Методы решения уравнений

Понедельник, 9 июля, 2012

Основные методы решения уравненийСтатья о методах решения уравнений. Задач, которые связаны с решением уравнений, довольно много в вариантах ЕГЭ и ГИА по математике. Поэтому как репетитор по математике рекомендую освежить с памяти связанный с этим вопросом материал. К каждому разобранному в статье примеру прилагается аналогичное задание для самопроверки. Все свои вопросы вы можете смело задавать в комментариях. Ни один вопрос без ответа не останется. В статье также имеется видеоразбор одного из заданий.

Основные методы решения уравнений

Решить уравнение значит найти все его корни или доказать, что их не существует. Стандартных методов решения уравнений много, нестандартных — еще больше. Последние подходят для решения небольшого количества (часто вообще одного) типа уравнений. При решении уравнений почти всегда приходится прибегать к тождественным преобразованиях алгебраических выражений. Поэтому целесообразно разобраться сперва с этим материалом, прежде чем переходить к решению уравнений. В данной статье разобраны в основном стандартные методы решения уравнений. Некоторые нестандартные методы кратко охарактеризованы в завершающей части статьи. Также на сайте есть отдельные статьи о решении тригонометрических, логарифмических и показательных уравнений, с которыми я также рекомендую читателю ознакомиться.

Метод разложения на множители

Суть данного метода в том, чтобы путем равносильных преобразований представить левую часть исходного уравнения, содержащую неизвестную величину в какой-либо степени, в виде произведения двух выражений, содержащих неизвестную величину в меньшей степени. При этом справа от знака равенства должен оказаться ноль. Проще всего уяснить эту идею на конкретном примере.

Пример 1. Решите уравнение методом разложения на множители: 2,5x^2+4x = 0.

Решение. Осуществим разложение на множители (представим исходное выражение в виде произведения). Для этого вынесем переменную x за скобки: x(2,5x+4) = 0.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, x=0 или 2,5x+4 =0. Из последнего уравнения получаем: 2,5x = -4 или x=-1,6.

Ответ: x=0 и x=1,6.

Задача для самостоятельного решения №1. Решите уравнение методом разложения на множители: 3x^2+1,5x=0.

Показать ответ

Ответ: 0 или \frac{1}{6}.
Пример 2. Решите уравнение методом разложения на множители: 3x^3-2x-1=0.

Решение. Для разложения на множители используем прием деления многочленов столбиком (или, как еще иногда говорят, уголком). Несложно догадаться, что x=1 — корень многочлена 3x^3-2x-1. Следовательно, по теореме Безу он без остатка делится на x-1. Осуществим это деление (см. подробнее в видеоуроке):

Деление многочленов уголком

Деление многочленов уголком (столбиком)

Таким образом 3x^3-2x-1=(3x^2+3x+1)(x-1). То есть исходное уравнение принимает вид:

    \[ (3x^2+3x+1)(x-1) = 0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}3x^2+3x+1 = 0, \\ x-1=0.\end{array}\right. \]

Дискриминант первого квадратичного уравнения D = -3 — отрицателен, поэтому корней у него нет. Из второго уравнения получается уже известный нам результат, что корень x=1. Это единственный корень уравнения.

Ответ: x=1.

Задача для самостоятельного решения №2. Решите уравнение методом разложения на множители: x^3-3x-2=0.

Показать ответ

Ответ: 2 и -1.

Метод замены переменной

Цель данного метода в том, чтобы удачным образом заменить сложное выражение, содержащее неизвестную величину, новой переменной, в результате чего уравнение принимает более простой вид. Далее полученное уравнение решается относительно новой переменной, после чего происходит возврат к исходной переменной. Все эти идеи проще осознать на конкретном примере.

Пример 3. Решите уравнение методом замены переменной: x^4+4x^2-5=0.

Решение. Такие уравнения называются биквадратными. Перепишем его в виде: \left(x^2\right)^2+4x^2-5=0. Введем новую переменную t=x^2. Тогда исходное уравнение примет следующий простой вид: t^2+4t-5=0. Решая полученное квадратичное уравнение, получаем, что t=-5 или t=1.

Возвращаемся теперь к старой переменной (обратная замена): x^2 = -5 или x^2=1. Решений у первого уравнения нет, поскольку не существует такого действительного числа, квадрат которого был бы отрицателен. Второе уравнение имеет два корня \pm 1.

