Решение пробного (репетиционного) ЕГЭ по математике 2012 с репетитором

Автор

Воскресенье, 25 марта, 2012

Предлагаю вашему вниманию разбор репетиционного ЕГЭ по математике, прошедшего в школах России 17 марта 2012 года. Задания приведены с достаточно подробными решениями и комментариями, а также ссылками на необходимую теоретическую информацию. Используя все это каждый читатель при желании сможет разобраться во всех деталях и нюансах решения. Однако, как репетитор по математике, в педагогических целях предлагаю вам сперва решить каждое задание самостоятельно, а затем сравнить свое решение с тем, что приведено здесь. Статья получилась сложной и большой, так что (совет репетитора по математике) если хотите добраться до конца, придется набраться терпения, оно вам очень понадобится, как впрочем и всегда при качественном изучении математики.

Задача B1. На теплоходе находится 600 пассажиров и 20 членов экипажа. Сколько потребуется спасательных шлюпок, чтобы при необходимости можно было разместить в них всех пассажиров и членов экипажа, если вместимость одной спасательной шлюпки составляет 80 человек?

Решение задачи B1. Несложно посчитать, что всего на теплоходе находится 600+20 = 620 человек. Делим 620 на 80, получаем 7 и60 в остатке. Это означает, что потребуется 7 спасательных шлюпок, чтобы разместить в них 7\cdot 80=560 человек. Оставшиеся 60 человек разместятся в еще одной дополнительной спасательной шлюпке, которая будет заполнена не до конца. Всего, таким образом, потребуется 8 спасательных шлюпок. Ответ: 8.

Задача B2. На гистограмме изображена среднемесячная температура воздуха в течении года по месяцам. Горизонтальная ось соответствует месяцам года, вертикальная — среднемесячной температуре в градусах Цельсия. Определите количество месяцев, в которых средняя температура воздуха была отрицательной.
Репетиционный ЕГЭ по математике 2012 задача B2

Диаграмма среднемесячной температуры воздуха

Решение задачи B2. Положительной среднемесячной температуре воздуха на диаграмме соответствуют зеленые столбики (они целиком лежат выше синей линии, соответствующей нулю градусов Цельсия). Отрицательной среднемесячной температуре воздуха на диаграмме соответствуют красные столбики (они целиком лежат ниже синей линии, соответствующей нулю градусов Цельсия). Красных столбиков на диаграмме четыре, а значит количество месяцев с отрицательной среднемесячной температурой воздуха равно четырем. Ответ: 4.

Задача B3. Треугольник изображен на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см x 1 см. Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Репетиционное ЕГЭ по математике 2012 задача B3

Треугольник

Решение задачи B3. Формулы для вычисления площади треугольников приведены в этой статье. Из всего их многообразия в данной задаче удобно использовать вот эту: S = \frac{1}{2}ah (площадь треугольника S равна половине произведения его высоты h на основание a).

Основанием может служить любая сторона треугольника. В нашем примере в качестве основания удобно выбрать сторону AB, которая занимает 4 клеточки, а значит равна 4 см.

Высотой треугольника является перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую его основание. В данном случае это отрезок CH, который занимает 4 клеточки и равен поэтому 4 см.

Высота не обязана находится внутри треугольника.
В данном случае она расположена вне треугольника.

Итак, искомая площадь треугольника равна: S = \frac{1}{2}\cdot CH\cdot AB = = \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4 = 8 квадратных сантиметров. Ответ: 8.

Задача B4. В таблице приведены цены (в рублях) на некоторые продукты питания в трех городах Российской Федерации (данные на начало 2010 года). Определите, в каком городе покупка, состоящая из трех килограммов картофеля, одного килограмма сыра и трех литров подсолнечного масла, обойдется дешевле. В ответ стоимость соответствующей покупки (в рублях).
Репетиционное ЕГЭ по математике 2012 задача B4

Таблица стоимости продовольственных товаров

Решение задачи B4. Считаем стоимость такой покупки для каждого города в отдельности:

  • Барнаул: 3\cdot 16+260+3\cdot 50 = 458 руб.
  • Тверь: 3\cdot 9+240+3\cdot 38 = 381 руб.
  • Псков: 3\cdot 14+235+3\cdot 62 = 463 руб.

