получаем, что R^2 = 9+3+4=16, откуда R=4. Отрицательное значение не берём, так как радиус не может быть отрицателен.

Обратите внимание, что попутно мы также получили координаты центра описанной сферы O(3;\sqrt{3};2).

Задача 16. В трапеции ABCD точка E — середина основания AD, точка M — середина боковой стороны AB. Отрезки CE и DM пересекаются в точке O.

a) Докажите, что площади четырёхугольника AMOE и треугольника COD равны.

б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника AMOE, если BC = 3, AD = 4.

Изобразим чертёж к задаче:
Трапеция из решения геометрической задачи на ЕГЭ

а) Высота треугольника AMD из вершины M вдвое меньше высоты треугольника ECD из вершины C. При этом основание AD вдвое больше основания ED. Значит площади этих треугольников равны. А поскольку EOD — общая часть этих этих треугольников, то площади четырёхугольника AMOE и треугольника COD равны.

б) Обозначим высоту трапеции за h. Тогда её площадь равна \frac{7}{2}h кв. ед., а площадь треугольника AMD равна h кв. ед. Цель состоит в том, чтобы найти площадь треугольника EOD.

Выполним дополнительное построение: продолжим отрезок MD до пересечения с прямой BC в точке H. Тогда рисунок будет выглядеть следующим образом:

Трапеция с дополнительным построением из решения геометрической задачи из ЕГЭ

Треугольник HMB равен треугольнику AMD по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, HB равно 4. Треугольник HCO подобен треугольнику ODE по двум углам. При этом коэффициент подобия равен \frac{7}{2}.

Следовательно, высота треугольника OEA, проведенная к основанию ED, равна \frac{2}{9}h. Тогда площадь четырёхугольника AMOE равна \frac{7}{9}h кв. ед. Тогда искомое отношение равно \frac{2}{9}.

Материал подготовлен репетитором по математике и физике в Москве, Сергеем Валерьевичем

Смотрите также:

Добавить комментарий