Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, или Почему 0.999… = 1

Суббота, 11 августа, 2012

$\begin{array}{l} ^1/_3= 0,333333... \\ \\ ^2/_3 = 0,666666...\end{array}$

Складываем эти равенства. Слева получаем: $\frac{1}{3}+\frac{2}{3} = 1,$ справа получаем: 0,333333…+0,666666… = 0,999999… То есть число 0,999999… в точности равно 1. Это лишь одно из возможных доказательств этого утверждения. Докажем его с помощью формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Рассмотрим бесконечную десятичную дробь:

$0,(45) = 0,4545454545454545454545454545454545...$

Эту дробь можно представить в виде бесконечной суммы:

$0,45+0,0045+0,000045+0,00000045...$

Легко заметить, что слагаемыми этой суммы являются члены бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем $q = 0,01$ и первым членом $b_1 = 0,45.$ Действительно, каждое последующее слагаемое определяется умножением предыдущего на $q = 0,01.$ Из курса математики известно, что сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии определяется по формуле:

$S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{0,45}{1-0,01} = \frac{45}{99} = \frac{5}{11}.$

Итак, мы получили:

$\frac{5}{11} = 0,45454545454545454545454545454545454545...$

Можете взять калькулятор, разделить 5 на 11, чтобы убедиться, что это действительно так.

Рассмотрим теперь число:

$0,(9) = 0,9999999999999999999999999999999999...$

Его можно представить в виде бесконечной суммы:

$0,9+0,09+0,009+0,0009+0,00009+...$

Слагаемыми этой суммы являются члены бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем $q = 0,1$ и первым членом $b_1 = 0,9.$ Значит эта сумма равна: