Методы решения уравнений | Репетитор по математике и физике

в результатах поиска

Меню

Категории

Методы решения уравнений

09.07.2012 Сергей Валерьевич Методическая копилка

Статья о методах решения уравнений. Задач, которые связаны с решением уравнений, довольно много в вариантах ЕГЭ и ГИА по математике. Поэтому как репетитор по математике рекомендую освежить с памяти связанный с этим вопросом материал. К каждому разобранному в статье примеру прилагается аналогичное задание для самопроверки. Все свои вопросы вы можете смело задавать в комментариях. Ни один вопрос без ответа не останется. В статье также имеется видеоразбор одного из заданий.

Основные методы решения уравнений

Решить уравнение значит найти все его корни или доказать, что их не существует. Стандартных методов решения уравнений много, нестандартных — еще больше. Последние подходят для решения небольшого количества (часто вообще одного) типа уравнений. При решении уравнений почти всегда приходится прибегать к тождественным преобразованиях алгебраических выражений. Поэтому целесообразно разобраться сперва с этим материалом, прежде чем переходить к решению уравнений. В данной статье разобраны в основном стандартные методы решения уравнений. Некоторые нестандартные методы кратко охарактеризованы в завершающей части статьи. Также на сайте есть отдельные статьи о решении тригонометрических, логарифмических и показательных уравнений, с которыми я также рекомендую читателю ознакомиться.

Метод разложения на множители

Суть данного метода в том, чтобы путем равносильных преобразований представить левую часть исходного уравнения, содержащую неизвестную величину в какой-либо степени, в виде произведения двух выражений, содержащих неизвестную величину в меньшей степени. При этом справа от знака равенства должен оказаться ноль. Проще всего уяснить эту идею на конкретном примере.

Пример 1. Решите уравнение методом разложения на множители: $2,5x^2+4x = 0.$

Решение. Осуществим разложение на множители (представим исходное выражение в виде произведения). Для этого вынесем переменную $x$ за скобки: $x(2,5x+4) = 0.$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, $x=0$ или $2,5x+4 =0.$ Из последнего уравнения получаем: $2,5x = -4$ или $x=-1,6.$

Ответ: $x=0$ и $x=1,6.$

Задача для самостоятельного решения №1. Решите уравнение методом разложения на множители: $3x^2+1,5x=0.$

Показать ответ

Ответ: 0 или $\frac{1}{6}.$

Пример 2. Решите уравнение методом разложения на множители: $3x^3-2x-1=0.$

Решение. Для разложения на множители используем прием деления многочленов столбиком (или, как еще иногда говорят, уголком). Несложно догадаться, что $x=1$ — корень многочлена $3x^3-2x-1.$ Следовательно, по теореме Безу он без остатка делится на $x-1.$ Осуществим это деление (см. подробнее в видеоуроке):

Деление многочленов уголком (столбиком)

Таким образом $3x^3-2x-1=(3x^2+3x+1)(x-1).$ То есть исходное уравнение принимает вид:

$(3x^2+3x+1)(x-1) = 0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}3x^2+3x+1 = 0, \\ x-1=0.\end{array}\right.$

Дискриминант первого квадратичного уравнения $D = -3$ — отрицателен, поэтому корней у него нет. Из второго уравнения получается уже известный нам результат, что корень $x=1.$ Это единственный корень уравнения.

Ответ: $x=1$ .

Задача для самостоятельного решения №2. Решите уравнение методом разложения на множители: $x^3-3x-2=0.$

Показать ответ

Ответ: 2 и -1.

Метод замены переменной

Цель данного метода в том, чтобы удачным образом заменить сложное выражение, содержащее неизвестную величину, новой переменной, в результате чего уравнение принимает более простой вид. Далее полученное уравнение решается относительно новой переменной, после чего происходит возврат к исходной переменной. Все эти идеи проще осознать на конкретном примере.

