Репетитор для поступления в гимназию МГУ

Автор

Вторник, 11 января, 2022
Репетитор для поступления в Университетскую гимназию МГУ

Университетская гимназия МГУ — это молодое, но уже крайне востребованное образовательное учреждение Москвы. Ежегодно оно ведёт набор абитуриентов со всей страны. И желающих по-настоящему очень много. Конкурс из года в год очень высокий. Подготовиться к вступительным экзаменам не просто. Лучше всего заниматься для этого с профессиональным репетитором, специализирующимся на подготовке к вступительным экзаменам именно в эту гимназию и имеющим большое количество учеников, которые успешно справились с конкурсным отбором и стали счастливыми учащимися Университетской гимназии МГУ.

Я давно об этом говорю и я искренне рад, что со мной согласны в самой гимназии, о чём они недавно напрямую написали на своём сайте. Действительно, именно занятия с профессиональным репетитором являются самым эффективным способом подготовки, что подтверждается историческим опытом. Однако, не всегда есть возможность нанять репетитора. В этом случае нужно пытаться подготовиться самостоятельно. К сожалению, на сайте гимназии в настоящий момент отсутствуют примеры заданий, которые дают на вступительных экзаменах. Поскольку я, как репетитор для подготовки к поступлению в гимназию МГУ, на протяжении нескольких лет успешно занимаюсь этим делом, то за эти годы у меня накопилось много вариантов вступительных экзаменов, которые предлагались абитуриентам в разные годы.

В помощь тем, кто готовится к поступлению в гимназию МГУ, я запускаю новый цикл материалов на Youtube, а также на специальном канале в телеграмме (https://t.me/msu_gymn), посвящённый разбору демонстрационных и реальных вступительных экзаменов в гимназию МГУ прошлых лет. Это уникальная возможность для самостоятельной подготовки к экзамену по математике. Так что подписывайтесь на этот канал, а также на мой новый канал в Телеграмме, чтобы не пропускать все важные и полезные выпуски.

А начнём мы с разбора демонстрационного вступительного экзамена по математике за 2021 год, который предлагался для следующих профилей: история, филология и право. В Телеграмм-канале уже выложен сам вариант и решение некоторых заданий. А в этой статье мы разберём весь вариант целиком. Итак, приступим.

Разбор демоварианта 2021 года по математике для профилей: история, филология, право

Задание 1. Найдите значение выражения

    \[ \left(\dfrac{a+2b}{a^2-2ab}-\dfrac{1}{a}\right) : \dfrac{b}{2b-a} \]

при a = 1.6 и b = \sqrt{2} - 1.

Решение. Упрощаем выражение в скобках:

    \[ \dfrac{a+2b}{a(a-2b)}-\dfrac{1}{a} = \dfrac{a+2b}{a(a-2b)}-\dfrac{a-2b}{a(a-2b)} = \]

    \[ = \dfrac{a+2b-a+2b}{a(a-2b)} = \dfrac{4b}{a(a-2b)} \]

Выполняем деление:

    \[ \dfrac{4b}{a(a-2b)} : \dfrac{b}{2b-a} = -\dfrac{4b}{a(2b-a)}\cdot \dfrac{2b-a}{b} = \]

    \[ = -\dfrac{4}{a} = -\dfrac{4}{1.6} = -2.5 \]

Задание 2. Решите систему уравнений:

    \[ \begin{cases} 2x^2+3y^2=11, \\ 4x^2+6y^2=11x \end{cases} \]

Решение. Умножим первое уравнение в системе на 2:

    \[ \begin{cases} 4x^2+6y^2=2, \\ 4x^2+6y^2=11x \end{cases} \]

Так как выражения слева от знаков равенства в обоих уравнениях теперь одинаковые, то равны и выражения, стоящие справа от знаков неравенства. То есть 22 = 11x, откуда x = 2.

Подставляем теперь полученное значение x в первое уравнение исходной системы и получаем:

    \[ 2\cdot 2^2 +3y^2 = 11 \]

    \[ y^2 = 1 \]

    \[ y_{1,2} = \pm 1 \]

Итак, решениями системы являются две точки: (2;1) и (2;-1).

Задание 3. Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 130 литров она заполняет на 4 минуты быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объёмом 136 литров?