В Твери все это можно было купить в начале 2010 года за 381 руб. Ответ: 381.

Задача B5. Найдите корень уравнения \sqrt{3x-2}=5.

Решение задачи B5. Корень из какого числа равен 5? Очевидно, что из 25, поэтому 3x-2 = 25. Переносим -2 в правую часть уравнения, меняя при этом знак 3x = 25+2. Получаем, что 3x = 27. Какое число нужно умножить на 3, чтобы получилось 27? Очевидно, что 9. Ответ: 9.

Задача B6. Два угла вписанного в окружность четырех- угольника равны 52^0 и 95^0. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Репетиционное ЕГЭ по математике 2012 задача B6

Вписанный в окружность четырехугольник

Решение задачи B6. Существует теорема, согласно которой сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180^0. Это означает, что данные в условии углы в этом четырехугольнике не являются противоположными, так как их сумма 52^0 + 95^0 = = 147^0\ne 180^0. Тогда два оставшихся угла данного четырехугольника равны соответственно 180^0 - 52^0 = 128^0 и 180^0-95^0 = 85^0. Из них не сложно выбрать больший. Ответ: 128.

Задача B7. Найдите \sin\alpha, если \cos\alpha = -\frac{3\sqrt{11}}{10} и \alpha\in\left(\pi;\frac{3\pi}{2}\right).

Решение задачи B7. Используем основное тригонометрическое тождество: \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1, откуда получаем, что \sin^2 \alpha = \frac{1}{100}. Что нужно возвести в квадрат, чтобы получить \frac{1}{100}? Либо \frac{1}{10}, либо -\frac{1}{10}. То есть либо \sin \alpha = \frac{1}{10}, либо \sin\alpha=-\frac{1}{10}. Какой же ответ выбрать?

В условии дано, что угол \alpha\in\left(\pi;\frac{3\pi}{2}\right), то есть принадлежит третьей координатной четверти, где синус, как известно, отрицателен. То есть берем то, что с минусом. Ответ: -0,1.

Задача B8. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0.. Найдите значение производной функции f(x) в точке x_0.
Репетиционный ЕГЭ по математике 2012 задача B8

График функции и касательная к нему

Решение задачи B8. Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке численно равно тангенсу угла между касательной к функции в данной точке и положительным направлением оси OX. То есть требуется найти \operatorname{tg}\angle CAB в прямоугольном треугольнике ABC (см. рисунок).

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть в нашем случае \operatorname{tg}\angle CAB = \frac{BC}{AB} =\frac{4}{2} = 2. По знаку производная в данной точке положительна, поскольку в окрестности этой точки исходная функция возрастает (следствие из теоремы Лагранжа). Ответ: 2.

Задача B9. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD (S— вершина). Точка O — центр ее основания, SO = 40, AC = 60. Найдите боковое ребро SC.
Репетиционное ЕГЭ по математике 2012 задача B9

Правильная четырехугольная пирамида

Решение задачи B9. SO\perp AC. Действительно, поскольку SABCD — правильная пирамида, то ее боковые ребра равны, то есть SC = SA. Это означает, что ASC — равнобедренный треугольник. В нем SO является медианой, поскольку O — центр основания. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию является высотой, значит SO\perp AC.

OC = \frac{1}{2}AC = 30, так как O — центр основания пирамиды. Тогда из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника SOC получаем SC=\sqrt{OC^2+SO^2} = \sqrt{30^2+40^2} = 50. Ответ: 50.

