Логарифмические уравнения и неравенства

Суббота, 18 февраля, 2012

Логарифмическим уравнениям и неравенствам в вариантах ЕГЭ по математике посвящена задача C3. Научиться решать задания C3 из ЕГЭ по математике должен каждый ученик, если он хочет сдать предстоящий экзамен на «хорошо» или «отлично». В данной статье представлен краткий обзор часто встречающихся логарифмических уравнений и неравенств, а также основных методов их решения.

Итак, разберем сегодня несколько примеров логарифмических уравнений и неравенств, которые предлагались учащимся в вариантах ЕГЭ по математике прошлых лет. Но начнет с краткого изложение основных теоретических моментов, которые нам понадобятся для их решения.

Логарифмическая функция

Определение

Функцию вида

$y=\log_{\,a} x,\, a>0,\, a\ne 1$

называют логарифмической функцией.

Основные свойства

Основные свойства логарифмической функции y = log_a x:

	a > 1	0 < a < 1
Область определения	D(f) = (0; +∞)	D(f) = (0; +∞)
Область значений	E(f) = (-∞; +∞)	E(f) = (-∞; +∞)
Монотонность	Возрастает на (0; +∞)	Убывает на (0; +∞)
Непрерывность	Непрерывная	Непрерывная
Выпуклость	Выпукла вверх	Выпукла вниз

График логарифмической функции

Графиком логарифмической функции является логарифмическая кривая:

Свойства логарифмов

• Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел:

$\log_a bc = \log_a b + \log_a c,\, a>0,\, b>0,\, c>0,\, a\ne 1.$

• Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел:

$\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c,\, a>0,\, b>0,\, c>0,\, a\ne 1.$

• Если a и b — положительные числа, причем a ≠ 1, то для любого числа r справедливо равенство:

$\log_a b^r = r\log_a b,\, a>0,\, b>0,\, a\ne 1.$

• Равенство log _at = log _as, где a > 0, a ≠ 1, t > 0, s > 0, справедливо тогда и только тогда, когда t = s.

• Если a, b, c — положительные числа, причем a и c отличны от единицы, то имеет место равенство (формула перехода к новому основанию логарифма):

$\operatorname{log}_a b = \frac{\operatorname{log}_c b}{\operatorname{log}_c a},\, a>0,\, b>0,\, c>0,\, a\ne 1,\, c\ne 1.$

Теорема 1. Если f(x) > 0 и g(x) > 0, то логарифмическое уравнение log _a f(x) = log _a g(x) (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f(x) = g(x).

Решение логарифмических уравнений и неравенств

Пример 1. Решите уравнение:

$\lg(x^2-6) = \lg(8+5x).$

Решение. В область допустимых значений входят только те x, при которых выражение, находящееся под знаком логарифма, больше нуля. Эти значения определяются следующей системой неравенств:

$\begin{cases} x^2-6>0, \\ 8+5x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2 > 6, \\ x>-1,6. \end{cases} \Leftrightarrow$

$\begin{cases} x\in(-\mathcal{1};-\sqrt{6})\cup(\sqrt{6};+\mathcal{1}), \\ x\in (-1,6;+\mathcal{1}). \end{cases}$

С учетом того, что

$-1,6 = -\sqrt{2,56}> -\sqrt{6},$

получаем промежуток, определяющий область допустимых значений данного логарифмического уравнения:

$x\in(\sqrt{6};+\mathcal{1}).$

На основании теоремы 1, все условия которой здесь выполнены, переходим к следующему равносильному квадратичному уравнению:

$x^2-6 = 8 + 5x\Leftrightarrow x^2-5x-14=0\Leftrightarrow$

$x_1 = 7,\, x_2 = -2.$

В область допустимых значений входит только первый корень.

Ответ: x = 7.

Пример 2. Решите уравнение:

$\log_{0,2}(-x^2+4x+5)=\log_{0,2}(-x-31).$

Решение. Область допустимых значений уравнения определяется системой неравенств:

$\begin{cases} -x^2+4x+5>0, \\ -x-31>0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} -1<x<5, \\ x<-31. \end{cases}$

Очевидно, что эти два условия противоречат друг другу. То есть нет ни одного такого значения x, при котором одновременно выполнялись бы оба неравенства. Область допустимых значений уравнения является пустым множеством, а значит решений у данного логарифмического уравнения нет.

Ответ: корней нет.

