Cкорость движения спутника вокруг Земли

Четверг, 11 февраля, 2016

Солнечная система (иллюстрация)

В космосе гравитация обеспечивает силу, из-за которой спутники (такие, как Луна) вращаются по орбитам вокруг более крупных тел (таких, как Земля). Эти орбиты в общем случае имеют форму эллипса, на чаще всего, этот эллипс не сильно отличается от окружности. Поэтому в первом приближении можно считать орбиты спутников круговыми. Зная массу планеты и высоту орбиты спутника над Землей, можно рассчитать, какой должна быть скорость движения спутника вокруг Земли.

Расчет скорости движения спутника вокруг Земли

Вращаясь по круговой орбите вокруг Земли, спутник в любой точке своей траектории может двигаться только с постоянной по модулю скоростью, хотя направление этой скорости будет постоянно изменяться. Какова же величина этой скорости? Её можно рассчитать с помощью второго закона Ньютона и закона тяготения.

Для поддержания круговой орбиты спутника массы m в соответствии со вторым законом Ньютона потребуется центростремительная сила: F = ma_n, где a_n — центростремительное ускорение.

Как известно, центростремительное ускорение определяется по формуле:

    \[ a_n = \frac{\upsilon^2}{R}, \]

где \upsilon — скорость движения спутника, R — радиус круговой орбиты, по которой движется спутник.

Центростремительную силу обеспечивает гравитация, поэтому в соответствии с законом тяготения:

    \[ F = G\frac{mM}{R^2}, \]

где M = 6\times 10^{24} кг — масса Земли, G = 6.67\times 10^{-11} м3⋅кг-1⋅с-2 — гравитационная постоянная.

Подставляя все в исходную формулу, получаем:

    \[ G\frac{mM}{R^2} = m\frac{\upsilon^2}{R}. \]

Выражая искомую скорость \upsilon, получаем, что скорость движения спутника вокруг Земли равна:

    \[ \upsilon = \sqrt{G\frac{M}{R}}. \]

Это формула скорости, которую должен иметь спутник Земли на заданном радиусе R (т.е. расстоянии от центра планеты) для поддержания круговой орбиты. Скорость не может меняться по модулю, пока спутник сохраняет постоянный орбитальный радиус, то есть пока он продолжает обращаться вокруг планеты по круговой траектории.

При использовании полученной формулы следует учитывать несколько деталей:

  • В качестве радиуса нужно использовать расстояние от центра Земли, а не высоту над поверхностью.
    Следовательно, расстояние R в формуле – это расстояние между центрами двух тел. В том случае, если известна высота спутника над поверхностью Земли, то для нахождения R к этой высоте нужно прибавить радиус Земли, который приблизительно равен 6400 км.
  • Данная формула верна для спутников, находящихся за пределами атмосферы.
    Однако в случае искусственных спутников это не совсем так. Даже на высоте 600 км от Земли имеет место определённое сопротивление воздуха. Постепенно это сопротивление, т.е. трение о воздух, заставляет спутники снижаться, и в конце концов они сгорают при входе в атмосферу. На высоте менее 160 км орбита спутника существенно понижается при каждом обороте вокруг Земли из-за сопротивления воздуха.
  • Скорость спутника на круговой орбите не зависит от его массы.
    Если представить себе, что сопротивлением воздуха можно пренебречь, и Луна обращается вокруг Земли на расстоянии 640 км, то для сохранения орбиты она должна двигаться с такой же точно скоростью, что и искусственный спутник на той же высоте, хотя масса и размеры Луны намного больше.

Искусственные спутники Земли, как правило, обращаются вокруг планеты на высоте от 500 до 2000 км от поверхности планеты. Рассчитаем, с какой скоростью должен двигаться такой спутник на высоте 1000 км над поверхностью Земли. В этом случае R = 1000 + 6400 = 7400 км. Подставляя числа, получаем:

\upsilon = \sqrt{6.67\times 10^{-11}\cdot\frac{5.9\times 10^{24}}{7.4\times 10^6}} \approx 7.3 км/с.

Материал подготовлен репетитором по математике и физике в Москве, Сергеем Валерьевичем

Комментарии

  1. Евгений:

    У вас ошибка в расчётах первой космической скорости спутника. Правильный ответ 5,062 км/с

    1. Сергей:

      Не соглашусь с Вами, посчитано правильно. Mathcad не ошибается). Можно здесь посмотреть.

      1. Mike:

        Исходя из ваших формул, при увеличении орбиты спутника падает скорость спутника. Изачем вам тогда вторая космическая если при радиусе орбиты 20000 км скорость спутника будет равна 4,5 км/сек

      2. Аноним:

        Радиус геостационарной орбиты земли равен 42164км и скорость вращения спутника на этой орбите равна 3,07 км/сек. Объясните для чего вам нужна вторая космическая скорость если при удалении от земли снижается притяжение и соответственно скорость летательного аппарата.
        И как вообще кто-то летал в космос за пределы земли при таких познаниях.

