Длина медианы треугольника

Воскресенье, Октябрь 20, 2019

Длина медианы треугольника

Очень часто в ЕГЭ, ОГЭ и других экзаменах по математике встречаются задачи, в которых требуется найти длину медианы треугольника, если известны его стороны. Это действительно возможно, ведь длины трёх сторон треугольника полностью его определяют. В данной статье профессиональный репетитор по математике и физике объясняет, как это можно сделать.

Вопрос о том, как найти длину медианы треугольника, если известны все стороны треугольника, действительно имеет смысл. Ведь треугольник определяется длинами его сторон. То есть нет двух разных треугольников с одинаковыми сторонами. По третьему признаку равенства треугольников это должны быть два равных треугольника. Это означает, что если мы знаем все стороны в треугольнике, то мы можем найти в нём все основные элементы. В том числе и длины всех медиан. Разберёмся, как находится длина медианы треугольника.

Изобразим треугольник ABC. Обозначим его стороны маленькими буквами a, b и c, причём сторона a пусть лежит напротив угла A, сторона b — напротив угла B и сторона c — напротив угла C. Это стандартное обозначение, которое часть используется в учебниках по геометрии. Проведём также медиану AM, которая разделит сторону BC на два равных отрезка, длины которых составляют по \dfrac{1}{2}a. Обозначим длину этой медианы m_a, имея в виду, что эта медиана проведена именно к стороне a:

Медиана AM в треугольнике ABC

То есть m_a — это длина медианы треугольника, которую нам нужно найти. Наша задача состоит в том, чтобы выразить её через длины сторон треугольника a, b и c.

Ну и идея состоит в том, чтобы использовать стандартное в таких случаях дополнительное построение, которое условно называют «удвоением медианы». Продлим медиану AM за точку M на отрезок MD, равный по длине медиане AM. То есть длина отрезка MD тоже равна m_a. Как это нам поможет? Дело в том, что, соединив точку D c точками B и C, мы получаем четырёхугольник ABDC, который в действительности является параллелограммом:

Удвоение медианы в треугольнике ABC, которое приводит к достраиванию его до параллелограмма

Естественно! Ведь есть такой признак. Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Здесь у нас получается ровно эта ситуация. M — середина AD, и одновременно — середина BC. Значит, ABDC — параллелограмм. Это означает, в частности, что BD = b, а DC = c, так как противоположные стороны параллелограмма равны.

Ну а дальше действовать можно по-разному. Но поскольку у всех всегда разный уровень знаний по геометрии, то я постараюсь обойтись в дальнейшем самыми известными фактами из геометрии. Я имею в виду теорему Пифагора. Я думаю, что вы все прекрасно её знаете. Ну или хотя бы про неё слышали.

Итак, проведём высоты нашего параллелограмма BF и DH. Обозначим длины этих высот буквой h. А вот отрезочки AF и CH обозначим за x. Они будут одинаковые по длине, потому что равны прямоугольные треугольники ABF и CDH. Они, конечно же, равны, ведь у них равны гипотенузы AB и CD, а также катеты BF и DH:

Нахождение длины медианы треугольника по известным длинам его сторон

Ну а теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BFC. Запишем для него теорему Пифагора:

(1)   \begin{equation*} BC^2 = BF^2+FC^2 = a^2 = h^2+(b-x)^2 \end{equation*}

Аналогично для прямоугольного треугольника ADH получаем по теореме Пифагора:

(2)   \begin{equation*}  AD^2 = DH^2+AH^2 = 4m_a^2=h^2+(b+x)^2  \end{equation*}

Ну и для прямоугольного треугольника ABF по теореме Пифагора получаем:

(3)   \begin{equation*} AB^2 = BF^2+AF^2 = c^2=h^2+x^2 \end{equation*}

То есть получается три уравнения. Нужно их использовать, чтобы найти m_a. Как же это сделать? Во-первых, сложим вместе уравнения (1) и (2), раскроем скобки и приведём подобные слагаемые. В результате получаем следующее выражение:

    \[ a^2+4m_a^2=2h^2+(b-x)^2+(b+x)^2= \]

    \[ = 2b^2+2h^2+2x^2 \]

Ну и теперь осталось использовать уравнение (3), только сперва нужно умножить обе части этого уравнения на 2. Тогда получим, что 2h^2+2x^2 = 2c^2. Ну и тогда мы получаем выражение a^2+4m_a^2=2b^2+2c^2, из которого получаем окончательно:

    \[ m_a = \dfrac{1}{2}\sqrt{2c^2+2b^2-a^2} \]

Вот искомая формула, которую мы не просто записали, но ещё и доказали. Но ирония заключается в том, что запоминать её совсем не обязательно. Лучше просто знать, как её вывести, и получать её каждый раз при решении каждой конкретной задачи.

Задавайте свои вопросы по математике и физике в комментариях. Здесь на сайте и на моём Youtube-канале. На самые часто задаваемые вопросы я отвечу в следующих видео и статьях. Всего доброго!

Репетитор по математике и физике Сергей Валерьевич

Добавить комментарий