Обратите внимание, что в этом задании нам вообще не пришлось искать корни уравнения. Достаточно оказалось определить, что его область допустимых значений не содержит ни одного действительно числа. Это одно из преимуществ такой последовательности решения логарифмических уравнений и неравенств (начинать с определения области допустимых значений уравнения, а затем решать его путем равносильных преобразований).

Примет 3. Решите уравнение:

$3\log_{\frac{1}{2}}^2 x +5\log_{\frac{1}{2}} x - 2=0.$

Решение. Область допустимых значений уравнения определяется здесь легко: x > 0.

Используем подстановку:

$t = \log_{\frac{1}{2}} x.$

Уравнение принимает вид:

$3t^2 + 5t -2 = 0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} t_1= \frac{1}{3},\\ t_2=-2.\end{array}\right.$

Обратная подстановка:

$\left[\begin{array}{l} \log_{\frac{1}{2}} x = \frac{1}{3}, \\ \log_{\frac{1}{2}} x = -2\end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}, \\ x = 4. \end{array}\right.$

Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения, поскольку являются положительными числами.

Пример 4. Решите уравнение:

$\log_{0,4}(x+2)+\log_{0,4}(x+3)=\log_{0,4}(1-x).$

Решение. Вновь начнем решение с определения области допустимых значений уравнения. Она определяется следующей системой неравенств:

$\begin{cases} x+2>0, \\ x+3>0, \\ 1-x>0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x>-2, \\ x>-3, \\ x<1\end{cases}\Leftrightarrow x\in(-2; 1).$

Воспользовавшись правилом сложения логарифмов, переходим к равносильному в области допустимых значений уравнению:

$\log_{0,4}(x+2)(x+3)=\log_{0,4}(1-x)\Rightarrow$

Основания логарифмов одинаковы, поэтому в области допустимых значений можно перейти к следующему квадратному уравнению:

$(x+2)(x+3) = (1-x)\Leftrightarrow x^2+6x+5 = 0\Leftrightarrow$

$\left[\begin{array}{l}x_1 =-5, \\ x_2 = -1.\end{array}$

Первый корень не входит в область допустимых значений уравнения, второй — входит.

Ответ: x = -1.

Пример 5. Решите уравнение:

$x^{\log_3 x} = 81.$

Решение. Будем искать решения в промежутке x > 0, x≠1. Преобразуем уравнение к равносильному:

$x^{\log_3 x} = x^{\log_x 81}\Leftrightarrow x^{\log_3 x} = x^{\frac{4}{\log_3 x}}\Leftrightarrow$

$\log_3^2 x = 4\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \log_3 x = 2, \\ \log_3 x = -2 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 9,\\ x =\frac{1}{9}. \end{array}\right.$

Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения.

Пример 6. Решите уравнение:

$\log_4(x+12)\cdot \log_x 2 = 1.$

Решение. Система неравенств, определяющая область допустимых значений уравнения, имеет на этот раз вид:

$\begin{cases} x+12 > 0, \\ x>0, \\ x\ne 1 \end{cases}\Leftrightarrow x>0,\, x\ne 1.$

Используя свойства логарифма, преобразуем уравнение к равносильному в области допустимых значений уравнению:

$\frac{\log_2(x+12)}{2\log_2 x} = 1.$

Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, получаем:

$\log_x(x+12) = 2 \Rightarrow x^2-x-12 = 0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x_1=4, \\ x_2 = -3. \end{array}\right.$

В область допустимых значений входит только один ответ: x = 4.

Перейдем теперь к логарифмическим неравенствам. Это как раз то, с чем вам придется иметь дело на ЕГЭ по математике. Для решения дальнейших примеров нам потребуется следующая теорема:

Теорема 2. Если f(x) > 0 и g(x) > 0, то:
при a > 1 логарифмическое неравенство log _a f(x) > log _a g(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x) > g(x);
при 0 < a < 1 логарифмическое неравенство log _a f(x) > log _a g(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x) < g(x).

