Решение неравенств методом интервалов

Суббота, Июль 14, 2012

Статья о решении неравенств методом интерваловСтатья посвящена разбору примеров решения неравенств методом интервалов. При том, что этот метод решения неравенств достаточно универсален, важно помнить, что не всегда применение данного метода оправдано с точки зрения объема вычислений. Иногда бывает удобнее воспользоваться некоторыми другими методами решения неравенств. Все рассмотренные в статье неравенства взяты из реальных вариантов ЕГЭ по математике разных лет. Присутствует подробный видеоразбор одного из заданий.

 

Метод интервалов


Пусть заданное неравенство имеет вид: \frac{f(x)}{g(x)}\bigvee 0. Для решения этого неравенства используется так называемый метод интервалов (метод промежутков), который состоит в следующем.

Во-первых, на числовую ось наносят точки x_1 ,\dots , x_n, разбивающие ее на промежутки, в которых выражение \frac{f(x)}{g(x)} определено и сохраняет знак («плюс» или «минус»). Такими точками могут быть корни уравнений f(x)=0 и g(x)=0. Соответствующие этим корням точки отмечают на числовой оси: закрашенными кружками — точки, удовлетворяющие заданному неравенству, а светлыми кружками — не удовлетворяющие ему.

Во-вторых, определяют и отмечают на числовой оси знак выражения \frac{f(x)}{g(x)} для значении х, принадлежащих каждому из полученных промежутков. Если функции f(x) и g(х) являются многочленами и не содержат множителей вида (x-a)^{2n}, где n\in N, то достаточно определить знак функции \frac{f(x)}{g(x)} в любом таком промежутке, а в остальных промежутках знаки «плюс» и «минус» будут чередоваться.

Если же в числителе или знаменателе дроби \frac{f(x)}{g(x)} имеется множитель вида (x-a)^{2n}, где n\in N, то непосредственной проверкой выясняют, удовлетворяет ли значение х = a заданному неравенству.

Изменение знаков удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кривой (кривой знаков), проведенной через отмеченные точки и лежащей выше или ниже числовой оси в соответствии со знаком дроби \frac{f(x)}{g(x)} в рассматриваемом промежутке. Промежутки, которые содержат точки, удовлетворяющие данному неравенству, иногда покрывают штрихами. На ту же ось помещают и точки, соответствующие x=a. Заштрихованная область в совокупности с полученными точками будет являться ответом к неравенству.

Прямая знаков метод интервалов

Общий вид прямой знаков в методе интервалов

Примеры решения неравенств методом интервалов

Пример 1. Решите неравенство:

    \[ \frac{1}{x^2-5x+6}\leqslant\frac{1}{2}. \]

Решение. Упрощаем неравенство путем равносильных преобразований:

При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число, меняется знак неравенства!

    \[ \frac{1}{x^2-5x+6}-\frac{1}{2}\leqslant 0\Leftrightarrow \frac{2-(x^2-5x+6)}{2(x^2-5x+6)}\leqslant 0\Leftrightarrow \]

    \[ \frac{-x^2+5x-4}{x^2-5x+6}\leqslant 0\Leftrightarrow \frac{x^2-5x+4}{x^2-5x+6}\geqslant 0. \]

Выражения, стоящие в числителе и знаменателе, можно разложить на множители, тогда неравенство примет вид:

    \[ \frac{(x-4)(x-1)}{(x-2)(x-3)}\geqslant 0. \]

Далее по алгоритму решения неравенств методом интервалов находим корни уравнений (x-4)(x-1)=0 и (x-2)(x-3)=0. Из первого получаем x_1 = 4, x_2 = 1. Из второго получаем x_3=2, x_4=3. Наносим на числовую прямую получившиеся точки, причем точки x_1 и x_2 обозначаем закрашенными кружочками (для них неравенство выполняется), а точки x_3 и x_4 — светлыми (для них неравенство не выполняется, при этих значениях, выражение, стоящее слева от знака неравенства, вообще не имеет смысла):

Числовая прямая с отмеченными светлыми и закрашенными точками

Числовая прямая с отмеченными точками

Определяем теперь знаки выражения \frac{(x-4)(x-1)}{(x-2)(x-3)} на полученных промежутках (подставляем любое значение x из каждого полученного промежутка в данное выражение), изображаем кривую знаков, заштриховываем те промежутки, на которых исходное неравенство выполняется:

Кривая знаков решение неравенства методом интервалов

Кривая знаков для исходного неравенства

Итак, исходному неравенству удовлетворяют следующие значения: x\in(-\mathcal{1};1]\cup(2;3)\cup[4;+\mathcal{1}).

Ответ: x\in(-\mathcal{1};1]\cup(2;3)\cup[4;+\mathcal{1}).

Задача для самостоятельного решения №1. Решите неравенство:

    \[ \frac{x+17}{x^2-x-6}\geqslant 0. \]

Показать ответ

Ответ: x\in[-17;-2)\cup(3;+\mathcal{1}).