        1. Сергей Валерьевич:

          Честно говоря, не понимаю, в чём суть претензии. Вторая космическая скорость — это скорость, которую должен получить спутник, находящийся вблизи поверхности Земли, чтобы покинуть поле тяготения Земли. Конечно, если спутник уже находится на геостационарной орбите, то ему нужно сообщить меньшую скорость, чтобы он улетел в открытый космос. Но энергетически никакого выигрыша в таком маневре, естественно, не будет.

        2. Евгений:

          Вторая космичеческая скорость позволит путишествовать в пределах солнечной системы преодолев притяжение солнца, не путайте с орбитальной скоростью, это радиус окружности орбиты относительно земли, где для увеличения скорости, нужно уменьшить орбитальный радиус окружности орбиты аппарата, тем самым увеличив притяжение земли, где для стабильной орбиты на более низкой высоте нужна большая ударение на «о» орбитальная скорость.

          1. Аноним:

            Преодолев притяжение земли, а не солнца. Вторая космическая скорость — переход с орбиты вокруг земли на орбиту вокруг солнца. Данный маневр нужен для возможности, перемещения к другим планетам.

    2. Аноним:

      Из интернет инфо: Космонавты на МКС каждый день наблюдают по 15-16 закатов и рассветов. Международная Космическая Станция находится примерно в 220 км над Землей и движется со скоростью 27 700 км/ч.
      Космонавты наблюдают за ними 15-16 раз в сутки.
      Не знаю кто считал но думаю. 15-16 раз факт или космонавты не в себе. 220 км думаю тоже факт исходя из орбитальных снимков. Радиус планеты 6371 км возьмем тоже за факт. А дальше длинна окружности и время ее прохождения. Там выйдет примерно 41400 км длинна орбиты. Немного больше чем по экватору, но и высота маленькая. 15 раз за сутки это примерно 96 минут (1.6 часов) на круг. 25900 км/ч (7200 м/с), это занижено так как + 1 оборот за сутки им догонять планету (спутники запускают в сторону вращения земли, чтоб не пришлось сначала гасить уже имеющуюся скорость примерно 1600 км/ч 40000/24). Чем выше орбита тем меньше скорость, но до 1000 км особо не измениться скорость. Далековато до 5 км/с.

      1. Миха:

        Высота МКС от 400 до 420 км, не 220км. В период полётов Шаттлов к ней, держали около 330.350 км и приходилось чаще её поднимать. На 220 км, она давно бы уже оттормозилась и рухнула, ибо не успевали бы её смещать выше.

    3. Сергей:

      Всё верно. Это не расчёт 1КС, а скорость спутника на высоте 1000 км.
      Другое дело, что не корректно иметь под корнем размерность в метрах, а результат сразу записать в км/с.

    4. Юрий:

      С какой скоростью летит спутник на геостационарной орбите 35000 км над уровнем моря вместе с землёй. Он же весит над одной точкой и должен успеть за скоростью вращения земли на экваторе.

  2. Михаил:

    Напишите пожалуйста формулу путевой скорости, если знаем орбитальную.

    1. Сергей:

      Как я понимаю, нужно векторно вычесть из орбитальной скорости, «приведённой» к поверхности Земли, скорость вращения Земли вокруг своей оси. Она будет зависеть от того, в каком направлении движется спутник относительно вращения Земли.

  3. QWErty:

    скорость спутника меняется или остается неизменной?

    1. Сергей:

      Если спутник движется по круговой орбите, то меняется только направление скорости, а модуль остаётся постоянным. Если же он движется по более сложной траектории (например, по эллипсу), то меняется и величина скорости тоже.

  4. Петр:

    Орбитальная скорость спутника падает, если мы повышаем орбиту.

  5. Эрнест:

    Какие умный люди, восхищаюсь вами. Жаль что я многое непонимаю, хоть и всё прочитал и очень люблю космосс и всё что в нём происходит.

  6. Аноним:

    какая сила позволяет земле (скорость её примерно 30км\с) не сбить спутник ,проходящий орбиту на её пути (пол орбиты с его скоростью 8км\сек= 45 мин)на растоянии в 2000м??? Ни центростремительные,ни центробежные,ни гравитация,ни другие известные мне силы силы тут не помогут,или противоречат друг другу.

    1. Сергей:

      Звучит так, как будто инерцию уже отменили. Следуя этой логике, подпрыгнув на месте, я должен был бы упасть в 30 км от того места, где подпрыгнул. А вообще на эти вопросы в двух словах не ответишь. Тут придётся рассказать всю механику, начиная со школьного уровня.

