Как упростить сложный радикал

Четверг, 26 января, 2017

Жёлтый калькулятор поможет упростить сложный радикалВ 8 классе школьники на уроках математики знакомятся с таким понятием, как «радикал» или, попросту говоря, «корень». Тогда же они впервые сталкиваются с такой проблемой, как упрощение сложных радикалов. Сложные радикалы – это такие выражения, в которых один корень находится под другим. Поэтому их ещё иногда называют вложенными радикалами. В данной статье репетитор по математике и физике подробно рассказывает о том, как упростить сложный радикал.


Методы упрощения сложных радикалов

Упростить сложный радикал — значит избавиться от внешнего корня. Правильнее всего начать изучение этой темы с упрощения двойных радикалов. Ведь если мы научимся упрощать двойные радикалы, то и более сложные тоже сумеем.

Пример 1. Упростить сложный радикал:

    \[ \sqrt{9-4\sqrt{5}}. \]

Как нам избавиться от внешнего корня? Понятно, что для этого нужно преобразовать подкоренное выражение, представив его в виде полного квадрата. Для этого воспользуемся известной формулой «Квадрат разности»:

    \[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. \]

Здесь, как видите, справа у отрицательного члена есть множитель 2. Поэтому и под корнем давайте получим этот множитель. Для этого 4 представим в виде произведения 2 на 2:

    \[ \sqrt{9-4\sqrt{5}} = \sqrt{9-2\cdot 2\cdot\sqrt{5}} . \]

Тогда a=2 и b=\sqrt{5}. Осталось только обратить внимание на то, что 9=2^2+\left(\sqrt{5}\right)^2. Теперь видно, что под корнем у нас получился квадрат разности:

    \[ \sqrt{9-4\sqrt{5}} = \sqrt{2^2-2\cdot 2\cdot\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^2} = \sqrt{(2-\sqrt{5})^2}. \]

Теперь вспоминаем, что \sqrt{a^2} = |a|. Именно модулю. Здесь это очень важно, потому что квадратный корень – положительное число. Тогда получаем:

    \[ \sqrt{(2-\sqrt{5})^2} = |2-\sqrt{5}|. \]

Ну а поскольку \sqrt{5}>2, модуль раскрывается со знаком минус. В результате в ответе получаем:

    \[ \sqrt{(2-\sqrt{5})^2} = |2-\sqrt{5}| = \sqrt{5}-2. \]

Вот так просто нам удалось упростить этот радикал. Но есть и более сложные случаи, когда не сразу удаётся догадаться, как представить подкоренное выражение в виде полного квадрата. Например, в следующем примере.

Пример 2. Упростите сложный радикал:

    \[ \sqrt{75+12\sqrt{21}}. \]

Чтобы долго не ломать голову, можно воспользоваться следующим способом.

Напоминаю, что наша цель состоит в том, чтобы представить выражение под корнем в виде полного квадрата. Конкретно в этом примере в виде квадрата суммы:

    \[ \sqrt{75+12\sqrt{21}} =\sqrt{(a+b)^2}. \]

Ну а квадрат суммы раскрывается по известной формуле, которую мы сегодня уже писали:

    \[ \sqrt{75+12\sqrt{21}} =\sqrt{(a+b)^2} = \sqrt{a^2+2ab+b^2} . \]

Так вот, идея, собственно, состоит в том, чтобы за 2ab взять иррациональную часть подкоренного выражения, а за a^2+b^2 – рациональную. Тогда получается следующая система уравнений:

    \[ \begin{cases} a^2+b^2 = 75 \\ 2ab = 12\sqrt{21}. \end{cases} \]

Понятно, что a\ne 0 и b\ne 0. Иначе не выполняется второе уравнение системы. Тогда выражаем коэффициент b из второго уравнения:

    \[ b=\frac{6\sqrt{21}}{a}. \]

Далее подставляем получившееся выражение в первое уравнение. В результате приходим к следующему уравнению:

    \[ a^2+\frac{756}{a^2} = 75\Leftrightarrow \frac{a^4-75a^2+756}{a^2} = 0. \]

Знаменатель этой дроби не равен нулю, значит нулю равен её числитель. Получаем биквадратное уравнение, которое решается стандартным способом (подробнее смотрите в приложенном видео). Решая его, мы получаем аж 4 корня. Можно взять любой. Мне больше нравится a=2\sqrt{3}. Тогда b = 3\sqrt{7}. Итак, получаем окончательно:

    \[ \sqrt{75+12\sqrt{21}} = \sqrt{\left(2\sqrt{3}+3\sqrt{7}\right)^2} = \]

    \[ = |2\sqrt{3}+3\sqrt{7}| = 2\sqrt{3}+3\sqrt{7}. \]

Вот такой способ, как упростить сложный радикал. Есть ещё один. Для любителей запоминать сложные формулы, коим я не являюсь. Но для полноты описания расскажу и о нём тоже.

Формула сложных радикалов

Вот так выглядит эта формула:

    \[ \sqrt{a\pm\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}. \]

Довольно страшная, не правда ли? Но не бойтесь, её действительно можно успешно применять в некоторых случаях. Разберём на примере:

Пример 3. Упростить выражение, используя формулу сложных радикалов:

    \[ \sqrt{57-24\sqrt{3}}. \]

Подставляем в формулу соответствующие значения:

    \[ \sqrt{57-24\sqrt{3}} = \sqrt{57-\sqrt{1728}} = \]

    \[ \sqrt{\frac{57+\sqrt{57^2-1728}}{2}}-\sqrt{\frac{57-\sqrt{57^2-1728}}{2}} = \]

    \[ =\sqrt{\frac{57+39}{2}}-\sqrt{\frac{57-39}{2}} = \sqrt{48}-\sqrt{9} = 4\sqrt{3}-3. \]

Вот такой получается ответ.

Итак, сегодня на занятии я рассказал о том, как упростить сложный радикал. Если вы не знали ранее методы, о которых сегодня шла речь, то скорее всего вам еще нужно очень многому научиться, чтобы чувствовать себя уверенным на ЕГЭ или на вступительном экзамене по математике. Но не переживайте, я могу вас всему этому научить. Вся необходимая информация о моих занятиях находится на этой странице. Удачи вам!

Материал подготовил репетитор по математике и физике, Сергей Валерьевич

Комментарии

  1. Анастасия:

    А как посчитать двойной корень? В задании корень из пяти корня из пяти.

    1. Сергей:

      То есть sqrt(5*sqrt(5))? Тут можно упростить вот так: 5^(3/4).

  2. михаил:

    А как обяснить это?
    3•(корень из 12b)+0,5(корень из 108k)-
    -2•(корень из 48 b)+0,01•(корень из 300k)=?? Объясните пожалуйста !

    1. Сергей:

      Нужно упростить? Тут нужно выносить множители, которые являются полными квадратами, из корней. После этого приводить подобные слагаемые.

  3. Данияр:

    А как сделать Это?
    (Корень)(Еще один корень)(28-16 умножить на 3 под корнем)

  4. Рустам:

    Не понятно куда 9 пропало в 1 примере

    1. Сергей Валерьевич:

      9 = 2^2+(корень(5))^2

  5. алишер:

    класс

Добавить комментарий