Пример 7. Решите неравенство:

$\log_{0,5}(x^2+x-6)\geqslant \log_{0,5}(x+4).$

Решение. Начнем с определения области допустимых значений неравенства. Выражение, стоящее под знаком логарифмической функции, должно принимать только положительные значения. Это значит, что искомая область допустимых значений определяется следующей системой неравенств:

$\begin{cases} x^2+x-6>0, \\ x+4>0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x\in(-\mathcal{1};-3)\cup(2;+\mathcal{1}), \\ x>-4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow x\in(-4;-3)\cup(2;+\mathcal{1}).$

Так как в основании логарифма стоит число, меньшее единицы, соответствующая логарифмическая функция будет убывающей, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему квадратичному неравенству:

$x^2+x-6\leqslant x+4\Leftrightarrow x^2\leqslant 10\Leftrightarrow x\in[-\sqrt{10};\sqrt{10}].$

Окончательно, с учетом области допустимых значений получаем ответ:

$x\in[-\sqrt{10}; -3)\cup(2;\sqrt{10}].$

Пример 8. Решите неравенство:

$11\cdot \log_9(x^2-12x+27)\leqslant 12+\log_9\frac{(x-9)^{11}}{x-3}.$

Решение. Вновь начнем с определения области допустимых значений:

$\begin{cases} x^2-12x+27>0, \\ \frac{(x-9)^{11}}{x-3}>0 \end{cases}\Leftrightarrow x\in(-\mathcal{1};3)\cup(9;+\mathcal{1}).$

На множестве допустимых значений неравенства проводим равносильные преобразования:

$11\cdot \log_9(x-9)(x-3)-\log_9\frac{(x-9)^{11}}{x-3}\leqslant 12$

$\log_9\left[(x-9)^{11}(x-3)^{11}\right]-\log_9\frac{(x-9)^{11}}{x-3}\leqslant 12$

$\log_9\frac{(x-3)^{12}(x-9)^{11}}{(x-9)^{11}}\leqslant \log_9 9^{12}.$

После сокращения и перехода к равносильному по теореме 2 неравенству получаем:

$(x-3)^{12}\leqslant 9^{12}\Leftrightarrow -9\leqslant x-3 \leqslant 9\Leftrightarrow x\in[-6;12].$

С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:

$x \in [-6;3)\cup(9;12].$

Пример 9. Решите логарифмическое неравенство:

$\log_{x+1}(x^3+3x^2+2x)<2.$

Решение. Область допустимых значений неравенства определяется следующей системой:

$\begin{cases} x+1>0, \\ x+1\ne 1,\\ x(x+1)(x+2)>0 \end{cases}\Leftrightarrow x\in (0;+\mathcal{1}).$

Видно, что в области допустимых значений выражение, стоящее в основании логарифма, всегда больше единицы, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему неравенству:

$x^3+3x^2+2x<x^2+2x+1\Leftrightarrow x^3+2x^2-1<0\Leftrightarrow$

$(x+1)(x^2+x-1)<0\Leftrightarrow$

$x\in\left(-\mathcal{1};-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\cup\left(-1;\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right).$

С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:

$x\in\left(0;\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right).$

Пример 10. Решите неравенство:

$\frac{2\log_3(x^2-4x)}{\log_3 x^2}\leqslant 1.$

Решение.

Область допустимых значений неравенства определяется системой неравенств:

$\begin{cases} x^2-4x>0, \\ x^2>0, \\ x^2\ne 1 \end{cases}\Leftrightarrow x\in(-\mathcal{1};-1)\cup(-1;0)\cup(4;+\mathcal{1}).$

I способ. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма и перейдем к равносильному в области допустимых значений неравенству:

$\log_{x^2}(x^2-4x)^2\leqslant 1.$

Неравенство будет равносильно двум системам. Первой:

$\begin{cases} x\in(-1;0), \\ (x^2-4x)^2\geqslant x^2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x\in(-1;0), \\ x^2(x-5)(x-3)\geqslant 0 \end{cases}\Leftrightarrow$

$x\in (-1;0).$

И второй:

$\begin{cases}x\in(-\mathcal{1};-1)\cup(4;+\mathcal{1}), \\ x^2(x-5)(x-3)\leqslant 0 \end{cases}\Leftrightarrow x\in(4; 5].$

Итак, окончательный ответ:

$x\in(-1;0)\cup(4;5].$

II способ. Решаем методом интервалов. Преобразуем неравенство к виду:

$\frac{2\log_3(x^2-4x)-\log_3 x^2}{\log_3 x^2}\leqslant 0\Leftrightarrow$

Вычтем из знаменателя $\log_3 1.$ Это ничего не изменит, поскольку $\log_3 1 = 0.$

