Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе

Среда, Декабрь 2, 2015

Считается, что чем больше различных решений существует у задачи, тем она интереснее с математический точки зрения. В этом отношении, задача, которую мы рассмотрим сегодня, является одной из наиболее интересных в школьном курсе геометрии. Она же, кстати, была предложена для решения в задании 24 модуля «Геометрия» демонстрационного варианта ОГЭ по математике в 2015 году. Так что попробуем решить её максимально возможным количеством способов, не выходящих за рамки школьного курса. Присылайте, пожалуйста, свои варианты решения в комментариях или на почту репетитора по математике и физике. С удовольствием опубликую их и поставлю ссылку на вашу анкету или сайт, если это необходимо.

Доказать, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

Доказательство репетитора по математике и физике

I способ. Дополнительное построение.

Rendered by QuickLaTeX.com

1. Проведем прямую через точку A, параллельную прямой BC. Точку пересечения этой прямой с прямой MC обозначим буквой K.

2. Тогда \angle KAM = \angle MBC, так как они являются накрест лежащими при параллельных прямых KA, BC и секущей BA. Также \angle AMK = \angle CMB, так как они вертикальные. Кроме того, AM = MB по условию. Следовательно, \vartriangle KMA = \vartriangle BMC по стороне и двум прилежащим к ней углам.

3. Следовательно, AK = BC. То есть в четырехугольнике AKBC две стороны равны и параллельны. Следовательно, этот четырехугольник — параллелограмм. Кроме того, все углы этого параллелограмма прямые. Следовательно, AKBC — прямоугольник.

4. То есть AB = KC, так как это диагонали данного прямоугольника. Кроме того, эти диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно, AM = MB = MC = MK.

II способ. Описать окружность.

Rendered by QuickLaTeX.com

1. Опишем вокруг треугольника ABC окружность. AB является диаметром этой окружности, поскольку \angle ACB = 90^{\circ} — вписанный в эту окружность и должен опираться на полуокружность.

2. Следовательно, AM = MB = MC = R, где R — радиус описанной окружности.

III способ. Решение «с конца».

Rendered by QuickLaTeX.com

1. Проведем отрезок CM такой, что \angle MCB = \angle CBM = \alpha. Тогда \vartriangle CMB — равнобедренный, а значит MC = MB.

2. Кроме того, \angle MAC = \angle MCA = 90^{\circ}-\alpha. Следовательно, \vartriangle AMC — равнобедренный, а значит AM = MC.

3. Следовательно, AM = MB = MC. Что и требовалось доказать.

Комментарии

  1. Сергей:

    Можно еще провести среднюю линию через катеты, построить на ней, как на диагонали, четырехугольник, второй диагональю которого будет медиана прямоугольного треугольника, и доказать что этот четырехугольник — прямоугольник.

    1. Sergey Seliverstov:

      Решение близкое к первому (с дополнительным построением), правда здесь средняя линия треугольника появляется. Так что, наверное, можно его считать другим с методической точки зрения). Пришлите, пожалуйста, полный текст решения, я его опубликую в статье.

  2. Дмитрий:

    Есть еще доказательство теоремы, основанное на том, что медиана не может быть ни больше, ни меньше половины гиппотенузы. Доказывается через свойство треугольника — против большего угла лежит большая сторона.

    1. Сергей:

      Дмитрий, из того, что вы написали, не совсем ясно, в чём суть доказательства. О каком конкретно треугольнике речь?

  3. Сергей:

    Есть ещё одна задача, хотелось бы её видеть. Док-во II способа, то что можно провести окружность. Заранее спасибо

    1. Сергей:

      Вокруг любого треугольника можно описать окружность, так как все срединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка является центром описанной окружности.

Добавить комментарий