    2. Сергей:

      Я не спец в физике и астрономии, но попытаюсь объяснить с помощью инф. источников интернета, которые в свою очередь опираются на серьёзную литературу.
      Своими словами:
      Наша земля со всеми ее различными слоями атмосферы, а также с искусственными и природными спутниками, летающими на разных земных орбитах, является некой целостной уравновешенной инерциальной системой, которая в свою очередь является компонентом другой подобной инерциальной системы (солнечной системы), двигаясь в ней по определенной орбите солнца. Далее солнечная система тоже участвует в еще более масштабной и комплексной системе — в нашей галактики «Млечный Путь», также двигаясь по определенной орбите.

    3. Аноним:

      Поезд едет со скоростью 200 км/ч, я в герметичном вагоне слегонца подкидываю вверх камешек. Он со скоростью 200 км/ч выбивает стекла в задних вагонах? Спутник находиться не только на орбите планеты, также на орбите солнца и орбите галактики …. Пушка стреляет по ходу вращения земли и против с разной скоростью снаряда, но относительно поверхности планеты и пушки с одинаковой, от пушки улетит одинаково, или может придавить скорость галактики? Только не понятно как он резко изменил скорость относительно галактики. Эти 30 км/с есть у спутника относительно солнца, изначально движется с землей. Земля тот же поезд, а камешек — спутник.

  7. Аноним:

    да и за время планеты сколько метеоритов с первой космической скоростью пролетали по орбите.У нас бы там место спутникам искуственным бы уже не осталось,а был бы невообразимый щит из булыжников.Может я и преувеличиваю но по этим формулам так получается…Или имеются крупные недочёты во всех расчётах)))

  8. настя:

    в статье сказано, что по данной формуле рачета скорости можно найти непосредственно саму скорость спуткика, но только при усоловии, если он вращается на высоте не менее 500 км.
    тогда как найти скорость спутника с апогеем 277 км?

    1. Сергей:

      Если «с апогеем», то это значит, что он движется по эллиптической траектории. В этом случае всё сложнее. Там уже скорость меняется в процессе движения. Чем спутник дальше от тяготеющего центра — тем скорость меньше.

      1. Аноним:

        Но можно ли использовать эту формулу, для нахожния скорости именной на апогее?

        1. Сергей:

          Нет, нельзя. Эта формула работает только для кругового движения по орбите. Для эллиптического движения есть более сложные формулы, где классическая механика раскрывается во всей её красе:)

  9. Сергей:

    Сергей/ Если планета двигается во эллипсу, в какой точке апогея находится переход от замедления к ускорению?. В какой точке перегея самая высокая скорость?. Спасибо!

    1. Сергей:

      Апогей — это и есть точка, и перигей тоже. Апогей — наиболее удалённая от тяготеющего центра, в ней скорость скорость спутника минимальна, перигей — наименее удалённая, где скорость, наоборот, максимальна.

  10. владимир:

    я вобще про другой спутник

  11. Владимир:

    С выходом на заданную орбиту космического аппарата понятно, а как его затормозить, к примеру, для прилунения?

    1. Сергей:

      А в чём проблема развернуться и включить двигатели, чтобы «затормозить»? Посмотрите, как приземляются отработавшие ступени ракет SpaceX.

      1. Аноним:

        Да нет проблем. По идее сколько разгонялся столько и тормозишь, не пончтно конечно оьо что

      2. Mike:

        Нет проблем: сколько разгонялся, столько и тормозишь, а то и больше. А пока тормозишь то окажешься ниже орбиты на которой находился. Если сильно затормозишь то можешь оказаться подкалиберным снарядом своей ракеты. Вообще космические фантазии интересная штука.

  12. олег:

    Если я правильно понял все об движении,можно сделать запуск грузовиков дешевле 5 раз!Но почему запускают дороже в 5 раз?нужна консультация работающего непосредственно в-области запуска.мой тлф в Москве89022631479

  13. Ян:

    Округление результатов сделано не точно.
    Масса земли 5.972 * 10^24. Округлять до 5.9 ошибочно, правильно будет округлить до 6. Тоже самое с ответом, который равен 7.37, что правильнее было бы округлить до 7.4.

  14. Елена:

    Искусственный спутник обращается вокруг Земли на высоте 4,5 Мм. Определить линейную скорость спутника

    1. Alex:

      Орбита круговая? Если да то v=sqrt(GM/r)

      1. Привет!:

        А как определяется угловая скорость? Не подскажите

        1. Сергей Валерьевич:

          Линейную скорость нужно разделить на радиус окружности.

  15. Данила:

    Вопрос, а почему у вас в 6 степени радиус когда там в 3 должно быть, там же 6400 км => 6,4 × 10^3

    1. Сергей Валерьевич:

      Потому что там в метрах, а не в километрах.

