Уравнения и неравенства с модулем

Автор

Суббота, 18 августа, 2012

Разбор решений простейших уравнений и неравенств с модулем

Репетитору по математике часто приходится сталкиваться с отсутствием у старшеклассников навыков решения простейших уравнений и неравенств с модулем. Между тем среди заданий С3 или С5 из ЕГЭ по математике таковые могут встретиться. Даже если их не будет на экзамене в явном виде, в процессе выполнения некоторых задач из ЕГЭ вам, возможно, придется столкнуться с решением того или иного задания с модулем. Поэтому научиться решать уравнения и неравенства с модулем должен каждый выпускник средней школы. В данной статье рассмотрены некоторые способы их решения. Присутствует также видеоразбор решения одного уравнения, содержащего модуль.

Считается, что чем больше способов решения существует у задачи, тем она интереснее с математической точки зрения. Уравнения и неравенства с модулями можно поэтому смело назвать интересными. Рассмотрим пример.

Решите уравнение:

    \[ |2x+1|=2x^2+1. \]

Решение. Постараемся найти как можно большее количество решений данного уравнения. Подробное объяснение решений смотрите в видеоуроке.

Способ №1. Решение возведением в квадрат. Просто возводим обе части уравнения в квадрат. При этом не забываем, что подобное преобразование не является равносильным. Из-за этого могут появиться посторонние корни, поэтому полученные решения необходимо будет проверить прямой подстановкой в исходное уравнение.

    \[ |2x+1|^2=(2x^2+1)^2\Leftrightarrow \]

    \[ 4x^2+4x+1=4x^4+4x^2+1\Leftrightarrow \]

    \[ 4x^4-4x=0\Leftrightarrow x(x^3-1) = 0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=0,\\ x=1.\end{array}\right. \]

Путем прямой подстановки полученных решений в исходное уравнение убеждаемся, что посторонних корней среди них нет. На самом деле в данном конкретном задании отсутствует необходимость проверки корней. Возведение обеих частей этого уравнения в квадрат не может привести к приобретению посторонних решений. Подумайте самостоятельно, почему это так.

Способ №2. Метод интервалов. Не совсем верное название, но мы его здесь употребим, поскольку в методической литературе оно встречается. Для решения нам потребуется найти значение переменной x, при котором подмодульное выражение обращается в ноль: 2x+1 = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{1}{2}. Наносим эту точку на числовую прямую и определяем знаки подмодульного выражения на полученных промежутках.

Разбор решения уравнения с модулем методом интервалов

Числовая прямая

Далее на каждом промежутке раскрываем знак модуля в соответствии с полученными данными:

  • при x\in\left(-\mathcal{1};-\frac{1}{2}\right] подмодульное выражение отрицательно, и модуль раскрывается со знаком минус: -2x-1=2x^2+1 или x^2+x+1=0. Дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, корней нет.
  • при x\in\left(-\frac{1}{2};+\mathcal{1}\right) подмодульное выражение положительно, и модуль раскрывается со знаком плюс: 2x+1=2x^2+1 или 2x^2-2x=0. Корни уравнения x=0 и x=1. Оба принадлежат рассматриваемому нами промежутку.

Способ №3. Замена уравнения смешанной системой. Известно, что:

    \[ |f(x)| = g(x)\Leftrightarrow \begin{cases} g(x)\geqslant 0 \\ \left[\begin{array}{l}f(x) = g(x) \\ f(x)=-g(x)\end{array}\right. \end{cases} \]

Для тех, кто не знает, какой именно смысл вкладывается в математике в фигурные и квадратные скобки, рекомендую ознакомиться со статьей «Решение систем логарифмических и показательных неравенств». То есть в нашем случае:

    \[ \begin{cases} 2x^2+2\geqslant 0, \\ \left[\begin{array}{l}2x+1 = 2x^2+1, \\ 2x+1 =-2x^2-1.\end{array}\right. \end{cases} \]

Легко заметить, что первое неравенство выполняется при любом значении x. Следовательно, в составе системы на него вообще можно не обращать внимания. Ситуация несколько упрощается:

    \[ \left[\begin{array}{l}2x+1 = 2x^2+1, \\ 2x+1 =-2x^2-1 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=0, \\ x=1.\end{array}\right. \]

Способ №4. Графический. Строим в одной системе координат графики функции y=2x^2+1 и y = |2x+1|. Абсциссы точек их пересечения будут являться решениями уравнения. Метод менее точный, но более наглядный. Видно, что это все те же x=0 и x=1.