Пример 3. Решите уравнение методом замены переменной: $x^4+4x^2-5=0.$

Решение. Такие уравнения называются биквадратными. Перепишем его в виде: $\left(x^2\right)^2+4x^2-5=0.$ Введем новую переменную $t=x^2.$ Тогда исходное уравнение примет следующий простой вид: $t^2+4t-5=0.$ Решая полученное квадратичное уравнение, получаем, что $t=-5$ или $t=1.$

Возвращаемся теперь к старой переменной (обратная замена): $x^2 = -5$ или $x^2=1.$ Решений у первого уравнения нет, поскольку не существует такого действительного числа, квадрат которого был бы отрицателен. Второе уравнение имеет два корня $\pm 1.$

Ответ: $\pm 1.$

Задача для самостоятельного решения №3. Решите уравнение методом замены переменной: $9x^4-24x^2+7=0.$

Показать ответ

Ответ: $\pm\sqrt{\frac{7}{3}}$ или $\pm\sqrt{\frac{1}{3}}.$

Пример 4. Решите уравнение методом замены переменной:

$\frac{4x}{4x^2-8x+7}+\frac{3x}{4x^2-10x+7}=1.$

Решение. Обращаем внимание на то, что $x=0$ не является корнем данного уравнения. Следовательно, без потери или приобретения лишних корней можно разделить числитель и знаменатель обеих дробей на $x.$ Тогда уравнение принимает вид:

$\frac{4}{4x-8+\frac{7}{x}}+\frac{3}{4x-10+\frac{7}{x}}=1.$

Введем новую переменную: $t=4x+\frac{7}{x}.$ Тогда уравнение примет вид:

$\frac{4}{t-8}+\frac{3}{t-10} = 1\Leftrightarrow \frac{t^2-25t+144}{(y-8)(y-10)} = 0.$

Дробь равна нулю, если нулю равен ее числитель, а знаменатель при этом не равен нулю. То есть уравнение равносильно следующей системе:

$\begin{cases}t^2-25+144 = 0, \\ t\ne 8,\\ t\ne 10\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}\left[\begin{array}{l} t = 16, \\ t =9, \end{array}\right. \\ t\ne 8,\\ t\ne 10\end{cases}$

Итак, $t=16$ или $t=9.$ Переходя к обратной подстановке, получаем:

$4x+\frac{7}{x} = 16,$ что при $x\ne 0$ равносильно уравнению $4x^2-16x+7=0.$ Откуда $x=\frac{1}{2}$ или $x=\frac{7}{2}.$
$4x+\frac{7}{x} = 9,$ что при $x\ne 0$ равносильно уравнению $4x^2-9x+7=0,$ у которого решений нет, поскольку его дискриминант отрицателен.

Ответ: $\frac{7}{2}$ и $\frac{1}{2}.$

Задача для самостоятельного решения №4. Решите уравнение методом разложения на множители: $x^2+\frac{1}{x^2}+x+\frac{1}{x}=0.$

Показать ответ

Ответ: -1.

Метод оценки области значений

Суть данного метода в сравнении областей значений выражений, входящих в уравнение. Часто такой анализ позволяет легко решать сложные уравнения, содержащие различные выражения (рациональные, тригонометрические, логарифмические, показательные и др.). Разберем это на конкретном примере.

Пример 5. Решите уравнение, используя метода оценки области значений: $\cos^2 x=x^2+1.$

Решение. Рассмотрим функцию $f(x)=\cos^2 x.$ Известно, что $-1\leqslant \cos x\leqslant 1,$ поэтому $0\leqslant \cos^2 x\leqslant 1.$ Итак, функция $y=\cos^2 x$ может принимать значения только из промежутка $[0;1].$

Рассмотрим теперь функцию $g(x)=x^2+1.$ Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина расположена в точке $(0;1):$

График соответствующей квадратичной функции

То есть область значений данной функции (те значения, которые может принимать переменная $y$ ) представляет собой промежуток $[1;+\mathcal{1}).$

Таким образом выражения, стоящее справа и слева от знака равенства в исходном уравнении, могут оказаться равными, только если их значения окажутся равными 1, причем при одном и том же значении $x.$ Непосредственной подстановкой убеждаемся, что это условие выполняется при $x=0.$ Действительно, $f(0)=\cos^2 0 = 1$ и $g(0)=0^2+1 =1.$ При всех остальных значениях $x,$ функция $g(x)$ больше 1 (см. график). Значит $x=0$ — единственный корень уравнения.

Ответ: 0.

