Статья о методах решения уравнений. Задач, которые связаны с решением уравнений, довольно много в вариантах ЕГЭ и ГИА по математике. Поэтому как репетитор по математике рекомендую освежить с памяти связанный с этим вопросом материал. К каждому разобранному в статье примеру прилагается аналогичное задание для самопроверки. Все свои вопросы вы можете смело задавать в комментариях. Ни один вопрос без ответа не останется. В статье также имеется видеоразбор одного из заданий.
Основные методы решения уравнений
Решить уравнение значит найти все его корни или доказать, что их не существует. Стандартных методов решения уравнений много, нестандартных — еще больше. Последние подходят для решения небольшого количества (часто вообще одного) типа уравнений. При решении уравнений почти всегда приходится прибегать к тождественным преобразованиях алгебраических выражений. Поэтому целесообразно разобраться сперва с этим материалом, прежде чем переходить к решению уравнений. В данной статье разобраны в основном стандартные методы решения уравнений. Некоторые нестандартные методы кратко охарактеризованы в завершающей части статьи. Также на сайте есть отдельные статьи о решении тригонометрических, логарифмических и показательных уравнений, с которыми я также рекомендую читателю ознакомиться.
Метод разложения на множители
Суть данного метода в том, чтобы путем равносильных преобразований представить левую часть исходного уравнения, содержащую неизвестную величину в какой-либо степени, в виде произведения двух выражений, содержащих неизвестную величину в меньшей степени. При этом справа от знака равенства должен оказаться ноль. Проще всего уяснить эту идею на конкретном примере.
![Rendered by QuickLaTeX.com 2,5x^2+4x = 0.](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3ac059cbfa80bc43b143c57c2e792611_l3.png)
Решение. Осуществим разложение на множители (представим исходное выражение в виде произведения). Для этого вынесем переменную за скобки:
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, или
Из последнего уравнения получаем:
или
Ответ: и
Задача для самостоятельного решения №1. Решите уравнение методом разложения на множители:
Показать ответ
![Rendered by QuickLaTeX.com \frac{1}{6}.](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-72e3d2bd3092520314b169323220c96a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 3x^3-2x-1=0.](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ce87199ef1e2cc510bc836f2089ac1f3_l3.png)
Решение. Для разложения на множители используем прием деления многочленов столбиком (или, как еще иногда говорят, уголком). Несложно догадаться, что — корень многочлена
Следовательно, по теореме Безу он без остатка делится на
Осуществим это деление (см. подробнее в видеоуроке):
Таким образом То есть исходное уравнение принимает вид:
Дискриминант первого квадратичного уравнения — отрицателен, поэтому корней у него нет. Из второго уравнения получается уже известный нам результат, что корень
Это единственный корень уравнения.
Ответ: .
Задача для самостоятельного решения №2. Решите уравнение методом разложения на множители:
Показать ответ
Метод замены переменной
Цель данного метода в том, чтобы удачным образом заменить сложное выражение, содержащее неизвестную величину, новой переменной, в результате чего уравнение принимает более простой вид. Далее полученное уравнение решается относительно новой переменной, после чего происходит возврат к исходной переменной. Все эти идеи проще осознать на конкретном примере.
![Rendered by QuickLaTeX.com x^4+4x^2-5=0.](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-53689f308f47fcf7a49c75f5ffa58e0b_l3.png)
Решение. Такие уравнения называются биквадратными. Перепишем его в виде: Введем новую переменную
Тогда исходное уравнение примет следующий простой вид:
Решая полученное квадратичное уравнение, получаем, что
или
Возвращаемся теперь к старой переменной (обратная замена): или
Решений у первого уравнения нет, поскольку не существует такого действительного числа, квадрат которого был бы отрицателен. Второе уравнение имеет два корня
Ответ:
Задача для самостоятельного решения №3. Решите уравнение методом замены переменной:
Показать ответ
![Rendered by QuickLaTeX.com \pm\sqrt{\frac{7}{3}}](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e44ef05c27981afdb5c3b86ac6978fa1_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \pm\sqrt{\frac{1}{3}}.](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-faec25fc583f7652519d0f0c9b69b396_l3.png)
Решение. Обращаем внимание на то, что не является корнем данного уравнения. Следовательно, без потери или приобретения лишних корней можно разделить числитель и знаменатель обеих дробей на
Тогда уравнение принимает вид:
Введем новую переменную: Тогда уравнение примет вид:
Дробь равна нулю, если нулю равен ее числитель, а знаменатель при этом не равен нулю. То есть уравнение равносильно следующей системе:
Итак, или
Переходя к обратной подстановке, получаем:
что при
равносильно уравнению
Откуда
или
что при
равносильно уравнению
у которого решений нет, поскольку его дискриминант отрицателен.