Графическое решение уравнения с модулем

Соответствующие графики функций на одном координатном поле.

На этом список стандартных способов решения данного уравнения с модулем исчерпан. Придумайте свои нестандартные.

Простейшие уравнения с модулем

    \[|f(x)| = f(x)\Leftrightarrow f(x) \geqslant 0.\]

    \[|f(x)| = -f(x) \Leftrightarrow f(x) \leqslant 0.\]

    \[|f(x)|=|g(x)|\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}f(x) = g(x) \\ f(x)=-g(x)\end{array}\right.\]
Пример 1. Решите уравнение:

    \[ |x^2-5x+6|=-x^2+5x-6. \]

Решение. Перепишем уравнение в виде:

    \[ |x^2-5x+6| = -(x^2-5x+6). \]

Получается, что модуль выражения равен этому выражению, взятому с противоположным знаком. Такое возможно только в том случае, если данное выражение отрицательно или равно нулю:

    \[ x^2-5x+6\leqslant 0\Leftrightarrow 2\leqslant x\leqslant 3. \]

Ответ: x\in[2;3].

Задача для самостоятельного решения №1. Решите уравнение

    \[ |x^2-7x+12| = x^2-7x+12. \]

Показать ответ

Ответ: x\in(-\mathcal{1};3]\cup[4;+\mathcal{1}).

    \[|f(x)| = g(x)\Leftrightarrow \begin{cases} g(x)\geqslant 0 \\ \left[\begin{array}{l}f(x) = g(x) \\ f(x)=-g(x)\end{array}\right. \end{cases}\]
Пример 2. Решите уравнение:

    \[ |\cos x| = \sin x. \]

Решение. Исходное уравнение равносильно системе:

    \[ \begin{cases} \sin x\geqslant 0, \\ \left[\begin{array}{l} \cos x = \sin x, \\ \cos x = -\sin x \end{array}\right.\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 2\pi k\leqslant x\leqslant \pi+2\pi k, \\ \left[\begin{array}{l}x = \frac{\pi}{4}+2\pi n, \\ x = -\frac{\pi}{4}+2\pi z.\end{array}\right.\end{cases} \]

Обе части последних двух уравнений разделили на \cos x. В данном случае \cos x \ne 0. В противном случае \sin x = 0, а это невозможно, поскольку \sin^2 x+ \cos^2 x = 1.

Окончательно, получаем: x\in\left\{\frac{\pi}{4}+2\pi k,\,\frac{3\pi}{4}+2\pi n\right\}.

Ответ: x\in\left\{\frac{\pi}{4}+2\pi k,\,\frac{3\pi}{4}+2\pi n\right\}.

Задача для самостоятельного решения №2. Решите уравнение:

    \[ |\sin 5x| = -\sin x. \]

Примечание. Для решения этого задания потребуется знание формулы суммы и разности синусов.

Показать ответ

Ответ:

-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\, (-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,

(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n,\,(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n.

    \[|f(x)|+|g(x)| = f(x) + g(x)\Leftrightarrow \begin{cases} f(x)\geqslant 0 \\ g(x)\geqslant 0 \end{cases}\]

    \[|f(x)|+|g(x)| = f(x) - g(x)\Leftrightarrow \begin{cases} f(x)\geqslant 0\\g(x)\leqslant 0 \end{cases}\]
Пример 3. Решите уравнение:

    \[ \left|\frac{x^2}{x-1}-x\right|+\left|\frac{x}{x-1}-2\right|= \]

    \[ =\frac{x^2}{x-1}+\frac{x}{x-1}-x-2. \]

Решение. Перепишем уравнение в виде:

    \[ \left|\frac{x^2}{x-1}-x\right|+\left|\frac{x}{x-1}-2\right|= \]

    \[ =\frac{x^2}{x-1}-x+\frac{x}{x-1}-2. \]

Сумма модулей равна сумме подмодульных выражений. Это возможно только в том случае, когда оба подмодульных выражения неотрицательны:

    \[ \begin{cases}\frac{x^2}{x-1}-x\geqslant 0, \\ \frac{x}{x-1}-2\geqslant 0.\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}\frac{x}{x-1}\geqslant 0, \\ \frac{2-x}{x-1}\geqslant 0.\end{cases}\Leftrightarrow \]

    \[ \begin{cases}x\in(-\mathcal{1};0]\cup(1;+\mathcal{1}), \\ x\in(1;2]\end{cases}\Leftrightarrow x\in(1;2]. \]

Ответ: x\in(1;2].