$\frac{\log_3(x^2-4x)^2-\log_3 x^2}{\log_3 x^2-\log_3 1}\leqslant 0$

С учетом того, что выражения $\log_3 f - \log_3 g$ и $f-g$ — одного знака при $f,\,g>0,$ в области допустимых значений имеет место следующий равносильный переход:

$\frac{(x^2-4x)^2-x^2}{x^2-1}\leqslant 0\Leftrightarrow$

$\frac{(x^2-5x)(x^2-3x)}{x^2-1}\leqslant 0.$

Множество решений данного неравенства

Итак, $x\in(-1;1)\cup [3;5],$ а с учетом области допустимых значений получаем тот же результат: $x\in(-1;0)\cup (4;5].$

Итак, что нужно для того, чтобы решать логарифмические уравнения и неравенства?

Во-первых, внимание. Не допускайте ошибок в проводимых преобразованиях. Следите за тем, чтобы каждое ваше действие не расширяло и не сужало область допустимых значений неравенства, то есть не приводило ни к потере, ни к приобретению посторонних решений.
Во-вторых, умение мыслить логически. Составители ЕГЭ по математике заданиями C3 проверяют умение учащихся оперировать такими понятиями, как система неравенств (пересечение множеств), совокупность неравенств (объедение множеств), осуществлять отбор решений неравенства, руководствуясь его областью допустимых значений.
В-третьих, четкое знание свойств всех элементарных функций (степенных, рациональных, показательных, логарифмических, тригонометрических), изучаемых в школьном курсе математики и понимание их смысла.

Главное же требование — это настойчивость в достижении своей цели. Учитесь, тренируйтесь, если нужно — ежедневно, изучайте и запоминайте на примерах основные способы решения неравенств и их систем, анализируйте возникающие ошибки и не допускайте их в будущем. За помощью в этом нелегком деле вы можете обратиться к своему школьному учителю по математике, репетитору, родителям, друзьям и знакомым, книгам, а также огромному количеству материалов, доступных на просторах Интернета. Желаю вам успехов в подготовке к Единому государственному экзамену по математике.

Репетитор по математике в Москве
Сергей Валерьевич

Метки: логарифмы, неравенства, подготовка к ЕГЭ по математике с репетитором, решение заданий ЕГЭ по математике, теория ЕГЭ по математике, уравнения
Опубликовано в категории Методическая копилка | 50 комментариев »

Иван:

26.04.2012 в 09:02

Подскажите пожалуйста, возникла загвоздка в 4 ом примере , а именно какими преобразованиями вы воспользовались при переходе от логарифма по основанию 0.4 к квадратному уравнению?

Ответить
1. Sergey Seliverstov:
  
  26.04.2012 в 09:42
  
  У полученных логарифмов одинаковые основания 0,4, поэтому в области допустимых значений от логарифмического уравнения можно перейти к простому квадратичному: (x+2)(x+3) = (1-x) — в математике такая операция называется потенцированием. Раскрываем скобки, упрощаем, ну и далее по тексту…
  
  Ответить
Иван:

26.04.2012 в 11:07

Подскажите пожалуйста, откуда в 8 ом примере , в преобразованном выражении, под логарифмом в числителе дроби выражения (x-3) 12 ая степень появилась?

Ответить
1. Sergey Seliverstov:
  
  26.04.2012 в 15:41
  
  Из равносильных в области допустимых значений неравенства преобразований. Более подробно расписал. Сейчас разъяснилось все?
  
  Ответить
  1. Иван:
    
    27.04.2012 в 08:21
    
    Понял, спасибо )
    
    Ответить
Настя:

05.05.2012 в 12:16

подскажите ,пожалуйста, в 10примере..можно без перехода к новому основанию решить неравенство?

Ответить
1. Sergey Seliverstov:
  
  05.05.2012 в 15:31
  
  Да, конечно. Но мне второй способ кажется более сложным. Я написал в статье второе решение, попробуйте разобраться. Если что-то не понятно, но желание разобраться останется, жду вопросов:-)
  
  Ответить
Настя:

06.05.2012 в 10:58

Спасибо, я всё поняла)

Ответить
1. Sergey Seliverstov:
  
  06.05.2012 в 14:46
  
  Пожалуйста. Но просто, чтобы убедиться, что действительно всё понятно, я бы задал вопрос. Зачем в знаменателе вычитать член log_3(1) и не изменяет ли это вычитание само логарифмическое выражение?
  
