В задании 18 профильного уровня ЕГЭ по математике школьникам предлагается решить задачу с параметром. Такие задания надо уметь решать. К сожалению, решению именно этого класса задач в школе уделяется очень мало внимания. В данной статье репетитором по математике представлен подробный разбор двух типов заданий 18 профильного ЕГЭ по математике, которые были предложены на экзамене в 2016 году. Имеется видеоразбор решений.
Найдите значения параметра , при каждом из которых уравнение
имеет ровно три различных решения. |
Для тех, кто не хочет читать, доступен видеоразбор:
Чтобы корни существовали, правая часть уравнения должна быть положительной или равно нулю. В этом случае получаем систему:
Находим корни первого уравнения:
Первый корень удовлетворяет неравенству. Ищем такие значения , при которых второй и третий корни не совпадают, не равны нулю и удовлетворяют неравенству:
Итак, ответ .
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет единственный корень. |
Для тех, кто не хочет читать, доступен видеоразбор:
Преобразуем выражение:
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые, после чего получим:
Введём замену: , получаем следующее выражение:
Теперь задание сводится к тому, чтобы найти такие , при которых полученное уравнение имеет единственное решение , отличное от и .
Геометрическим местом точек, удовлетворяющих условию
является окружность в плоскости aOy с центом в точке и радиусом . Путём подстановки в уравнение можно убедиться, что этой окружности принадлежат точки , и .
Из этой окружности нужно удалить точки, удовлетворяющие условию и . При этом возможны только следующие значения , при которых будет единственным (пунктирные линии на рисунке):
Ищем абсциссы точек F, C, E, B, G:
- абсцисса точки F равна ;
- абсцисса точки C равна 1;
- абсцисса точки E равна -1;
- абсцисса точки B равна -2;
- абсцисса точки G равна .
Репетитор для подготовки в ЕГЭ по математике, Сергей Валерьевич
Здравствуйте, Сергей! Я рассмотрела уже несколько решений подобных заданий и поняла, что все они очень разные и по разному решаются. Скажите, можно ли вообще научиться их решать? И если да, то есть ли какая-то методика? или сайт? или книга? Заранее благодарю за ответ.
Здравствуйте, Вероника. Универсальной методики, которая бы подходила всем, конечно, нет. Но если задаться целью и решать такие задачи каждый день по 1-2 штуки, то научиться их решать можно. А книг по этой тематике с разбором самых разнообразных примеров очень много. Начать можно с классического пособия Ткачука «Математика абитуриенту», к примеру.
Вероника, чтобы «научиться» решать такие задачи, есть 2 пути (ИМХО).
1. (малоэффективный, но ведущий к интеллектуальному росту) Каждый день решать по две задачи из Ткачука (варианты: Потапов-Олехник-Нестеренко, … …)
2. Получить полноценное высшее техническое образование, проскочив ЕГЭ, впоследствии стать преподавателем университета с продвинутой математикой (для гонора) и репетитором (для хлеба). Тогда никто не сможет Вас обмануть, делая вид, что задача замышлялась в таком виде. как была подана. С точки зрения школьника «№18» — это трудная задача с параметром. С точки зрения «повара» кухни, где готовилось блюдо — скучное нагромождение кусков гипербол и частей прямых в плоскости (x,a). То решение, которое (почти) верно изложено в приведённом видео, есть перевод простой и всем (репетиторам) понятной образной геометрической логики на неповоротливый русский математический подъязык.
По-русски: тупая задача.
