Подробное решение задачи C4 из ЕГЭ по математике

Автор

Понедельник, 5 марта, 2012

Сегодня мы с вами разберем всего-навсего одну задачку (задание C4 из второго варианта диагностической работы по математике №3 от 1 марта 2011 года), но сделаем это очень подробно, так чтобы в решении при желании мог разобраться даже тот читатель, чье изучение геометрии завершилось в 7-ом классе после прочтения обложки к учебнику Атанасяна. В тексте статьи будет множество отступлений, освящающих затрагиваемые в решении теоретические факты из геометрии, будет проделан полный разбор всех возможных геометрических конфигураций и вариантов решения задачи. Статья получится большая и сложная, так что если хотите добраться до конца, наберитесь терпения, оно вам понадобится. Итак, приступим.

Задача. Площадь трапеции ABCD равна 810. Диагонали пересекаются в точке O. Отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями в точках M и N. Найдите площадь треугольника MON, если одно из оснований трапеции вдвое больше другого.

Трапецией называют четырехугольник, у которого две стороны параллельны (эти стороны называются основаниями трапеции), а две другие стороны не параллельны (эти стороны называются боковыми сторонами трапеции).

Трапеция с высотой и средней линией

Трапеция общего вида

Решение.

Формулы для вычисления площади трапеции

  • Если a и b — основания трапеции, а h — высота трапеции, то ее площадь можно вычислить как произведение полусуммы оснований на высоту:

        \[ S = \frac{1}{2}(a+b)h. \]

  • Если m — средняя линия трапеции (линия, соединяющая середины боковых сторон трапеции), а h — высота трапеции, то площадь трапеции можно вычислить по формуле:

        \[ S = m h. \]

  • Если трапеция является равнобедренной (боковые стороны равны), то в нее можно вписать окружность. Если r — радиус вписанной окружности, α — угол при основании трапеции, то площадь трапеции определяется по формуле: 

        \[ S =\frac{4r^2}{\sin{\alpha}}. \]

Пусть основания трапеции равны a и 2a, высота трапеции равна h. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, то есть:

    \[ S = \frac{1}{2}(a+b)h = \frac{3}{2}ah = 810\Leftrightarrow ah = 540. \]

Рассмотрим два возможных случая:

I. Точка P лежит на большем основании трапеции

Трапеция первая конфигурация

Первая возможная геометрическая конфигурация

Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

Признаки равенства треугольников

  • Первый признак (по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
  • Второй признак (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
  • Третий признак (по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Треугольники AMP и BMC равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (AP = BC по условию, ∠PAM = ∠BCM, так как являются накрест лежащими при параллельных прямых BC, AD и секущей AC, ∠APM = ∠CBM, в силу того, что являются накрест лежащими при параллельных прямых BC, AD и секущей BP). Из этого следует, что BM = MP. Аналогично доказывается, что CN = NP, а это означает, что MN — средняя линия треугольника BPC, поэтому:

    \[ MN = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}. \]

Две прямые и секущая

c — секущая к прямым a и b

На рисунке прямая c является секущей по отношению к прямым a и b, поскольку она пересекает их в двух точках.

  • Углы 3 и 5, 4 и 6 — накрест лежащие углы.
  • Углы 4 и 5, 3 и 6 — односторонние углы.
  • Углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 — соответственные углы.

Признаки и свойства параллельности двух прямых

  • Про накрест лежащие углы. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Верно и обратное.
  • Про соответственные углы. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Верно и обратное.
  • Про односторонние углы. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 1800, то прямые параллельны. Верно и обратное.

Треугольники BOC и AOD подобны по двум углам (∠OAD = ∠OCB, так как являются накрест лежащими при параллельных прямых BC, AD и секущей AC, ∠OBC = ∠ODA, в силу того, что являются накрест лежащими при параллельных прямых BC, AD и секущей BD), коэффициент подобия:

    \[ \frac{BC}{AD} = \frac{1}{2}. \]

Это означает, что таким же образом относятся и высоты этих треугольников h1 и h2:

    \[ \frac{h_1}{h_2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow h_2 = 2h_1, \]

а с учетом того, что h1 + h2 = h получаем, что:

    \[ h_1 + 2h_1 = 3h_1 = h\Leftrightarrow \frac{h_1}{h} = \frac{1}{3}. \]

Треугольники ABC и A1B1C1 называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого:

    \[ \angle A = \angle A_1,\, \angle B = \angle B_1,\, \angle C = \angle C_1, \]

    \[ \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{CA}{C_1A_1}=k. \]

Число k, равное отношению сходственных сторон треугольника, называется коэффициентом подобия.