  16. Александр:

    Только что SpaceX’s Falcon Heavy запустил спутник на орбиту (https://www.youtube.com/watch?v=biXA3qlT2hk)
    Летит со скоростью 26722 км/ч, что равняется 7,425 км/с
    Сергей, ваши расчеты верны.

  17. Сергей:

    Правильно ли выражение «что при торможении спутник сначала уходит вниз и вперед».

  18. Лиза:

    Ракета носитель вывела спутник на орбиту и вращается по орбите со скоростью 850 км/ч. Спутник отсоединили. Он полетел сам по орбите. Какая скорость спутника?

    1. Алекс:

      850км/ч

  19. Mike:

    Мне нравятся все ввши фантазии о полётах в космосе. Типа веревочку привязываешь к какому то телу и вращаешь, так выглядит земное притяжение для школьников. Удивительно, но как то избирательно у вас действует сила притяжения и центробежное влияние на тела: на спутник действует, на предметы находящиеся внутри нет, причем обязательно по ценру МКС. По моему мнению космонахты должны при этой скорости прилипнуть к потолку а не летать по центру МКС. Еще мне понравилось высказывание одного идиота про муху , летающую в автомобиле. Только он забыл, что у мухи есть крылья и забыл сказать что будет с мухой, в случае столкновения авто с препятствием.
    Легко у вас летают спутники по элептическим орбитам, наверное веревочку то отпусеаете то натягиваете. Почемуто у вас притяжение действует всегда на центр корабля и не вращаются эти корабли
    и МКС хаотически, а именно параллельно земле. Там в космосе нет воздуха и движение следует рассматривать на орбите как прямолинейное и для корректировки потребуется много энергии. Это вам не мотоцикл, который гоняет по кругу внутри шара. В космосе не на что опереться, разве что на ионосферу. К вашим формулам и движению вокруг земли больше вопросов чем ответов.

    1. Алекс:

      Попробуйте поучить физику, класса так с восьмого. Разберите «задачу Кеплера»
      Пока ваша реакция, похожа на реакцию пещерного человека на пролетевший самолёт 🙂

    2. Аноним:

      Молодец

  20. Аноним:

    Попробуйте увеличить радиус орбиты.

  21. Александр:

    А можно ли массу, например 100 тонн выстрелить электромагнитной пушкой в наземную или лучше, подземную трубу без воздуха как у Э. Маска, со скоростью 7841,5 км/с, которая идеально повторяет диаметр земли? И главное поймать и остановить эту массу через 5 тыс. километров электромагнитной ловушкой, и моментально передать 100% генерируемой энергии от ловушки к пушке для нового выстрела? (В этом мысленном эксперименте сверхпроводящие электромагниты пушки, ловушки, и соединяющий их сверхпроводящий кабель тоже расположены в вакууме трубы. Разряжение в трубе как у Э. Маска минус тысяча атмосфер). Каковы будут потери энергии на перемещение в трубе ледяных блоков по сто тонн (сцепленных в поезда из тысячи блоков) отправленных из северной вечной мерзлоты России в жаркие Африканские пустыни? Достаточно ли будет излишков генерируемой в ловушке электроэнергии для полного энерго-обеспечения платы, если для дополнительного разгона «выстрелов» пушки использовать природно возобновляемую потенциальную энергию северных льдов России спускаемых с возвышенностей более 400 метров?
    Достаточно ли одной трубы для озеленения нашей водой всего африканского континента? Можно ли утверждать что окупаемость строительства данной транспортно-энергетикой линии окупится за один-три дня, если в процессе строительства надёжной — много-оболочной вакуумной орбитальной трубы применить граниты с ближайших гор добываемые на высоте более 1000 метров и энергию их короткого спуска по левитационным трубам на постоянных магнитах как у Маска? Можно ли построить данную конструкцию за один год? Можно ли запускать поезда из этой трубы в космос?

    Если ответите, то бросьте ссылку на почту 89189078809 сАбака майл ру. Я пришлю свои расчёты и пояснения.

    1. Сергей Валерьевич:

      Вы, наверное, имели в виду И. Маска. Но уже в том, что Вы написали, содержится много ошибок. Взять хотя бы «разряжение в трубе как у Маска минус тысяча атмосфер». Это, вообще, что? Но мне интересно с какой целью Вы ставите все эти вопросы? Вы этим профессионально занимаетесь? Если да, расскажите, пожалуйста, о своей деятельности.

  22. Алла:

    4марта в Молдове мы утром рано видели нечто похожее на спутники Илона маска этого года но информации ноль.

  23. Аноним:

    Земля плоская и никто не вылетал за пределы купола над землёй!))

  24. Рита:

    если кому интересно почитайте книгу физака для всех Ландау, раздел Тяготение там все эты формулы есть и все описано))

Добавить комментарий для Сергей Валерьевич Cancel reply