Задача для самостоятельного решения №3. Решите уравнение:

    \[ |x^3-4x|+|5x^2-x^3|=5x^2-4x. \]

Показать ответ

Ответ: x\in[-2;0]\cup[2;5].

    \[|f(x)| + |g(x)| = |f(x) + g(x)|\Leftrightarrow f(x)\cdot g(x)\geqslant 0\]

    \[|f(x)| + |g(x)| = |f(x)-g(x)|\Leftrightarrow f(x)\cdot g(x)\leqslant 0\]
Пример 4. Решите уравнение:

    \[ |x^2+4x|+|-x^2+9| = |4x+9|. \]

Решение. Сумма модулей равна модулю суммы подмодульных выражений. Это возможно только в том случае, когда оба подмодульных выражения одновременно либо неотрицательны, либо неположительны. То есть:

    \[ (x^2+4x)(-x^2+9)\geqslant 0\Leftrightarrow \]

    \[ x(x+4)(3-x)(x+3)\geqslant 0\Leftrightarrow \]

    \[ x\in[-4;-3]\cup[0;3]. \]

Ответ: x\in[-4;-3]\cup[0;3].

Задача для самостоятельного решения №4. Решите уравнение:

    \[ \left|\frac{x+2}{x+1}+4\right|+\left|\frac{3-x}{x+1}-3x-3\right|=\left|1-3x+\frac{5}{x+1}\right|. \]

Показать ответ

Ответ: x\in\left(-\infty;-\dfrac{7}{3}\right ]\cup\left[-\dfrac{6}{5};-1\right)\cup(-1;0].

Простейшие неравенства с модулем

    \[|f(x)|\leqslant g(x)\Leftrightarrow \begin{cases}f(x)\leqslant g(x) \\ f(x)\geqslant -g(x)\end{cases}\]
Пример 5. Решите неравенство:

    \[ |x+1|\leqslant 2x. \]

Решение. Исходное неравенство равносильно следующей системе неравенств:

    \[ \begin{cases}x+1\leqslant 2x, \\ x+1\geqslant -2x \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x\geqslant 1, \\ x\geqslant -\frac{1}{3}.\end{cases} \]

Ответ: x\in [1;+\mathcal{1}).

Задача для самостоятельного решения №5. Решите неравенство:

    \[ |16-8x|<4x+2. \]

Показать ответ

Ответ: x\in\left(\frac{7}{6};4,5\right).

    \[|f(x)|\geqslant g(x)\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} f(x)\geqslant g(x) \\ f(x)\leqslant -g(x) \end{array}\right.\]
Пример 6. Решите неравенство:

    \[ |2x-1|\geqslant x. \]

Решение. Исходное неравенство равносильно следующей совокупности неравенств:

    \[ \left[\begin{array}{l}2x-1\geqslant x, \\ 2x-1\leqslant -x\end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x\geqslant 1, \\ x\leqslant \frac{1}{3}. \end{array}\right. \]

Ответ: x\in\left(-\mathcal{1};\frac{1}{3}\right]\cup[1;+\mathcal{1}).

Задача для самостоятельного решения №6. Решите неравенство:

    \[ |3x-4|>x+1. \]

Показать ответ

Ответ: x\in(-\mathcal{1};0,75)\cup(2,5;+\mathcal{1}).

    \[|f(x)|\geqslant f(x)\Leftrightarrow x\in D(f)\]

    \[|f(x)|<f(x)\Leftrightarrow x\in\varnothing\]

    \[|f(x)|\leqslant f(x) \Leftrightarrow f(x)\geqslant 0\]
Пример 7. Решите неравенство:

    \[ |x^2+4x-5|\leqslant x^2+4x-5. \]

Решение. Исходное неравенство равносильно следующему неравенству:

    \[ x^2 +4x - 5\geqslant 0\Leftrightarrow x\in(-\mathcal{1};-5]\cup[1;+\mathcal{1}). \]

Ответ: x\in(-\mathcal{1};-5]\cup[1;+\mathcal{1}).