Задача для самостоятельного решения №5. Решите уравнение с использованием метода оценки области значений: $\sin^2 x=\left|x-\frac{\pi}{2}\right|+1.$

Показать ответ

Ответ: $\frac{\pi}{2}.$

Нестандартные методы решения уравнений

Пример 6. Решите уравнение:

$\sqrt{2x-x^2+8}+\sqrt{x^2-4x}=\sqrt{-x-2}+1.$

Решение. Определим область допустимых значений (те значения, которые может принимать переменная $x$ в данном уравнении). Исходим из того, что подкоренное выражение не может быть отрицательным:

$\begin{cases}2x-x^2+8\geqslant 0, \\ x^2-4x\geqslant 0, \\ -x-2\geqslant 0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}2x-x^2+8\geqslant 0, \\ x^2-4x\geqslant 0, \\ x\leqslant -2.\end{cases}$

Изображение решений каждого из неравенств системы на числовой прямой

Получается, что область допустимых значений содержит одно единственное значение $x=-2.$ Является ли это значение корнем уравнения, проще всего проверить прямой подстановкой:

$\sqrt{2\cdot (-2)-(-2)^2+8}+\sqrt{(-2)^2-4\cdot (-2)}\ne$

$\ne\sqrt{-(-2)-2}+1,\, \sqrt{12}\ne 1,\, 2\sqrt{3}\ne 1.$

Нет, не является.

Ответ: корней нет.

Задача для самостоятельного решения №6. Решите уравнение: $\sqrt{x^2-x}+\sqrt{2-x-x^2}=\sqrt{x}-1.$

Показать ответ

Ответ: 1.

Пример 7. Решите уравнение:

$\sqrt{x^2+3x-2}-\sqrt{x^2+2x}=2-x.$

Решение. Домножим уравнение на $\sqrt{x^2+3x-2}+\sqrt{x^2+2x}.$ Вообще говоря, это преобразование не является равносильным, даже в области допустимых значений. Ведь могут найтись такие значения $x,$ при которых это выражение обратится в ноль. При таком преобразовании могут появиться лишние корни, поэтому полученные ответы нужно будет проверить непосредственной подстановкой. Но главное, что в результате такого преобразования не произойдет потери корней. Итак, преобразуем:

$x^2+3x-2-x^2-2x = (2-x)\times$

$\times (\sqrt{x^2+3x-2}+\sqrt{x^2+2x})$

$(x-2) + (x-2)(\sqrt{x^2+3x-2}+\sqrt{x^2+2x}) = 0$

$(x-2)(1+\sqrt{x^2+3x-2}+\sqrt{x^2+2x}) = 0.$

Выражение во вторых скобках не может быть равно нулю. Действительно, оба корня по крайней мере неотрицательны, поэтому если к их сумме прибавить 1, получится положительное выражение. То есть остается, что $x-2 = 0$ или $x=2.$ Непосредственной подстановкой убеждаемся, что это корень данного уравнения:

$\sqrt{2^2+3\cdot 2-2}-\sqrt{2^2+2\cdot 2}=2-2,\, \sqrt{8}=\sqrt{8}.$

Ответ: 2.

Задача для самостоятельного решения №7. Решите уравнение: $\frac{x}{\sqrt{x+1}+1}=\sqrt{x+10}-4.$

Показать ответ

Ответ: -1.

Пример 8. Решите уравнение:

$x^2+\frac{81x^2}{(9+x)^2} = 40.$

Решение. В область допустимых значений уравнения не входит число -9. Введем новую переменную $t=\frac{9x}{9+x}.$ Тогда в области допустимых значений последнее выражение преобразуется к виду $9x=9t+xt$ или $9(x-t)=t.$ Тогда имеет место система уравнений:

$\begin{cases}x^2+t^2=40, \\ 9(x-t)-xt=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}(x-t)^2=40-2xt, \\ 9(x-t)-xt=0\end{cases}\Lefrightarrow$

$\left[\begin{array}{l}\begin{cases}x-t=-20, \\ xt=-180\end{cases} \\ \begin{cases}x-t=2, \\ xt=18\end{cases}\end{array}\right.\Leftrightarrow x = 1\pm\sqrt{19}.$

Ответ: $1\pm\sqrt{19}.$

Задача для самостоятельного решения №8. Решите уравнение $\sqrt[4]{x+8}-\sqrt[4]{x-8}=2.$

Показать ответ

Ответ: 8.

Вопрос методов решения уравнений изложенным в статье материалом, конечно, не исчерпывается. Существуют десятки других методов. Существуют также совершенно уникальные уравнения, для которых имеются свои собственное методы решения. Так что научиться здесь можно еще очень и очень многому. Самым хорошим помощником в этот деле для вас станет профессиональный репетитор по математике. Учите математику, сдавайте на отлично выпускные экзамены, поступайте в престижные вузы. Удачи вам!

Сергей Валерьевич
Частный преподаватель по математике