Ответ: \pm 1.

Задача для самостоятельного решения №3. Решите уравнение методом замены переменной: 9x^4-24x^2+7=0.

Показать ответ

Ответ: \pm\sqrt{\frac{7}{3}} или \pm\sqrt{\frac{1}{3}}.
Пример 4. Решите уравнение методом замены переменной:

    \[ \frac{4x}{4x^2-8x+7}+\frac{3x}{4x^2-10x+7}=1. \]

Решение. Обращаем внимание на то, что x=0 не является корнем данного уравнения. Следовательно, без потери или приобретения лишних корней можно разделить числитель и знаменатель обеих дробей на x. Тогда уравнение принимает вид:

    \[ \frac{4}{4x-8+\frac{7}{x}}+\frac{3}{4x-10+\frac{7}{x}}=1. \]

Введем новую переменную: t=4x+\frac{7}{x}. Тогда уравнение примет вид:

    \[ \frac{4}{t-8}+\frac{3}{t-10} = 1\Leftrightarrow \frac{t^2-25t+144}{(y-8)(y-10)} = 0. \]

Дробь равна нулю, если нулю равен ее числитель, а знаменатель при этом не равен нулю. То есть уравнение равносильно следующей системе:

    \[ \begin{cases}t^2-25+144 = 0, \\ t\ne 8,\\ t\ne 10\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}\left[\begin{array}{l} t = 16, \\ t =9, \end{array}\right. \\ t\ne 8,\\ t\ne 10\end{cases} \]

Итак, t=16 или t=9. Переходя к обратной подстановке, получаем:

  1. 4x+\frac{7}{x} = 16, что при x\ne 0 равносильно уравнению 4x^2-16x+7=0. Откуда x=\frac{1}{2} или x=\frac{7}{2}.
  2. 4x+\frac{7}{x} = 9, что при x\ne 0 равносильно уравнению 4x^2-9x+7=0, у которого решений нет, поскольку его дискриминант отрицателен.

Ответ: \frac{7}{2} и \frac{1}{2}.

Задача для самостоятельного решения №4. Решите уравнение методом разложения на множители: x^2+\frac{1}{x^2}+x+\frac{1}{x}=0.

Показать ответ

Ответ: -1.

Метод оценки области значений

Суть данного метода в сравнении областей значений выражений, входящих в уравнение. Часто такой анализ позволяет легко решать сложные уравнения, содержащие различные выражения (рациональные, тригонометрические, логарифмические, показательные и др.). Разберем это на конкретном примере.

Пример 5. Решите уравнение, используя метода оценки области значений: \cos^2 x=x^2+1.

Решение. Рассмотрим функцию f(x)=\cos^2 x. Известно, что -1\leqslant \cos x\leqslant 1, поэтому 0\leqslant \cos^2 x\leqslant 1. Итак, функция y=\cos^2 x может принимать значения только из промежутка [0;1].

Рассмотрим теперь функцию g(x)=x^2+1. Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина расположена в точке (0;1):

Парабола y=x^2+1

График соответствующей квадратичной функции

То есть область значений данной функции (те значения, которые может принимать переменная y) представляет собой промежуток [1;+\mathcal{1}).

Таким образом выражения, стоящее справа и слева от знака равенства в исходном уравнении, могут оказаться равными, только если их значения окажутся равными 1, причем при одном и том же значении x. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что это условие выполняется при x=0. Действительно, f(0)=\cos^2 0 = 1 и g(0)=0^2+1 =1. При всех остальных значениях x, функция g(x) больше 1 (см. график). Значит x=0 — единственный корень уравнения.

Ответ: 0.

Задача для самостоятельного решения №5. Решите уравнение с использованием метода оценки области значений: \sin^2 x=\left|x-\frac{\pi}{2}\right|+1.

Показать ответ

Ответ: \frac{\pi}{2}.

