Уравнения и неравенства с модулем | Репетитор по математике и физике

в результатах поиска

Меню

Категории

Уравнения и неравенства с модулем

18.08.2012 Сергей Валерьевич Методическая копилка

Репетитору по математике часто приходится сталкиваться с отсутствием у старшеклассников навыков решения простейших уравнений и неравенств с модулем. Между тем среди заданий С3 или С5 из ЕГЭ по математике таковые могут встретиться. Даже если их не будет на экзамене в явном виде, в процессе выполнения некоторых задач из ЕГЭ вам, возможно, придется столкнуться с решением того или иного задания с модулем. Поэтому научиться решать уравнения и неравенства с модулем должен каждый выпускник средней школы. В данной статье рассмотрены некоторые способы их решения. Присутствует также видеоразбор решения одного уравнения, содержащего модуль.

Считается, что чем больше способов решения существует у задачи, тем она интереснее с математической точки зрения. Уравнения и неравенства с модулями можно поэтому смело назвать интересными. Рассмотрим пример.

Решите уравнение:

$|2x+1|=2x^2+1.$

Решение. Постараемся найти как можно большее количество решений данного уравнения. Подробное объяснение решений смотрите в видеоуроке.

Способ №1. Решение возведением в квадрат. Просто возводим обе части уравнения в квадрат. При этом не забываем, что подобное преобразование не является равносильным. Из-за этого могут появиться посторонние корни, поэтому полученные решения необходимо будет проверить прямой подстановкой в исходное уравнение.

$|2x+1|^2=(2x^2+1)^2\Leftrightarrow$

$4x^2+4x+1=4x^4+4x^2+1\Leftrightarrow$

$4x^4-4x=0\Leftrightarrow x(x^3-1) = 0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=0,\\ x=1.\end{array}\right.$

Путем прямой подстановки полученных решений в исходное уравнение убеждаемся, что посторонних корней среди них нет. На самом деле в данном конкретном задании отсутствует необходимость проверки корней. Возведение обеих частей этого уравнения в квадрат не может привести к приобретению посторонних решений. Подумайте самостоятельно, почему это так.

Способ №2. Метод интервалов. Не совсем верное название, но мы его здесь употребим, поскольку в методической литературе оно встречается. Для решения нам потребуется найти значение переменной $x,$ при котором подмодульное выражение обращается в ноль: $2x+1 = 0$ $\Leftrightarrow x = -\frac{1}{2}.$ Наносим эту точку на числовую прямую и определяем знаки подмодульного выражения на полученных промежутках.

Разбор решения уравнения с модулем методом интервалов

Числовая прямая

Далее на каждом промежутке раскрываем знак модуля в соответствии с полученными данными:

при $x\in\left(-\mathcal{1};-\frac{1}{2}\right]$ подмодульное выражение отрицательно, и модуль раскрывается со знаком минус: $-2x-1=2x^2+1$ или $x^2+x+1=0.$ Дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, корней нет.
при $x\in\left(-\frac{1}{2};+\mathcal{1}\right)$ подмодульное выражение положительно, и модуль раскрывается со знаком плюс: $2x+1=2x^2+1$ или $2x^2-2x=0.$ Корни уравнения $x=0$ и $x=1.$ Оба принадлежат рассматриваемому нами промежутку.

Способ №3. Замена уравнения смешанной системой. Известно, что:

$|f(x)| = g(x)\Leftrightarrow \begin{cases} g(x)\geqslant 0 \\ \left[\begin{array}{l}f(x) = g(x) \\ f(x)=-g(x)\end{array}\right. \end{cases}$

Для тех, кто не знает, какой именно смысл вкладывается в математике в фигурные и квадратные скобки, рекомендую ознакомиться со статьей «Решение систем логарифмических и показательных неравенств». То есть в нашем случае:

$\begin{cases} 2x^2+2\geqslant 0, \\ \left[\begin{array}{l}2x+1 = 2x^2+1, \\ 2x+1 =-2x^2-1.\end{array}\right. \end{cases}$

Легко заметить, что первое неравенство выполняется при любом значении $x.$ Следовательно, в составе системы на него вообще можно не обращать внимания. Ситуация несколько упрощается:

$\left[\begin{array}{l}2x+1 = 2x^2+1, \\ 2x+1 =-2x^2-1 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=0, \\ x=1.\end{array}\right.$

Способ №4. Графический. Строим в одной системе координат графики функции $y=2x^2+1$ и $y = |2x+1|.$ Абсциссы точек их пересечения будут являться решениями уравнения. Метод менее точный, но более наглядный. Видно, что это все те же $x=0$ и $x=1.$

Соответствующие графики функций на одном координатном поле.