Задача для самостоятельного решения №8. Решите  неравенство:

    \[ \left|8x^2+\frac{1}{x}\right|\leqslant 8x^2+\frac{1}{x}. \]

Показать ответ

Ответ: x\in(-\mathcal{1};0,5]\cup(0;+\mathcal{1}).

    \[|f(x)|<|g(x)|\Leftrightarrow f^2(x)<g^2(x)\]

    \[|f(x)|<|g(x)|\Leftrightarrow (f(x)-g(x))(f(x)+g(x))\leqslant 0\]
Пример 9. Решите неравенство:

    \[ |5x+3|<|2x-1|. \]

Решение. Исходное неравенство равносильно следующему неравенству:

    \[ (5x+3)^2<(2x-1)^2\Leftrightarrow (3x+4)(7x+2)<0. \]

Ответ: x\in\left(-\frac{4}{3};-\frac{2}{7}\right).

Задача для самостоятельного решения №9. Решите неравенство:

    \[ \left|\frac{1-x}{1+3x}\right|>|1+x|. \]

Показать ответ

Ответ: x\in\left(-\frac{5}{3};-\frac{1}{3}\right)\cup\left(-\frac{1}{3};0\right).

Сергей Валерьевич
Частный преподаватель по математике

Метки: , , , , ,
Опубликовано в категории Методическая копилка | 15 комментариев »

Комментарии

  1. Александр:
    20.01.2013 в 22:01

    Спасибо большое! Очень пригодилось!

  2. Женя:
    10.05.2013 в 13:43

    Спасибо большое! Готовлюсь к годовой по алгебре, все позабывал, не мог найти метод интервалов. У вас нашел, спасибо еще раз!

  3. Анель:
    01.03.2014 в 14:50

    Здравствуйте. Мне очень понравился урок, вспомнила некоторые довольно удобные методы решения уравнений с модулями. Но хочу отметить, в третьем задании для самостоятельного решения допущена опечатка, там пропущен квадрат во втором модуле, из-за чего не получалось решить уравнение. Спасибо).

    1. Sergey Seliverstov:
      01.03.2014 в 18:58

      Здравствуйте. Да, действительно, квадрат у икса потерялся. Уже исправил. Большое спасибо.

  4. Анастасия:
    09.04.2014 в 19:34

    извините, но разве в задаче для самостоятельного решения №1 ответ не 3?

    1. Sergey Seliverstov:
      26.05.2014 в 06:54

      Определенно, нет.

  5. Ирина:
    27.09.2016 в 12:00

    Большое спасибо. С большим удовольствием повторила и объяснила внукам. Люблю математику.

    1. Сергей:
      28.09.2016 в 12:58

      Очень рад, что этот материал оказался Вам полезен!

  6. Ирина:
    11.10.2016 в 01:13

    Простите, но теория перед 6-м примером не подтверждается решением…Сами посмотрите. простая проверка-в ответ не входит число 2\3. а простая подстановка дает верное неравенство. Стала решать Вашим способом неравенcтва из профильного учебника Мордковича для 10кл, а ничего не сходится с ответом..(5.17)..Пересмотрите, пожалуйста..Так же нельзя…

    1. Сергей:
      11.10.2016 в 08:59

      Если подставить 2/3, то слева в неравенстве получится |2*2/3-1| = |4/3-1| = |1/3| = 1/3, а это никак не больше и не равно 2/3.

  7. Улан:
    11.03.2018 в 21:07

    Спасибо за ваш материал! А что теперь делать после этих заданий? Что еще порешать?

  8. Назиря:
    20.10.2018 в 09:23

    Спасибо огромное, очень полезный материал!!!!

    1. Кыяс:
      01.11.2021 в 23:04

      Уравнения и неравенства

  9. Денис:
    24.10.2018 в 14:09

    Великолепно. Я нашёл то, что искал. Спасибо

  10. Маша:
    16.12.2018 в 18:40

    спасибо, очень помогло. жаль, что этот материал проходится в школе только поверхностно