  Ответить
  1. Настя:
    
    09.05.2012 в 08:57
    
    как вы и сказали,второй способ намного труднее первого.с первым разобралась а со вторым- нет. вот эта штука log_3(1) для меня не понять откуда взялась. когда я расписывала 1 в виде логарифмов у меня не так получилось как у вас. в знаменателе должен быть только log_3(х)в квадрате .
    
    Ответить
    1. Sergey Seliverstov:
      
      09.05.2012 в 17:51
      
      Совершенно верно, в знаменателе изначально был только log_3(х^2), но если из знаменателя вычесть log_3(1), от этого ничего не изменится, ведь log_3(1) = 0. Тогда зачем это делать? Нам нужно, чтобы в знаменателе стояла разность, для того, чтобы использовать то свойство, что знаки выражений log_3(f)-log_3(g) и f-g одинаковы при f,g>0. Это действительно так, функция y=log_3 x — возрастающая, поэтому если f>g (или, что то же самое, f-g>0), то log_3(f)>log_3(g) (или, что то же самое, log_3(f)-log_3(g)>0) и наоборот. Знаки разностей одинаковы (в области допустимых значений), поэтому с неравенством ничего не произойдет, если убрать логарифмы.В общем, в задаче есть над чем подумать).
      
      Ответить
2. Алексей:
  
  14.11.2013 в 07:14
  
  скажите название сайта где можно решать варианты по логарифмам
  
  Ответить
  1. Sergey Seliverstov:
    
    11.01.2014 в 10:27
    
    Хороший сайт http://alexlarin.net/
    Там есть Генератор вариантов ЕГЭ. Очень удобно + с ответами.
    
    Ответить
ramlua:

28.05.2012 в 13:51

здравствуйте) Подскажите пожалуйста. Во второй задаче. -х^2+4х+5>0
х получается от минус бесконечно до -1 и от 5 до плюс бесконечности. в чём моя ошибка?

Ответить
1. ramlua:
  
  28.05.2012 в 13:52
  
  всё)) разобрался)
  
  Ответить
ramlua:

28.05.2012 в 14:30

Помогите пожалуйста. Не понимаю пример 5(

Ответить
1. Sergey Seliverstov:
  
  28.05.2012 в 14:37
  
  Помогу, только мне надо знать, что именно не понятно. Не понятно откуда там взялось x^(log_x 81)?
  
  Ответить
ramlua:

28.05.2012 в 14:46

x^(4/log_3 х )

Ответить
1. Sergey Seliverstov:
  
  28.05.2012 в 15:10
  
  А, я понял. Тут тоже правила преобразования логарифмов. log_x 81 = log_x 3^4 (степень можно выносить) = 4 log_x 3 = (теперь меняем местами основание логарифма и подлогарифмическое выражение) = 4 / log_3 x.
  
  Ответить
ramlua:

28.05.2012 в 15:32

аа точно)) спасибо)

Ответить
ramlua:

28.05.2012 в 16:29

ответ в 7 примере. почему там от 1 до корня из 10, а не от 2 до корня из 10?

Ответить
1. Sergey Seliverstov:
  
  28.05.2012 в 16:52
  
  Опечатка, я исправил, спасибо.
  
  Ответить
ramlua:

28.05.2012 в 19:39

Пример 8. не подскажете как это получилось: log _9 [(x-9)^11(x-3)^11] ?

Ответить
1. Sergey Seliverstov:
  
  29.05.2012 в 08:59
  
  Коэффициент перед логарифмом можно вносить в показатель подлогарифмического выражения: 11*log _9 (x-9)(x-3) = log _9 [(x-9)(x-3)]^11 = log _9 [(x-9)^11(x-3)^11]
  
  Ответить
ramlua:

29.05.2012 в 14:06

ясно)) спасибо)

Ответить
1. Sergey Seliverstov:
  
  29.05.2012 в 14:27
  
  Пожалуйста. На будущее:
  http://yourtutor.info/wp-content/uploads/2012/05/svojstva-logarifmov.pdf
  
  Ответить
Рита:

10.12.2012 в 15:10

Здравствуйте! Спасибо за столь подробно и ясно изложенную информацию. Есть только один вопрос — почему графики логарифмических кривых подписаны не как логарифмическая (y=log_a(x)), а как степенная (y=a^x) функция?