Решение. Пусть вторая труба пропускает x литров воды в минуту. Тогда первая труба пропускает x-2 литра воды в минуту. Значит, первой трубе потребуется \dfrac{136}{x-2} минуты, чтобы заполнить резервуар объёмом 136 литров, а второй трубе потребуется \dfrac{130}{x} минут, чтобы заполнить резервуар объёмом 130 литров. Так как время второй трубы на 4 минуты меньше, чем время первой, то имеет место уравнение:

    \[ \dfrac{136}{x-2}-\dfrac{130}{x} = 4 \]

    \[ \dfrac{136x-130(x-2)-4x(x-2)}{x(x-2)} = 0 \]

    \[ 2x^2-7x-130 = 0 \]

    \[ D = b^2-4ac = 7^2-4\cdot 2\cdot (-130) = 1089 = 33^2 \]

    \[ x_1 = \dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{7+33}{4} = 10 \]

Второй корень x_2<0, поэтому не подходит по смыслу условия задачи.

Задание 4. Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 18, а сторона AC в 1.2 раза больше стороны BC.

Решение. Изобразим ситуацию на рисунке:

Заметим сразу, что \angle ABC + \angle KPC = 180^{\circ}, так как четырёхугольник BCPK является вписанным в окружность. Кроме того, \angle APK + \angle KPC = 180^{\circ}, так как эти углы являются смежными. Из этих двух равенств следует, что \angle APK = \angle ABC.

Рассмотрим треугольники AKP и ABC. У них есть общий угол A, а также пара равных углов APK и ABC, поэтому эти треугольники подобны. То есть имеет соотношение:

    \[ \dfrac{AK}{AC} = \dfrac{KP}{BC} \]

    \[ \dfrac{18}{1.2x} = \dfrac{KP}{x} \]

    \[ KP = \dfrac{18}{1.2} = 15 \]

Ответ: 15.

Задание 5. Алик, Миша и Вася покупали блокноты и трёхкопеечные карандаши. Алик купил 2 блокнота и 4 карандаша, Миша — блокнот и 6 карандашей, Вася — блокнот и 3 карандаша. Оказалось, что суммы, которые уплатили Алик, Миша и Вася, образуют геометрическую прогрессию. Сколько стоит блокнот?

Решение. Пусть блокнот стоит x копеек. Тогда Алик заплатил 2x+12 копеек, Миша заплатил x+18 копеек, Вася заплатил x+9 копеек. Так как суммы, которые уплатили Алик, Миша и Вася образуют геометрическую прогрессию, то верно равенство:

    \[ \dfrac{x+18}{2x+12} = \dfrac{x+9}{x+18} \]

    \[ (x+18)^2 = (2x+12)(x+9) \]

    \[ x^2-6x-216 = 0 \]

У полученного уравнения есть только один положительный корень 18.

Ответ: 18 копеек.

Задание 6. Три окружности, радиусы которых равны 2, 3 и 10, попарно касаются внешним образом. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры этих трёх окружностей.

Решение. Изобразим ситуацию на рисунке:

Стороны получившегося треугольника ABC равны AB = 5, AC = 12 и BC = 13. Поскольку AB^2 + AC^2 = BC^2, то по теореме обратной теореме Пифагора получаем, что этот треугольник прямоугольный.

Итак, задача свелась к нахождению радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник с известными сторонами:

Для этого используем, что площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности: S_{ABC} = p_{ACB}\cdot r. Имеем:

    \[ S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB\cdot AC = 30 \]

    \[ p_{ABC} = \dfrac{AB + AC + BC}{2} = 15 \]

    \[ r = \dfrac{S_{ABC}}{p_{ABC}} = 2 \]

Ответ: 2.

Это был разбор демонстрационного варианта вступительного экзамена в Университетскую гимназию МГУ для профилей: история, филология и право. Если вам требуется подготовка к вступительному экзамену в гимназию МГУ, обращайтесь ко мне. Как репетитор по математике и физике, я имею большой опыт такой подготовки. Многие мои ученики успешно прошли конкурсный отбор и стали счастливыми учениками этой замечательной гимназии. Так что звоните или пишите. Мои контакты вы найдёте на этой странице.

Ну а также подписывайтесь на мой новый телеграмм-канал, посвящённый подготовке к вступительным экзаменам в гимназию МГУ: https://t.me/msu_gymn. Там выкладываются полезные материалы, а также варианты вступительных экзаменов прошлых лет с решениями, по которым вы сможете самостоятельно готовиться к поступлению.

Успехов вам в этой непростом, но очень правильном начинании! Материал подготовил репетитор для подготовки к поступлению в гимназию МГУ Сергей Валерьевич.

Метки: , ,
Опубликовано в категории Методическая копилка | Нет комментариев »

Добавить комментарий