Дело не в том, что задача тупая. Дело в том, что весь ЕГЭ такой. Но сдавать его всё равно надо. Вопрос в том, как подготовиться. В школе — не вариант. Научат решать только самые простые задачи. Курсы — сомнительный вариант. Тот же учитель у доски, тот же класс, те же проблемы. Можно пробовать самостоятельно. Способ очень хороший, но слишком долгий. Вот в чём корень зла. Времени всегда не хватает. Да и как готовиться? Решать задачи в случайном порядке в надежде извлечь из этого хаоса что-то рациональное? Это ж годы уйдут! А вот репетитор знает, как нужно готовить. Если он профессионал, конечно. Как бы пафосно это ни звучало, репетитор — это тот самый проводник, который ведёт ученика сквозь дебри разрозненных фактов, теорем, доказательство, задач с параметрами, тригонометрических уравнений и т.д., и т.д. А на выходе — знания, умения и навыки, необходимые для сдачи экзамена. Просто не всегда есть возможность заниматься с репетитором. Но это проблема очень многих в нашей стране. Тут уже только на себя приходится надеяться. Нужно пытаться подготовиться самостоятельно.
Здравствуйте. Начал рассматривать первый пример и задался вопросом: «Почему правая часть должна быть больше либо равна нулю???» Правая часть может принимать какие угодно значения, а вот подкоренное выражение в левой части должно быть больше либо равно нулю
Здравствуйте. Правая часть, поскольку она равна левой, в обязательном порядке должна быть больше либо равна нулю.
Я бы написал левая часть больше или равна нулю и правая… Почему так нельзя?
Потому что это дополнительное неравенство в системе, которое нужно решать. Ошибки не будет, если так написать. Результат решения будет тем же самым. Но это лишняя бессмысленная работа. Любой более-менее знающий математику специалист скажет Вам, что это математически неграмотно.
разве уравнение вида √а=b не имеет ограничений a≥0 b≥0 ?
Достаточно только одного ограничения b≥0. Потому что в этом случае a=b^2, и условие a≥0 следует из этого автоматически.
Было (x+2)(x-a). КАК после замены получилось у(у+а+2)????
Замена была y=x-a. Ну и подставьте это в выражение y(y+a+2). Получите (x+2)(x-a).
Почему нет проверки на ОДЗ во втором примере? x=-2 — посторонний корень.
Подставьте вместо a значение -2 в исходное уравнение и увидите, что это не постороннее решение.
Почему в конце х не должен быть = 0, т. е. — 3-a не равно 0 и 3-a не равно нулю, если подставить вместо х 0, то решение, вроде, получается, например, вначале корень из 9=3, а позже 0+0+3 больше 0???
Потому что один нулевой корень уже есть, остальные должны быть другими.
здравствуйте. я посмотрела первое видео. и не могу кое-что понять. два момента. почему у вас на времени 1.27 в правой системе получилось -9х^2? там же получается после переноса влево, что из 15 вычитаем 6. а 15 положительное… почему минус?
и второй момент. на времени 2.16, где раскладывали разность квадратов, не пониманию, почему в скобке (3-х-а) вы нашли, что х= -а-3… просто. если эту скобку к 0 приравнять, то х=3-а… объясните, пожалуйста.
из-за того, что у вас знак неправильно написан, (там должен быть +, а не -. и тогда скобка немного по-другому раскроется.) далее решение для тех, кто действительно вдумывается, а не просто палит в экран, не особо связное.
Этот вопрос уже обсуждался. Посмотрите на первый комментарий к видео на канале. А х=-а-3 получается из скобки (3+x+a).
Смотрю разбор первой задачи. Когда вы выносите х², в скобках у вас остаётся 9 со знаком плюс, но изначально оно было отрицательным. Привожу строки уравнения:
1) -х⁴ — 2ах² — 9х² — а²х² = 0
2) х² (9 — х² — 2ах — а²)=0
Да, это опечатка была, но она не повлияла на ход решения.
не поняла, там же явная ошбка, почему у вас получилось — 9? Когда 9 со знаком + идёт
всё, разобралась, опечатка
у вас неправильно решено первое в конце,второе неравенство в системе не такое выходит,пересчитайте
ой,все правильно,извините)
какой метод сложнее аналитический или графоаналитический?