Задача B10. В эксперименте симметричную монету подбрасывают трижды. Какова вероятность того, что решка выпадет ровно два раза?

Решение задачи B10. Подробно о том, как решаются задачи по теории вероятностей из ЕГЭ по математике, читайте в статье «Задачи на вероятность из ЕГЭ». Вероятность наступления случайного события определяется отношением числа благоприятных исходов к общему числу исходов эксперимента. Далее Р — выпадение решки, О — выпадение орла.

  • Благоприятных исходов эксперимента: РРО, РОР, ОРР — три.
  • Общее число исходов эксперимента: ООО, ООР, ОРО, РОО, ОРР, РРО, РОР, РРР — восемь.

Тогда искомая вероятность равна \frac{3}{8} = 0,375. Ответ: 0,375.

Задача B11. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если каждое ребро увеличить в 10 раз?

Решение задачи B11. Пусть начальная длина ребра куба была равна a, тогда площадь каждой грани была равна a^2 (площадь квадрата равна квадрату его стороны), а вся площадь поверхности куба — 6a^2, поскольку всего у куба шесть граней. После увеличения длина каждого ребра куба стала равна 10a, тогда площадь каждой грани стала равна (10a)^2 = 100 a^2, а вся площадь поверхности куба — 6\cdot 100a^2 = 600a^2.

Как определить во сколько раз увеличилась площадь поверхности куба? Очевидно, вычислив вот такое отношение: \frac{600a^2}{6a^2} = 100. То есть площадь поверхности куба увеличилась в 100 раз. Ответ: 100.

Задача B12. Работа, совершаемая при медленном опускании водолазного колокола на дно водоема, вычисляется по формуле: A = \alpha\nu T\log_2\frac{V_1}{V_2}, где \alpha = 7,9 — постоянная, T = 300 К — температура, V_1 = 10 л — начальный объем воздуха в колоколе, \nu = 3 моль — количество воздуха в колоколе. Определите до какого объема V_2 был сжат воздух в колоколе, если была совершена работа в 14220 Дж.

Решение задачи B12. Все сводится к подстановке в формулу численных значений и решению получившегося логарифмического уравнения. Более подробно о решении логарифмических уравнений и неравенств читайте в статье «Решение задач C3 ЕГЭ по математике — логарифмические уравнения и неравенства».

14220 = 7,9\cdot 3\cdot 300\log_2\frac{10}{V_2}\Leftrightarrow \log_2\frac{10}{V_2} = 2\Leftrightarrow

\frac{10}{V_2} = 4\Leftrightarrow V_2 =\frac{10}{4}=2,5  л. Ответ: 2,5.

Задача B13. Стоимость семи рубашек на 9% меньше, чем одной куртки. На сколько процентов стоимость одиннадцати рубашек больше стоимости куртки?

Решение задачи B13. Пусть x руб. — стоимость куртки, y руб. — стоимость рубашки, p — искомое количество процентов. Тогда в соответствии с условием имеет место следующая система:

    \[ \begin{cases} 7x = 0,91y, \\ 11x = y\cdot\frac{100+p}{100}.\end{cases} \]

Делением первого уравнения системы на второе получаем:

    \[ \frac{7}{11} = \frac{91}{100+p}\Leftrightarrow p = \frac{1001}{7}-100 = 43. \]

Ответ: 43.

Задача B14. Определите точку минимума функции y = (2x^2-16x+16)e^{28-x}.

Решение задачи B14. Действуем по алгоритму нахождения минимума/максимума функции одной переменной.