Ответить
1. Sergey Seliverstov:
  
  10.12.2012 в 17:08
  
  Здравствуйте! Да, действительно, упустил :-). Исправил подпись на рисунке. Большое спасибо.
  
  Ответить
ольга ю.:

15.12.2012 в 05:49

свойство последнее с ошибкой. в числителе b в знаменателе a

Ответить
1. Sergey Seliverstov:
  
  15.12.2012 в 09:26
  
  И то правда, спасибо, исправил.
  
  Ответить
ольга ю.:

15.12.2012 в 08:41

почему в 7 примере в ответе корень из 10 и минус корень из 10 не входят( неравенство нестрогое ведь)

Ответить
1. Sergey Seliverstov:
  
  15.12.2012 в 09:34
  
  Да, конечно, теперь корень из 10 и минус корень из 10 в ответе.
  
  Ответить
ольга ю.:

16.12.2012 в 11:20

в 9 примере одз неверное. корни в в 3 -ем нер-ве системы : -2 и -1 и 0.

Ответить
1. Sergey Seliverstov:
  
  16.12.2012 в 16:08
  
  Это не корни неравенства. Это корни уравнения, которое получается после приравнивания левой части неравенства к нулю.
  
  Ответить
Тима:

01.04.2013 в 17:14

(x-2)^x2-6x+8>1 помогите решить!!!

Ответить
1. Sergey Seliverstov:
  
  02.04.2013 в 08:28
  
  Как понять запись (x-2)^x2? Иск минус два в степени два икс? или в степени икс в квадрате? или там вообще в показателе икса нет?
  
  Ответить
саша:

11.11.2013 в 20:44

ни че не поняла

Ответить
1. Sergey Seliverstov:
  
  23.11.2013 в 10:49
  
  Сформулируйте вопрос.
  
  Ответить
Максим:

14.11.2013 в 07:23

а есть ещё сайты ?

Ответить
1. Sergey Seliverstov:
  
  11.01.2014 в 10:23
  
  Да, уверяю Вас:
  http://habrahabr.ru/company/webnames/blog/166457/
  
  Ответить
  1. Влад:
    
    12.01.2014 в 16:15
    
    Ахах, хороший ответ) тонкота
    
    Ответить
Анастасия:

24.03.2014 в 15:24

Хочу сказать большое спасибо за материал.
Достаточно подробно расписаны примеры, полученные знания тут же закрепляются на практике. Было очень интересно читать и самой прорешивать примеры, чтобы потом, в случае несоответствия, сразу же находить ошибки.
Спасибо за труд!

Ответить
1. Sergey Seliverstov:
  
  24.03.2014 в 15:31
  
  Спасибо за отзыв. Рад, что данный материал оказался для Вас полезным.
  
  Ответить
Данил:

26.06.2014 в 19:23

Надеюсь что поможет)

Ответить
Кэтрин:

02.04.2015 в 23:54

Не понимаю, что происходит дальше в 8 примере после слов «после сокращение и перехода к равносильному по теореме…»!;(
Помогите разобраться, что откуда появилось.

Ответить
1. Sergey Seliverstov:
  
  05.05.2015 в 13:45
  
  Степень четная, поэтому просто убрать ее не получится, нужно при этом поставить модули слева и справа. Поэтому переходим к тому, что написано.
  
  Ответить
Юличка:

27.06.2015 в 14:52

Очень хороший сайт. Буду потихонечку готовиться к сессии

Ответить
Степан:

11.09.2016 в 19:58

Здравствуйте! Пожалуйста, помогите решить:
1/log_x 4+1/log_x^1/2 4+1/log_x^1/3 4= 11

Ответить
Артем:

09.03.2018 в 02:39

Простите за наглость, но не могли бы Вы помочь мне. Я уже просто не могу. Весь день над этим неравенством сижу+эта ночь.
Вот неравенство: (1-((корень)(1-(8log2(x))^2))/(2log2(x))<1

Ответить
1. Артем:
  
  09.03.2018 в 11:12
  
  Всё ок. Я решил.
  
  Ответить

Логарифмические уравнения и неравенства

Логарифмическая функция

Определение

Основные свойства

График логарифмической функции

Свойства логарифмов

Решение логарифмических уравнений и неравенств

Комментарии

Добавить комментарий Cancel reply

Страницы

Понравился сайт?

Последние записи

Архив записей

Прочее