Задачи на вероятность из ЕГЭ

С 2012 года организаторы ЕГЭ по математике решили внести в него дополнительное новшество. Задачи B10 отныне будут посвящены вычислению вероятностей случайных событий. При том, что выполнение этих заданий требует наличия у учеников самых элементарных знаний из области теории вероятностей, у многих старшеклассников решение этих задач вызывает серьезные затруднения. Что же нужно знать и уметь школьнику для расчета вероятностей случайных событий? Разберем несколько примеров, которые были в пробной диагностической работе по математике, прошедшей в московских школах 7 декабря 2011 года.

Решение таких задач основывается на следующих теоретических фактах:

• Случайным называется событие, исход которого невозможно точно предсказать заранее (подбрасывание монеты, игральной кости, выигрыш лотерейного билета и т. п.).
• Вероятность случайного события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов события (к примеру, вероятность того, что при подбрасывании монеты выпадет «орел», равна 1/2. Действительно, событие является случайным, общее число исходов равно 2, так как может выпасть либо «орел», либо «решка», число благоприятных исходов равно 1. Тогда искомая вероятность по определению равна 1/2).
• Вероятность события не может быть больше 1 (число благоприятных исходов, понятно, не может превышать общее число исходов события).
• Два события называются независимыми, если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий (теорема об умножении вероятностей).
• Два события называются несовместными, если они не могут появиться одновременно в результате однократного проведения случайного эксперимента. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий (теорема о сложении вероятностей).

Пример 1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 3 очка. Результат округлите до сотых.

Решение:

Всего возможных исходов эксперимента:

• на первом кубике выпадает число 1, на втором — 1 или 2, или 3, или 4, или 5, или 6 — шесть вариантов;
• на первом кубике выпадает число 2, на втором — 1 или 2, или 3, или 4, или 5, или 6 — шесть вариантов;
• и так далее…
• на первом кубике выпадает число 6, на втором — 1 или 2, или 3, или 4, или 5, или 6 — шесть вариантов.

Итого, 36 возможных исходов.

Всего благоприятных исходов эксперимента (то есть, что в сумме выпадет 3 очка):

• на первом кубике выпадает число 1, на втором — 2 — один вариант;
• на первом кубике выпадает число 2, на втором — 1 — один вариант.

Итого, 2 благоприятных исхода.

Факт выпадения того или иного числа на кубиках является случайным событием, следовательно, искомая вероятность определяется отношением числа благоприятных исходов к общему числу исходов эксперимента: 2/36 = 0,0(5) ≈ 0,06 (с учетом округления до сотых). Ответ: 0,06.

Пример 2. В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по 2 рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублевые монеты лежат в одном кармане.

Решение:

Вероятность того, что среди трех наугад взятых Петей монет не будет ни одной монеты по 2 рубля, равна 4/6 · 3/5 · 2/4 = 1/5 (действительно, берем монеты по одной: сначала из шести 6 вариантов подходит 4, далее из 5 вариантов подходит 3, далее из 4 вариантов подходит 2; все эти независимые события должны быть реализованы вместе, значит общая вероятность определяется произведением вероятностей каждого из событий).

Вероятность того, что среди трех наугад взятых Петей монет будет две монеты по 2 рубля, равна 2/6 · 1/5 · 4/4 + 4/6 · 2/5 · 1/4 + 2/6 · 4/5 · 1/4 = 1/5 (рассуждения аналогичны предыдущим, сложение появляется за счет того, что рассматриваемые события являются несовместными).

Первое и второе события являются несовместными, поскольку не могут быть реализованы одновременно. По теореме о сложении вероятностей искомая вероятность равняется сумме вероятностей каждого события: 1/5 + 1/5 = 2/5 = 0,4. Ответ: 0,4.

Пример 3. В чемпионате по гимнастике участвуют 76 спортсменок: 30 из России, 27 из Украины, остальные — из Белоруссии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Белоруссии.

Решение: выбор спортсменки, выступающей первой, определяется жребием, поэтому его можно считать случайным событием. В нашем случае число благоприятных исходов этого события равно 76 — 30 — 27 = 19 (число спортсменок, выступающих за Белоруссию). Общее число возможных исходов события равно 76 (общее число спортсменок, участвующих в чемпионате). Вероятность случайного события — это отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов события, в нашем случае она равняется 19/76 = 0,25. Ответ: 0,25.

Современный человек должен быть знаком с основами теории вероятностей. Решение о введении в экзамен задач на вычисление вероятности событий кажется поэтому вполне оправданным. Но бояться этих заданий не стоит, успех в сдаче ЕГЭ зависит от качества подготовки ученика, а это уже напрямую зависит от преподавателя.

Репетитор по математике в Тропарёво
Сергей Валерьевич