Ответ: и
Задача для самостоятельного решения №4. Решите уравнение методом разложения на множители:
Показать ответ
Метод оценки области значений
Суть данного метода в сравнении областей значений выражений, входящих в уравнение. Часто такой анализ позволяет легко решать сложные уравнения, содержащие различные выражения (рациональные, тригонометрические, логарифмические, показательные и др.). Разберем это на конкретном примере.
![Rendered by QuickLaTeX.com \cos^2 x=x^2+1.](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a864950f914caf76f5d52db0869abe80_l3.png)
Решение. Рассмотрим функцию Известно, что
поэтому
Итак, функция
может принимать значения только из промежутка
Рассмотрим теперь функцию Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина расположена в точке
То есть область значений данной функции (те значения, которые может принимать переменная ) представляет собой промежуток
Таким образом выражения, стоящее справа и слева от знака равенства в исходном уравнении, могут оказаться равными, только если их значения окажутся равными 1, причем при одном и том же значении Непосредственной подстановкой убеждаемся, что это условие выполняется при
Действительно,
и
При всех остальных значениях
функция
больше 1 (см. график). Значит
— единственный корень уравнения.
Ответ: 0.
Задача для самостоятельного решения №5. Решите уравнение с использованием метода оценки области значений:
Показать ответ
![Rendered by QuickLaTeX.com \frac{\pi}{2}.](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9677f4548348979e35c7b9dca731bad6_l3.png)
Нестандартные методы решения уравнений
Решение. Определим область допустимых значений (те значения, которые может принимать переменная в данном уравнении). Исходим из того, что подкоренное выражение не может быть отрицательным:
Получается, что область допустимых значений содержит одно единственное значение Является ли это значение корнем уравнения, проще всего проверить прямой подстановкой:
Нет, не является.
Ответ: корней нет.
Задача для самостоятельного решения №6. Решите уравнение:
Показать ответ
Решение. Домножим уравнение на Вообще говоря, это преобразование не является равносильным, даже в области допустимых значений. Ведь могут найтись такие значения
при которых это выражение обратится в ноль. При таком преобразовании могут появиться лишние корни, поэтому полученные ответы нужно будет проверить непосредственной подстановкой. Но главное, что в результате такого преобразования не произойдет потери корней. Итак, преобразуем:
Выражение во вторых скобках не может быть равно нулю. Действительно, оба корня по крайней мере неотрицательны, поэтому если к их сумме прибавить 1, получится положительное выражение. То есть остается, что или
Непосредственной подстановкой убеждаемся, что это корень данного уравнения:
Ответ: 2.
Задача для самостоятельного решения №7. Решите уравнение:
Показать ответ
Решение. В область допустимых значений уравнения не входит число -9. Введем новую переменную Тогда в области допустимых значений последнее выражение преобразуется к виду
или
Тогда имеет место система уравнений:
Ответ:
Задача для самостоятельного решения №8. Решите уравнение
Показать ответ
Вопрос методов решения уравнений изложенным в статье материалом, конечно, не исчерпывается. Существуют десятки других методов. Существуют также совершенно уникальные уравнения, для которых имеются свои собственное методы решения. Так что научиться здесь можно еще очень и очень многому. Самым хорошим помощником в этот деле для вас станет профессиональный репетитор по математике. Учите математику, сдавайте на отлично выпускные экзамены, поступайте в престижные вузы. Удачи вам!
Сергей Валерьевич
Частный преподаватель по математике
Это не такие мне надо уравнение