Признаки подобия треугольников

  • Первый признак подобия (по двум углам). Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
  • Второй признак подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
  • Третий признак подобия (по трем пропорциональным сторонам). Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Тогда площадь треугольника BOC равна:

    \[ S_{BOC} = \frac{1}{2} ah_1 = \frac{1}{6}ah = \frac{1}{5}\cdot 540 = 90. \]

Прямая, содержащая в себе отрезок MN, параллельна BC, поскольку MN — средняя линия треугольника BPC. Треугольники OMN и BOC подобны по двум углам (∠CBO = ∠ONM, так как являются накрест лежащими при параллельных BC, MN и секущей BN, ∠BCO = ∠OMN, в силу того, что являются накрест лежащими при параллельных BC, MN и секущей CM), коэффициент подобия равен:

    \[ \frac{MN}{BC} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}. \]

Значит площади треугольников OMN и BOC относятся как квадрат их коэффициента подобия, то есть:

    \[ \frac{S_{OMN}}{S_{BOC}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\Leftrightarrow \]

    \[ S_{OMN} = \frac{1}{4} S_{BOC} = \frac{1}{4}\cdot 90 = 22,5. \]

II. Пусть теперь точка P лежит на меньшем основании

Трапеция второй рисунок

Вторая возможная геометрическая конфигурация

Треугольники AMP и MCB подобны по двум углам (∠MAP = ∠MCB, так как являются накрест лежащими при параллельных прямых BC, AD и секущей AC, ∠AMP = ∠BMC, так как являются вертикальными углами), коэффициент подобия:

    \[ \frac{AP}{BC} = \frac{a}{4a} = \frac{1}{4}. \]

Вертикальными углами называют пару углов с общей вершиной, образуемых при пересечении двух прямых так, что стороны одного угла являются продолжением сторон другого.

Это значит, что имеет место равенство:

    \[ \frac{MP}{MB} = \frac{1}{4}\, (1) \]

Аналогично доказывается, что:

    \[ \frac{PN}{NC} = \frac{1}{4}\,(2) \]

Треугольники PMN и PBC подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (соотношения (1) и (2), ∠BPC — общий), коэффициент подобия треугольников:

    \[ \frac{PN}{PC} = \frac{PN}{PN+NC} = \frac{1}{1+\frac{NC}{PN}} = \frac{1}{5}. \]

Это означает, что:

    \[ \frac{MN}{BC} = \frac{1}{5}\Leftrightarrow MN = \frac{1}{5}BC = \frac{2}{5}a. \]

Треугольники BOC и AOD подобны по двум углам (∠OAD = ∠OCB, так как являются накрест лежащими при параллельных прямых BC, AD и секущей AC, ∠OBC = ∠ODA, поскольку являются накрест лежащими при параллельных прямых BC, AD и секущей BD), коэффициент подобия:

    \[ \frac{AD}{BC} = \frac{1}{2}. \]

Это значит, что таким же образом относятся и их высоты (h1 — высота треугольника AOD, h2 — высота треугольника BOC):

    \[ \frac{h_1}{h_2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow h_2 = 2h_1, \]

а с учетом того, что h1 + h2 = h получаем, что:

    \[ \frac{1}{2}\h_2 + h_2 = \frac{3}{2}h_2 = h\Leftrightarrow \frac{h_2}{h} = \frac{2}{3}. \]

Если отметить на плоскости три точки, не лежащие на одной прямой, и соединить эти точки отрезками, то полученная геометрическая фигура будет называться треугольником.