1. Находим производную функции. С правилами дифференцирования функций читатель может ознакомиться здесь.

    \[ y' = (2x^2-16x+16)'\cdot e^{28-x}+(2x^2-16x+16)\times \]

    \[ \times\left(e^{28-x}\right)'=(4x-16)\cdot e^{28-x} -(2x^2-16x+16)\times \]

    \[ \times e^{28-x} = e^{28-x}(20x-2x^2-32). \]

2. Приравниваем к нулю и ищем нули производной.

    \[ e^{28-x}(20x-2x^2-32) = 0. \]

Обе части уравнения можно разделить на -2e^{28-x}\ne 0.

    \[ x^2-10x+16 = 0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=2,\\x=8.\end{array}\right. \]

3. Наносим полученные точки на числовую прямую и определяем знаки производной функции на полученных промежутках.

Смотрим именно на производную функции, причем в том виде, в котором она была получена в пункте номер один!
Репетиционное ЕГЭ по математике 2012 задача B14

Знаки производной функции на полученных промежутках

Итак, в точке x=2 производная функции меняет свой знак с минуса на плюс, значит убывание исходной функции в этой точке сменяется ее возрастанием, то есть x=2 — точка минимума исходной функции. Ответ: 2.

Задача С1. 

а) Решите уравнение

    \[ -21\cos\left(\frac{4\pi}{67}\right)-20\sin\left(-\frac{36\pi}{31}\right)+ \]

    \[ +16^{\sin x - 0,25}-3\cdot 4^{\sin x-0,5}+1 = \]

    \[ -21\cos\left(\frac{4\pi}{67}\right)-20\sin\left(-\frac{36\pi}{31}\right). \]

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right].

Решение задачи C1. Прибавим к обеим частям уравнения выражение 21\cos\left(\frac{4\pi}{67}\right)+20\sin\left(-\frac{36\pi}{31}\right), далее упрощаем уравнение путем равносильных преобразований:

    \[ 16^{\sin x-0,25} -3\cdot 4^{\sin x-0,5}+1 = 0\Leftrightarrow \]

    \[ 4^{2\sin x-0,5}-3\cdot 4^{\sin x -0,5} + 1 =0\Leftrightarrow \]

    \[ \frac{1}{2}\cdot \left(4^{\sin x}\right)^2-\frac{3}{2}\cdot 4^{\sin x} + 1 = 0\Leftrightarrow \]

    \[ \left(4^{\sin x}\right)^2-3\cdot 4^{\sin x} + 2 = 0 \]

Используем замену переменной: t=4^{\sin x}. Получаем следующее уравнение:

    \[ t^2 - 3t +2 = 0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} t = 1, \\ t = 2.\end{array}\right. \]

Возвращаемся к исходной переменной:

    \[ \left[\begin{array}{l} 4^{\sin x} = 1, \\ 4^{\sin x} = 2 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 4^{\sin x} = 4^0, \\ 4^{\sin x} = 4^{\frac{1}{2}} \end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \sin x = 0, \\ \sin x = \frac{1}{2} \end{array}\right.\Leftrightarrow \]

    \[ \left[\begin{array}{l} x = \pi k, \\ (-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n. \end{array}\right. \]

б) Осуществляем отбор решений. Изображаем полученные серии ответов на числовой окружности и выбираем те ответы, которые принадлежат данному в условии промежутку: \left\{2\pi, \frac{13\pi}{6},\frac{17\pi}{6},3\pi\right\}.

Репетиционное ЕГЭ по математике от 17 марта 2012 года задача C1

Точки на единичной окружности соответствуют полученным решениям, интересующий нас промежуток отмечен красным цветом

Задача C2. В правильной четырехугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1 со стороной основания 4 и высотой 7 на ребре AA_1 взята точка M так, что AM = 2. На ребре BB_1 взята точка K так, что B_1K = 2. Найдите угол между плоскостью D_1MK и плоскостью CC_1D_1.

Решение задачи C2.

Репетиционное ЕГЭ по математике 2012 задача C2

Рисунок к задаче

Поскольку ABCDA_1B_1C_1D_1 — правильная пирамида, то CC_1D_1\parallel AA_1B_1, и искомый угол будет равен углу между плоскостями D_1MK и AA_1B_1. Угол между двумя плоскостями — это угол между перпендикулярами, проведенными в обеих плоскостях к линии их пересечения. Плоскости D_1MK и AA_1B_1 пересекаются по прямой MK. Проведем высоту D_1E в треугольнике D_1KM. Соединим точки A_1 и E.

