Статья посвящена разбору примеров решения неравенств методом интервалов. При том, что этот метод решения неравенств достаточно универсален, важно помнить, что не всегда применение данного метода оправдано с точки зрения объема вычислений. Иногда бывает удобнее воспользоваться некоторыми другими методами решения неравенств. Все рассмотренные в статье неравенства взяты из реальных вариантов ЕГЭ по математике разных лет. Присутствует подробный видеоразбор одного из заданий.

Метод интервалов

Пусть заданное неравенство имеет вид: Для решения этого неравенства используется так называемый метод интервалов (метод промежутков), который состоит в следующем.

Во-первых, на числовую ось наносят точки разбивающие ее на промежутки, в которых выражение определено и сохраняет знак («плюс» или «минус»). Такими точками могут быть корни уравнений и Соответствующие этим корням точки отмечают на числовой оси: закрашенными кружками — точки, удовлетворяющие заданному неравенству, а светлыми кружками — не удовлетворяющие ему.

Во-вторых, определяют и отмечают на числовой оси знак выражения для значении , принадлежащих каждому из полученных промежутков. Если функции и являются многочленами и не содержат множителей вида где  то достаточно определить знак функции в любом таком промежутке, а в остальных промежутках знаки «плюс» и «минус» будут чередоваться.

Если же в числителе или знаменателе дроби  имеется множитель вида  где  то непосредственной проверкой выясняют, удовлетворяет ли значение заданному неравенству.

Изменение знаков удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кривой (кривой знаков), проведенной через отмеченные точки и лежащей выше или ниже числовой оси в соответствии со знаком дроби в рассматриваемом промежутке. Промежутки, которые содержат точки, удовлетворяющие данному неравенству, иногда покрывают штрихами. На ту же ось помещают и точки, соответствующие Заштрихованная область в совокупности с полученными точками будет являться ответом к неравенству.

Общий вид прямой знаков в методе интервалов

Примеры решения неравенств методом интервалов

Решение. Упрощаем неравенство путем равносильных преобразований:

Выражения, стоящие в числителе и знаменателе, можно разложить на множители, тогда неравенство примет вид:

Далее по алгоритму решения неравенств методом интервалов находим корни уравнений и . Из первого получаем Из второго получаем Наносим на числовую прямую получившиеся точки, причем точки и обозначаем закрашенными кружочками (для них неравенство выполняется), а точки и — светлыми (для них неравенство не выполняется, при этих значениях, выражение, стоящее слева от знака неравенства, вообще не имеет смысла):

Числовая прямая с отмеченными точками

Определяем теперь знаки выражения на полученных промежутках (подставляем любое значение из каждого полученного промежутка в данное выражение), изображаем кривую знаков, заштриховываем те промежутки, на которых исходное неравенство выполняется:

Кривая знаков для исходного неравенства

Итак, исходному неравенству удовлетворяют следующие значения:

Ответ: 

Задача для самостоятельного решения №1. Решите неравенство:

Показать ответ

Ответ:

Решение. Подкоренное выражение, как известно, не может принимать отрицательных значений, также не допускается нахождение в знаменателе дроби нуля. Следовательно, область допустимых значений данного неравенства определяется неравенством и тем условием, что Решаем уравнения и Из первого уравнения получаем, что Из второго уравнения получаем, что Наносим область допустимых значений неравенства и полученные точки на числовую прямую, причем эти точки будет светлыми, поскольку ни одно из значений и не удовлетворяет неравенству. Сразу определяем знаки выражения в каждом из полученных промежутков и рисуем кривую знаков:

Кривая знаков для решения исходного неравенства

Верхней стрелкой на рисунке обозначена область допустимых значений неравенства. Ответом к неравенству будет являться промежуток, соответствующий на рисунке заштрихованной области.

Ответ:

Задача для самостоятельного решения №2. Решите неравенство:

Показать ответ

Ответ:

Решение. Подкоренное выражение не может принимать отрицательных значений, а в знаменателе дроби не должно быть нуля. Следовательно, область допустимых значений неравенства определяется следующей системой:

Решаем уравнение и Из первого получаем, что и Из второго получаем, что Наносим полученные точки на числовую прямую, не забывая о том, какие из них следует закрасить, а какие осветлить. Изображаем также на ней область допустимых значений и изображаем кривую знаков:

Кривая знаков для исходного неравенства

Пунктирные лини на рисунке ограничивают область допустимых значений неравенства. Заштрихованная область соответствует решению неравенства.

Ответ:

Задача для самостоятельного решения №3. Решите неравенство:

Показать ответ

Ответ:

Метод интервалов — универсальный, но не единственный метод решения неравенств. Уметь использовать этот метод, конечно, необходимо, но не достаточно для успешного решения задач по математики. Как репетитор по математике советую вам освоить и другие более частные методы решения неравенств. Успехов вам!

Сергей Валерьевич
Преподаватель математики и физики