Нестандартные методы решения уравнений

Пример 6. Решите уравнение:

    \[ \sqrt{2x-x^2+8}+\sqrt{x^2-4x}=\sqrt{-x-2}+1. \]

Решение. Определим область допустимых значений (те значения, которые может принимать переменная x в данном уравнении). Исходим из того, что подкоренное выражение не может быть отрицательным:

    \[ \begin{cases}2x-x^2+8\geqslant 0, \\ x^2-4x\geqslant 0, \\ -x-2\geqslant 0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}2x-x^2+8\geqslant 0, \\ x^2-4x\geqslant 0, \\ x\leqslant -2.\end{cases} \]

Изображение решений каждого из неравенств системы на числовой прямой

Изображение решений каждого из неравенств системы на числовой прямой

Получается, что область допустимых значений содержит одно единственное значение x=-2. Является ли это значение корнем уравнения, проще всего проверить прямой подстановкой:

    \[ \sqrt{2\cdot (-2)-(-2)^2+8}+\sqrt{(-2)^2-4\cdot (-2)}\ne \]

    \[ \ne\sqrt{-(-2)-2}+1,\, \sqrt{12}\ne 1,\, 2\sqrt{3}\ne 1. \]

Нет, не является.

Ответ: корней нет.

Задача для самостоятельного решения №6. Решите уравнение: \sqrt{x^2-x}+\sqrt{2-x-x^2}=\sqrt{x}-1.

Показать ответ

Ответ: 1.
Пример 7. Решите уравнение:

    \[ \sqrt{x^2+3x-2}-\sqrt{x^2+2x}=2-x. \]

Решение. Домножим уравнение на \sqrt{x^2+3x-2}+\sqrt{x^2+2x}. Вообще говоря, это преобразование не является равносильным, даже в области допустимых значений. Ведь могут найтись такие значения x, при которых это выражение обратится в ноль. При таком преобразовании могут появиться лишние корни, поэтому полученные ответы нужно будет проверить непосредственной подстановкой. Но главное, что в результате такого преобразования не произойдет потери корней. Итак, преобразуем:

    \[ x^2+3x-2-x^2-2x = (2-x)\times \]

    \[ \times (\sqrt{x^2+3x-2}+\sqrt{x^2+2x}) \]

    \[ (x-2) + (x-2)(\sqrt{x^2+3x-2}+\sqrt{x^2+2x}) = 0 \]

    \[ (x-2)(1+\sqrt{x^2+3x-2}+\sqrt{x^2+2x}) = 0. \]

Выражение во вторых скобках не может быть равно нулю. Действительно, оба корня по крайней мере неотрицательны, поэтому если к их сумме прибавить 1, получится положительное выражение. То есть остается, что x-2 = 0 или x=2. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что это корень данного уравнения:

    \[ \sqrt{2^2+3\cdot 2-2}-\sqrt{2^2+2\cdot 2}=2-2,\, \sqrt{8}=\sqrt{8}. \]

Ответ: 2.

Задача для самостоятельного решения №7. Решите уравнение: \frac{x}{\sqrt{x+1}+1}=\sqrt{x+10}-4.

Показать ответ

Ответ: -1.
Пример 8. Решите уравнение:

    \[ x^2+\frac{81x^2}{(9+x)^2} = 40. \]

Решение. В область допустимых значений уравнения не входит число -9. Введем новую переменную t=\frac{9x}{9+x}. Тогда в области допустимых значений последнее выражение преобразуется к виду 9x=9t+xt или 9(x-t)=t. Тогда имеет место система уравнений:

    \[ \begin{cases}x^2+t^2=40, \\ 9(x-t)-xt=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}(x-t)^2=40-2xt, \\ 9(x-t)-xt=0\end{cases}\Lefrightarrow \]

    \[ \left[\begin{array}{l}\begin{cases}x-t=-20, \\ xt=-180\end{cases} \\ \begin{cases}x-t=2, \\ xt=18\end{cases}\end{array}\right.\Leftrightarrow x = 1\pm\sqrt{19}. \]

Ответ: 1\pm\sqrt{19}.

Задача для самостоятельного решения №8. Решите уравнение \sqrt[4]{x+8}-\sqrt[4]{x-8}=2.

Показать ответ

Ответ: 8.

Вопрос методов решения уравнений изложенным в статье материалом, конечно, не исчерпывается. Существуют десятки других методов. Существуют также совершенно уникальные уравнения, для которых имеются свои собственное методы решения. Так что научиться здесь можно еще очень и очень многому. Самым хорошим помощником в этот деле для вас станет профессиональный репетитор по математике. Учите математику, сдавайте на отлично выпускные экзамены, поступайте в престижные вузы. Удачи вам!

Сергей Валерьевич
Частный преподаватель по математике

У любой сложной задачи есть простое, легкое для понимания неправильное решение. © Артур Блох

Добавить комментарий