Докажем, что A_1E\perp MK. Действительно, D_1E — наклонная к плоскости A_1B_1B, а A_1M — ее проекция на эту плоскость, так как D_1A_1\perp ABB_1 (призма правильная). Прямая MK лежит в плоскости ABB_1 и перпендикулярна наклонной D_1E по построению, а значит перпендикулярна и ее проекции A_1E по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах. Итак, A_1E\perp MK и D_1E\perp MK, следовательно, \angle A_1ED_1 — искомый угол между плоскостями.

Отрезок A_1M = AA_1-AM =5, отрезок KL = BB_1 - B_1K- -LB= 3. Из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника MKL находим MK = \sqrt{ML^2+KL^2} = \sqrt{4^2+3^2} = 5. То есть MK = A_1M = 5, значит треугольник A_1MK — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике высоты, проведенные к основаниям равны (доказательство этого утверждения в статье «Задачи на доказательство геометрических фактов из ГИА»). Значит A_1E=LM = 4. Тогда в прямоугольном треугольнике A_1D_1E катеты A_1M и A_1D_1 по 4, и он является равнобедренным. Значит искомый угол \angle A_1ED_1=45^0, так как это острый угол при основании равнобедренного прямоугольного треугольника.

Задача С3. Решите систему неравенств:

    \[ \begin{cases} -11x +3\cdot\operatorname{ln} 17+\log_x(\log_2 x+\log_4 x + \\ +1) \geqslant \frac{1}{\log_2 x}-11x+3\cdot\operatorname{ln} 17, \\ 10x-14\cdot \operatorname{ln} 17+3^x+3^{x+1}>4^x+ \\ +10x-14\cdot \operatorname{ln} 17.\end{cases} \]

Решение задачи C3. Исходная система эквивалента следующей:

    \[ \begin{cases} \log_x(\log_2 x+\log_4 x+1)\geqslant \frac{1}{\log_2 x}, \\ 3^x+3^{x+1}>4^x. \]

1. Решаем сперва второе неравенство системы:

    \[ 3^x+3\cdot 3^x>4^x\Leftrightarrow 4\cdot 3^x > 4^x\Leftrightarrow \]

    \[ 4>\left(\frac{4}{3}\right)^x\Leftrightarrow x<\log_{\frac{4}{3}} 4. \]

2. Решаем теперь первое неравенство. Область его допустимых значений определяется следующей системой:

    \[ \begin{cases}x>0, \\ x\ne 1,\\ \log_2 x+\log_4 x+1>0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x>0, \\ x\ne 1,\\ \log_2 x>-\frac{2}{3}\end{cases}\Leftrightarrow \]

    \[ \begin{cases}x>0, \\ x\ne 1,\\ x>\frac{1}{\sqrt[3]{4}}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x>\frac{1}{\sqrt[3]{4}}, \\ x\ne 1. \end{cases} \]

В области допустимых значений переходим к следующему равносильному неравенству:

    \[ \log_x\left(\frac{3}{2}\log_2 x+1\right)\geqslant \log_x 2\Leftrightarrow \]

    \[ \left[\begin{array}{l}\begin{cases}x>1, \\ \frac{3}{2}\log_2 x + 1\geqslant 2\end{cases} \\ \begin{cases} 0<x<1, \\ \frac{3}{2}\log_2 x+1\leqslant 2 \end{cases} \end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\begin{cases}x>1, \\ \log_2 x \geqslant \frac{2}{3}\end{cases} \\ \begin{cases} 0<x<1, \\ \log_2 x \leqslant \frac{2}{3} \end{cases} \end{array}\right. \]

    \[ \left[\begin{array}{l} \begin{cases}x>1, \\ x\geqslant \sqrt[3]{4}\end{cases} \\ \begin{cases} 0<x<1, \\ x\leqslant \sqrt[3]{4} \end{cases}\end{array}\right.\Leftrightarrow x\in(0;1)\cup(\sqrt[3]{4};+\mathcal{1}). \]

С учетом области допустимых значений: x\in\left(\frac{1}{\sqrt[3]{4}};1\right)\cup\left(\sqrt[3]{4};+\mathcal{1}).