Пример 2. Решите неравенство:

    \[ \frac{\sqrt{x}-3}{x-2}>0. \]

Решение. Подкоренное выражение, как известно, не может принимать отрицательных значений, также не допускается нахождение в знаменателе дроби нуля. Следовательно, область допустимых значений данного неравенства определяется неравенством x\geqslant 0 и тем условием, что x\ne 2. Решаем уравнения \sqrt{x} - 3 = 0 и x-2 = 0. Из первого уравнения получаем, что x_1 = 9. Из второго уравнения получаем, что x_2 = 2. Наносим область допустимых значений неравенства и полученные точки на числовую прямую, причем эти точки будет светлыми, поскольку ни одно из значений x_1 и x_2 не удовлетворяет неравенству. Сразу определяем знаки выражения \frac{\sqrt{x}-3}{x-2} в каждом из полученных промежутков и рисуем кривую знаков:

Кривая знаков в методе интервалов решения неравенств

Кривая знаков для решения исходного неравенства

Верхней стрелкой на рисунке обозначена область допустимых значений неравенства. Ответом к неравенству будет являться промежуток, соответствующий на рисунке заштрихованной области.

Ответ: x\in[0;2)\cup (9;+\mathcal{1}).

Задача для самостоятельного решения №2. Решите неравенство:

    \[ \frac{\sqrt{17-15x-2x^2}}{x+3}>0. \]

Показать ответ

Ответ: x\in(-3;1).

Пример 3. Решите неравенство:

    \[ \frac{1-\sqrt{1-8x^2}}{x}<2. \]

Решение. Подкоренное выражение не может принимать отрицательных значений, а в знаменателе дроби не должно быть нуля. Следовательно, область допустимых значений неравенства определяется следующей системой:

    \[ \begin{cases}1-8x^2\geqslant 0, \\ x\ne 0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\leqslant x\leqslant \frac{1}{2\sqrt{2}}, \\ x\ne 0.\end{cases}\Leftrightarrow \]

    \[ x\in\left[-\frac{1}{2\sqrt{2}};0\right)\cup\left(0;\frac{1}{2\sqrt{2}}\right]. \]

Решаем уравнение 1-2x-\sqrt{1-8x^2}=0 и x=0. Из первого получаем, что x_1 = 0 и x_2=\frac{1}{3}. Из второго получаем, что x_3 = 0. Наносим полученные точки на числовую прямую, не забывая о том, какие из них следует закрасить, а какие осветлить. Изображаем также на ней область допустимых значений и изображаем кривую знаков:

Кривая знаков в методе интервалов решения неравенств

Кривая знаков для исходного неравенства

Пунктирные лини на рисунке ограничивают область допустимых значений неравенства. Заштрихованная область соответствует решению неравенства.

Ответ: x\in\left[-\frac{1}{2\sqrt{2}};0\right)\cup\left(0;\frac{1}{3}\right).

Задача для самостоятельного решения №3. Решите неравенство:

    \[ \sqrt{2x+1}<\frac{2x+1}{2-x}. \]

Показать ответ

Ответ: x\in(3-\sqrt{6};2)

Метод интервалов — универсальный, но не единственный метод решения неравенств. Уметь использовать этот метод, конечно, необходимо, но не достаточно для успешного решения задач по математики. Как репетитор по математике советую вам освоить и другие более частные методы решения неравенств. Успехов вам!

Сергей Валерьевич
Преподаватель математики и физики

Мы знаем столько, сколько удерживаем в памяти.
© Латинская пословица

Комментарии

  1. диля:

    как тут понять если у меня не нуль

    1. Sergey Seliverstov:

      Что значит «не нуль»?

  2. Андрей:

    Можно написать решения подробней? Плохо понятно,особенно как в третьем получили 1/3:-)

    1. Sergey Seliverstov:

      Ну это стандартное иррациональное уравнение. Переносим корень в другую часть уравнения, возводим обе части в квадрат. Получаем квадратное уравнение, решаем его, получаем два корня. Поскольку после возведения обеих частей уравнения в квадрат могут появится посторонние корни, прямой подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что оба полученных корня подходят.

  3. Аида:

    как решить неравенство общего вида?

    1. Sergey Seliverstov:

      Методом интервалов.

  4. x:

    В третьем примере -1/sqrt(8) тоже должно входить в ответ.

    1. Sergey Seliverstov:

      Да, спасибо, исправил.

  5. Алишер:

    А почему простого линейного уравнения нету? Можете написать пример линейного уравнения, пожалуйста?

    1. Sergey Seliverstov:

      Могу. Ну, например, 4x + 2 > 4. Решаем: 4x > 4 — 2, 4x > 2, x > 0.5

  6. Камелия:

    x+4/3+6x<0 ответ (-0.5; 4) ? или я не права?

    1. Sergey Seliverstov:

      К неравенству, которое Вы записали, ответ x<-4/21.

  7. инна:

    Пример1.

    Как числитель (и знаменатель) разложить на множители?

    1. Sergey Seliverstov:

      Стандартным методом разложения квадратного трехчлена на множители.

  8. турал:

    в первом примере ,куда мы дели двойку в знаменателе,должны же были умножить эту двойку на скобку

    1. Sergey Seliverstov:

      Умножили обе части неравенства на 2, и она сократилась.

Добавить комментарий


4 × = двадцать восемь