Треугольник с вписанной, описанной окружностями и высотой

Треугольник, высота, описанная вокруг него окружность, вписанная в него окружность

Формулы для вычисления площади треугольника

Введем обозначения:

  • a, b, c — стороны треугольника.
  • γ — угол, образованный сторонами a и b треугольника.
  • ha — высота треугольника, опушенная к стороне a.
  • p — полупериметр, (полусумма всех сторон треугольника).
  • R — радиус окружности, описанной около треугольника (окружности, проходящей через все вершины треугольника).
  • r — радиус окружности, вписанной в треугольник (окружности, которая находится внутри треугольника и касается всех его сторон).

Площадь треугольника выражается следующими формулами:

  • Половина произведения высоты на строну, к которой эта сторона проведена:

        \[ S = \frac{1}{2}ah_a. \]

  • Формула Герона: 

        \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}. \]

  • Половина произведения сторон на синус угла между ними:

        \[ S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma. \]

  • Произведение полупериметра на радиус вписанной окружности:

        \[ S = pr. \]

  • Площадь через радиус описанной окружности: 

        \[ S = \frac{abc}{4R}. \]

Тогда площадь треугольника BOC равна:

    \[ S_{BOC} = \frac{1}{2}\cdot 2ah_2 = \frac{2}{3}ah = \frac{2}{3}\cdot 540 = 360. \]

У подобных треугольников соответствующие углы равны, а значит, рассматривая опять подобные треугольники PMN и PBC, находим, что ∠MNP = ∠BCP. Но эти углы являются соответствующими при прямых MN, BC и секущей PC. Их равенство означает, что прямая, содержащая в себе отрезок MN, параллельна прямой, содержащей в себе отрезок BC.

Треугольники MON и OBC подобны по двум углам (∠MNO = ∠OBC, так как это накрест лежащие углы при параллельных прямых BC, MN и секущей BN, ∠MON = ∠BOC как вертикальные), коэффициент подобия:

    \[ \frac{MN}{BC} = \frac{2a}{5\cdot 2a} = \frac{1}{5}. \]

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому:

    \[ \frac{S_{OMN}}{S_{BOC}} = \left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{1}{25}\Leftrightarrow \]

    \[ S_{OMN} = \frac{1}{25} S_{BOC} = \frac{1}{25}\cdot 360 = 14,4. \]

Ответ: 22,5 или 14,4.

Если вы добрались до этого места, не запутавшись в веренице гиперссылок и авторских отступлений, и что-нибудь для себя прояснилось или стало понятнее, могу вас поздравить, а вместе с вами и себя, ведь в этом и состояла моя цель. Учите математику, решайте задачи, помните, что это единственный способ подготовиться и успешно сдать предстоящие экзамены. Будьте настойчивы, требовательны к себе, и у вас все получится. Самым верным помощником в этом нелегком деле для вас непременно станет опытный профессиональный репетитор. Желаю вам успехов в подготовке и блестящих результатов на экзамене.

Репетитор по математике в Тропарёво
Сергей Валерьевич

Марк Аврелий
«Размышления» («Наедине с собой»)
Книга первая 

От Вера, моего деда, я унаследовал сердечность и незлобивость.

От славы моего родителя и оставленной им по себе памяти — скромность и мужественность.

От матери — благочестие, щедрость, воздержание не только от дурных дел, но и дурных помыслов. А также — простоту образа жизни, далекую от всякой роскоши.

От прадеда — то, что не пришлось посещать публичных школ; я пользовался услугами прекрасных учителей на дому и понял, что на это стоит потратиться.

Метки: , ,
Опубликовано в категории Методическая копилка | 3 комментария »

Комментарии

  1. зинаида:
    29.05.2012 в 00:52

    спасибо за полную теорию для повторения не лишне иотличное решение задачи обязательно решать два способа?

    Ответить
    1. Sergey Seliverstov:
      29.05.2012 в 08:55

      Да, если вы хотите получить максимальный балл за это задание на ЕГЭ.Если не будет разбора второго случая, пару баллов могут скинуть. Так что лучше сделать, тем более это не сложно, если уже разобран первый случай.

      Ответить
  2. Алёна:
    02.07.2018 в 11:41

    Помогите пожалуйста решить задачу…!!!! Дан треугольник ABC, AB = 6, BC = 7, AC = 8. Найти медиану AM.

    Ответить

Добавить комментарий