С учетом, что \sqrt[3]{4} = \log_{\frac{4}{3}}\left(\frac{4}{3}\right)^{\sqrt[3]{4}}<\log_{\frac{4}{3}}\left(\frac{4}{3}\right)^2=\log_{\frac{4}{3}}\frac{16}{9}<\log_{\frac{4}{3}}4,комбинируя полученные в пунктах один и два ответы, находим окончательно:

    \[ x\in\left(\frac{1}{\sqrt[3]{4}};1\right)\cup\left(\sqrt[3]{4};\log_{\frac{4}{3}} 4\right). \]

Задача С4. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно 24. На одной из них взята точка С, а на другой точки А и В так, что треугольник АВС — остроугольный равнобедренный, и его боковая сторона равна 25. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

Решение задачи C4.

Решение репетиционного ЕГЭ по математике 17 марта 2012 года задача C4

Две возможные геометрические конфигурации к задаче

Возможны два случая (см. рисунок). Рассмотрим отдельно каждый.

1. В равнобедренном треугольнике ABC основанием служит сторона AB. В этом случае AB = 2HA=2\sqrt{BC^2-HC^2}, то есть AB = 14. Площадь треугольника в таком случае равна S = \frac{1}{2}AB\cdot CH = 168. Тогда радиус описанной окружности можно вычислить по формуле: R = \frac{abc}{4S} = \frac{4375}{336}=\frac{625}{48}.

2. В равнобедренном треугольнике ABC основанием является сторона BC. Тогда AH = \sqrt{AC^2-CH^2} = 7, кроме этого HB = AB-AH = 25-7 = 18, тогда BC = \sqrt{HC^2+HB^2}, то есть BD = 30. Площадь треугольника в таком случае равна S = \frac{1}{2}HC\cdot AB = 300. Тогда радиус описанной окружности равняется R = \frac{abc}{4S} = 15,625.

Задача C5. При каких значениях a уравнение |x+a^2|=|a+x^2| имеет ровно три корня?

Решение задачи C5. Исходное уравнение эквивалентно следующей совокупности:

    \[ \left[\begin{array}{l} x+a^2 = a+x^2, \\ x+a^2=-a-x^2 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x^2-x+a-a^2 =0, \\ x^2+x+a^2+a =0. \end{array}\right. \]

Выясним  сразу при каких значениях a возможны совпадения корней этих уравнений. Пусть x_0 — решение и того, и другого уравнения совокупности. Тогда имеет место система:

    \[ \begin{cases} x_0^2-x_0+a-a^2 = 0,\\ x_0^2+x_0+a^2+a = 0.\end{cases} \]

Вычитанием из первого уравнения второго получаем: x_0 = -a^2. Подставляя это в первое уравнение, получаем:

    \[ a^4+a = 0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} a=0, \\ a=-1. \end{array}\right. \]

Прямой подстановкой проверяем, что при этих значениях a исходное уравнение будет иметь три различных корня. Этот случай нам подходит. При всех остальных a решения уравнений совокупности будут различны.