На этом список стандартных способов решения данного уравнения с модулем исчерпан. Придумайте свои нестандартные.

Простейшие уравнения с модулем

$|f(x)| = f(x)\Leftrightarrow f(x) \geqslant 0.$

$|f(x)| = -f(x) \Leftrightarrow f(x) \leqslant 0.$

$|f(x)|=|g(x)|\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}f(x) = g(x) \\ f(x)=-g(x)\end{array}\right.$

Пример 1. Решите уравнение:

$|x^2-5x+6|=-x^2+5x-6.$

Решение. Перепишем уравнение в виде:

$|x^2-5x+6| = -(x^2-5x+6).$

Получается, что модуль выражения равен этому выражению, взятому с противоположным знаком. Такое возможно только в том случае, если данное выражение отрицательно или равно нулю:

$x^2-5x+6\leqslant 0\Leftrightarrow 2\leqslant x\leqslant 3.$

Ответ: $x\in[2;3].$

Задача для самостоятельного решения №1. Решите уравнение

$|x^2-7x+12| = x^2-7x+12.$

Показать ответ

Ответ: $x\in(-\mathcal{1};3]\cup[4;+\mathcal{1}).$

$|f(x)| = g(x)\Leftrightarrow \begin{cases} g(x)\geqslant 0 \\ \left[\begin{array}{l}f(x) = g(x) \\ f(x)=-g(x)\end{array}\right. \end{cases}$

Пример 2. Решите уравнение:

$|\cos x| = \sin x.$

Решение. Исходное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \sin x\geqslant 0, \\ \left[\begin{array}{l} \cos x = \sin x, \\ \cos x = -\sin x \end{array}\right.\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 2\pi k\leqslant x\leqslant \pi+2\pi k, \\ \left[\begin{array}{l}x = \frac{\pi}{4}+2\pi n, \\ x = -\frac{\pi}{4}+2\pi z.\end{array}\right.\end{cases}$

Обе части последних двух уравнений разделили на $\cos x.$ В данном случае $\cos x \ne 0.$ В противном случае $\sin x = 0,$ а это невозможно, поскольку $\sin^2 x+ \cos^2 x = 1.$

Окончательно, получаем: $x\in\left\{\frac{\pi}{4}+2\pi k,\,\frac{3\pi}{4}+2\pi n\right\}.$

Ответ: $x\in\left\{\frac{\pi}{4}+2\pi k,\,\frac{3\pi}{4}+2\pi n\right\}.$

Задача для самостоятельного решения №2. Решите уравнение:

$|\sin 5x| = -\sin x.$

Примечание. Для решения этого задания потребуется знание формулы суммы и разности синусов.

Показать ответ

Ответ:

$-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\, (-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,$

$(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n,\,(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n.$

$|f(x)|+|g(x)| = f(x) + g(x)\Leftrightarrow \begin{cases} f(x)\geqslant 0 \\ g(x)\geqslant 0 \end{cases}$

$|f(x)|+|g(x)| = f(x) - g(x)\Leftrightarrow \begin{cases} f(x)\geqslant 0\\g(x)\leqslant 0 \end{cases}$

Пример 3. Решите уравнение:

$\left|\frac{x^2}{x-1}-x\right|+\left|\frac{x}{x-1}-2\right|=$

$=\frac{x^2}{x-1}+\frac{x}{x-1}-x-2.$

Решение. Перепишем уравнение в виде:

$\left|\frac{x^2}{x-1}-x\right|+\left|\frac{x}{x-1}-2\right|=$

$=\frac{x^2}{x-1}-x+\frac{x}{x-1}-2.$

Сумма модулей равна сумме подмодульных выражений. Это возможно только в том случае, когда оба подмодульных выражения неотрицательны:

$\begin{cases}\frac{x^2}{x-1}-x\geqslant 0, \\ \frac{x}{x-1}-2\geqslant 0.\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}\frac{x}{x-1}\geqslant 0, \\ \frac{2-x}{x-1}\geqslant 0.\end{cases}\Leftrightarrow$

$\begin{cases}x\in(-\mathcal{1};0]\cup(1;+\mathcal{1}), \\ x\in(1;2]\end{cases}\Leftrightarrow x\in(1;2].$

Ответ: $x\in(1;2].$

Задача для самостоятельного решения №3. Решите уравнение:

$|x^3-4x|+|5x^2-x^3|=5x^2-4x.$

Показать ответ

Ответ: $x\in[-2;0]\cup[2;5].$

$|f(x)| + |g(x)| = |f(x) + g(x)|\Leftrightarrow f(x)\cdot g(x)\geqslant 0$

$|f(x)| + |g(x)| = |f(x)-g(x)|\Leftrightarrow f(x)\cdot g(x)\leqslant 0$

Пример 4. Решите уравнение:

$|x^2+4x|+|-x^2+9| = |4x+9|.$

Решение. Сумма модулей равна модулю суммы подмодульных выражений. Это возможно только в том случае, когда оба подмодульных выражения одновременно либо неотрицательны, либо неположительны. То есть:

$(x^2+4x)(-x^2+9)\geqslant 0\Leftrightarrow$

$x(x+4)(3-x)(x+3)\geqslant 0\Leftrightarrow$

$x\in[-4;-3]\cup[0;3].$

Ответ: $x\in[-4;-3]\cup[0;3].$

Задача для самостоятельного решения №4. Решите уравнение:

$\left|\frac{x+2}{x+1}+4\right|+\left|\frac{3-x}{x+1}-3x-3\right|=\left|1-3x+\frac{5}{x+1}\right|.$

Показать ответ

Ответ: $x\in\left(-\infty;-\dfrac{7}{3}\right ]\cup\left[-\dfrac{6}{5};-1\right)\cup(-1;0].$

Простейшие неравенства с модулем

$|f(x)|\leqslant g(x)\Leftrightarrow \begin{cases}f(x)\leqslant g(x) \\ f(x)\geqslant -g(x)\end{cases}$

Пример 5. Решите неравенство:

$|x+1|\leqslant 2x.$

Решение. Исходное неравенство равносильно следующей системе неравенств:

$\begin{cases}x+1\leqslant 2x, \\ x+1\geqslant -2x \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x\geqslant 1, \\ x\geqslant -\frac{1}{3}.\end{cases}$

Ответ: $x\in [1;+\mathcal{1}).$

Задача для самостоятельного решения №5. Решите неравенство:

$|16-8x|<4x+2.$

Показать ответ

Ответ: $x\in\left(\frac{7}{6};4,5\right).$

$|f(x)|\geqslant g(x)\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} f(x)\geqslant g(x) \\ f(x)\leqslant -g(x) \end{array}\right.$

Пример 6. Решите неравенство:

$|2x-1|\geqslant x.$

Решение. Исходное неравенство равносильно следующей совокупности неравенств:

$\left[\begin{array}{l}2x-1\geqslant x, \\ 2x-1\leqslant -x\end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x\geqslant 1, \\ x\leqslant \frac{1}{3}. \end{array}\right.$

Ответ: $x\in\left(-\mathcal{1};\frac{1}{3}\right]\cup[1;+\mathcal{1}).$

Задача для самостоятельного решения №6. Решите неравенство:

$|3x-4|>x+1.$

Показать ответ

Ответ: $x\in(-\mathcal{1};0,75)\cup(2,5;+\mathcal{1}).$

$|f(x)|\geqslant f(x)\Leftrightarrow x\in D(f)$

$|f(x)|<f(x)\Leftrightarrow x\in\varnothing$

$|f(x)|\leqslant f(x) \Leftrightarrow f(x)\geqslant 0$

Пример 7. Решите неравенство:

$|x^2+4x-5|\leqslant x^2+4x-5.$

Решение. Исходное неравенство равносильно следующему неравенству:

$x^2 +4x - 5\geqslant 0\Leftrightarrow x\in(-\mathcal{1};-5]\cup[1;+\mathcal{1}).$

Ответ: $x\in(-\mathcal{1};-5]\cup[1;+\mathcal{1}).$

Задача для самостоятельного решения №8. Решите неравенство:

$\left|8x^2+\frac{1}{x}\right|\leqslant 8x^2+\frac{1}{x}.$

Показать ответ

Ответ: $x\in(-\mathcal{1};0,5]\cup(0;+\mathcal{1}).$

$|f(x)|<|g(x)|\Leftrightarrow f^2(x)<g^2(x)$

$|f(x)|<|g(x)|\Leftrightarrow (f(x)-g(x))(f(x)+g(x))\leqslant 0$

Пример 9. Решите неравенство:

$|5x+3|<|2x-1|.$

Решение. Исходное неравенство равносильно следующему неравенству:

$(5x+3)^2<(2x-1)^2\Leftrightarrow (3x+4)(7x+2)<0.$

Ответ: $x\in\left(-\frac{4}{3};-\frac{2}{7}\right).$

Задача для самостоятельного решения №9. Решите неравенство:

$\left|\frac{1-x}{1+3x}\right|>|1+x|.$

Показать ответ

Ответ: $x\in\left(-\frac{5}{3};-\frac{1}{3}\right)\cup\left(-\frac{1}{3};0\right).$

Сергей Валерьевич
Частный преподаватель по математике

видеоуроки репетиторанеравенстварешение задач по алгебретеория ОГЭ по математикеуравненияэтому не научат в школе

15 комментариев

⇓

Александр
20.01.2013 к 22:01

Спасибо большое! Очень пригодилось!
Женя
10.05.2013 к 13:43

Спасибо большое! Готовлюсь к годовой по алгебре, все позабывал, не мог найти метод интервалов. У вас нашел, спасибо еще раз!
Анель
01.03.2014 к 14:50

Здравствуйте. Мне очень понравился урок, вспомнила некоторые довольно удобные методы решения уравнений с модулями. Но хочу отметить, в третьем задании для самостоятельного решения допущена опечатка, там пропущен квадрат во втором модуле, из-за чего не получалось решить уравнение. Спасибо).
- Sergey Seliverstov
  01.03.2014 к 18:58
  
  Здравствуйте. Да, действительно, квадрат у икса потерялся. Уже исправил. Большое спасибо.
Анастасия
09.04.2014 к 19:34

извините, но разве в задаче для самостоятельного решения №1 ответ не 3?
- Sergey Seliverstov
  26.05.2014 к 06:54
  
  Определенно, нет.
Ирина
27.09.2016 к 12:00

Большое спасибо. С большим удовольствием повторила и объяснила внукам. Люблю математику.
- Сергей
  28.09.2016 к 12:58
  
  Очень рад, что этот материал оказался Вам полезен!
Ирина
11.10.2016 к 01:13

Простите, но теория перед 6-м примером не подтверждается решением…Сами посмотрите. простая проверка-в ответ не входит число 2\3. а простая подстановка дает верное неравенство. Стала решать Вашим способом неравенcтва из профильного учебника Мордковича для 10кл, а ничего не сходится с ответом..(5.17)..Пересмотрите, пожалуйста..Так же нельзя…
- Сергей
  11.10.2016 к 08:59
  
  Если подставить 2/3, то слева в неравенстве получится |2*2/3-1| = |4/3-1| = |1/3| = 1/3, а это никак не больше и не равно 2/3.
Улан
11.03.2018 к 21:07

Спасибо за ваш материал! А что теперь делать после этих заданий? Что еще порешать?
Назиря
20.10.2018 к 09:23

Спасибо огромное, очень полезный материал!!!!
- Кыяс
  01.11.2021 к 23:04
  
  Уравнения и неравенства
Денис
24.10.2018 к 14:09

Великолепно. Я нашёл то, что искал. Спасибо
Маша
16.12.2018 к 18:40

спасибо, очень помогло. жаль, что этот материал проходится в школе только поверхностно

Комментарии закрыты

топ