Дискриминант первого уравнения равняется D_1 = 1-4a+4a^2. Дискриминант второго уравнения равняется D_2 = 1-4a-4a^2. Совокупность будет иметь три решения, если первое уравнение будет иметь два решения (его дискриминант был положителен), а второе при этом будет иметь одно решение (дискриминант был равен нулю), или наоборот. То есть имеет место следующая смешанная система:

    \[ \left[\begin{array}{l}\begin{cases} 1-4a+4a^2 = 0, \\ 1-4a-4a^2>0 \end{cases} \\ \begin{cases} 1-4a+4a^2>0, \\ 1-4a-4a^2 = 0 \end{cases}\end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\begin{cases} a = \frac{1}{2}, \\ 1-4a-4a^2>0 \end{cases} \\ \begin{cases} 1-4a+4a^2>0, \\ \left[\begin{array}{l}a = \frac{\sqrt{2}-1}{2}, \\ a = \frac{\sqrt{2}+1}{2}\end{array}\right.\end{cases}\end{array}\right.\Leftrightarrow \]

    \[ \left[\begin{array}{l}a = \frac{\sqrt{2}-1}{2}, \\ a = \frac{-\sqrt{2}-1}{2}.\end{array} \]

Окончательный ответ: a=\left\{-1, 0, \frac{\sqrt{2}-1}{2}, \frac{-\sqrt{2}-1}{2}\right\}.

Задача С6. Имеется последовательность, состоящая из натуральных чисел. Каждый ее член отличается от предыдущего или в 7 раз, или на 10. Сумма всех членов равна 163.

Определите:

  • наименьшее количество членов такой последовательности;
  • наибольшее количество членов такой последовательности.

Решение задачи C6.

1. Из двух членов такая последовательность состоять не может. Действительно, если предположить обратное и обозначить один из членов за x, то второй член равен либо x+10, либо 7x. Тогда сумма членов такой последовательности равна либо 8x = 163, либо 2x+10 = 163. Ни в том, ни в другом случае натуральным x не получается.

А вот три члена в такой последовательности быть может: x+x-10+7 (x-10)=163, откуда получаем x = 27, а сама последовательность такова: 27, 17, 119. Итак, минимальное количество членов такой последовательности равно 3.

2. Если составлять последовательность из как можно большего числа членов, то каждый из них должен быть как можно меньше. Проанализировав некоторые возможные варианты, получаем, что данная последовательность должна быть следующего вида:

    \[ \underbrace {7,1,7,1,\cdots 7,1}_{19\,\operatorname{pairs}}, 11. \]

Ее сумма равняется (7+1)\cdot 19+11 = 163, а количество членов равно 2\cdot 19+1 =39. Итак, наибольшее количество членов данной последовательности равно 39.

На этом все. Мои поздравления, если вы смогли добраться до конца, это уже маленькая победа. Задавайте свои вопросы в комментариях, учите математику и не только, подписывайтесь на обновления. Желаю вам блестящих результатов на экзаменах!

Репетитор по математике в Москве
Сергей Валерьевич

Способность учиться быстрее, чем ваши конкуренты, может дать вам устойчивое конкурентное преимущество.
© Ари де Гиус

Метки: ,
Опубликовано в категории Методическая копилка | 5 комментариев »

Комментарии

  1. Солнцек*:
    06.06.2012 в 08:36

    Спасибо Вам большое Вы мне очень-очень помогли!!!

    Ответить
    1. Sergey Seliverstov:
      06.06.2012 в 09:35

      You’re welcome. Рад помочь, обращайтесь:-)

      Ответить
  2. Вероника:
    08.06.2012 в 18:35

    Спасибо Вам большое) Очень помогло)))

    Ответить
  3. Иван:
    27.06.2012 в 09:28

    Здравствуйте. Подскажите пожалуйста в задании С4 в первом варианте реешения как так у вас АВ=14? когда судя по расчётам из данных задачи и формуле расчёта АВ , сторона АВ = 69,3 …

    Ответить
    1. Sergey Seliverstov:
      27.06.2012 в 19:57

      Рисунок поменял, а текст старый остался, сейчас все опечатки убраны.

      Ответить

Добавить комментарий