Сопротивление куба

Рассмотрим классическую задачу. Дан куб, рёбра которого представляют собой проводники с каким-то одинаковым сопротивлением. Этот куб включается в электрическую цепь между всевозможными его точками. Вопрос: чему равно сопротивление куба в каждом из этих случаев? В данной статье репетитор по физике и математике рассказывает о том, как решается эта классическая задача. Присутствует также видеоурок, в котором вы найдёте не только подробное объяснение решения задачи, но и реальную физическую демонстрацию, подтверждающую все вычисления.

Итак, куб может быть включен в цепь тремя различными способами.

Сопротивление куба между противоположными вершинами

В этом случае ток, дойдя до точки A, распределяется между тремя рёбрами куба. При этом, поскольку все три ребра эквивалентны с точки зрения симметрии, ни одному из рёбер нельзя придать большую или меньшую «значимость». Поэтому ток между этими рёбрами должен распределиться обязательно поровну. То есть сила тока в каждом ребре равна :

В результате получается, что падение напряжения на каждом из этих трёх рёбер одинаково и равно , где — сопротивление каждого ребра. Но падение напряжение между двумя точками равно разности потенциалов между этими точками. То есть потенциалы точек C, D и E одинаковы и равены . Из соображений симметрии потенциалы точек F, G и K также одинаковы.

Точки с одинаковым потенциалом можно соединять проводниками. Это ничего не изменит, потому что по этим проводникам всё равно не потечёт никакой ток:

В результате получим, что рёбра AC, AD и AE соединятся в одной точке. Назовём её точкой T. Точно также рёбра FB, GB и KB соединятся в одной точке. Назовём её точкой M. Что касается оставшихся 6 рёбер, то все их «начала» окажутся соединены в точке T, а все концы — в точке M. В результате мы получим следующую эквивалентную схему:

Посчитать сопротивление такой схемы уже не составляет труда:

   

Сопротивление куба между противолежащими углами одной грани

В данном случае эквивалентными являются рёбра AD и AC. По ним потечёт одинаковый ток . Кроме того, эквивалентными также являются KE и KF. По ним потечёт одинаковый ток . Ещё раз повторим, что ток между эквивалентными рёбрами должен распределиться поровну, в противном случае нарушится симметрия:

Таким образом, в данном случае одинаковым потенциалом обладают точки C и D, а также точки E и F. Значит эти точки можно объединить. Пусть точки C и D объединятся в точке M, а точки E и F — в точке T. Тогда получится следующая эквивалентная схема:

На вертикальном участке (непосредственно между точками T и M) ток не течёт. Действительно, ситуация аналогична уравновешенному измерительному мосту. Это означает, что данной звено можно исключить из цепи. После этого посчитать общее сопротивление не составит труда:

Сопротивление верхнего звена равно , нижнего — . Тогда общее сопротивление равно:

   

Сопротивление куба между прилежащими вершинами одной грани

Это последний возможный вариант подключения куба в электрическую цепь. В этом случае эквивалентными рёбрами, через которые будет течь одинаковый ток, являются рёбра AC и AD. И, соответственно, одинаковые потенциалы будут иметь точки C и D, а также симметричные им точки E и F:

Вновь соединяем попарно точки с одинаковыми потенциалами. Мы можем это сделать, потому что ток между этими точками не потечёт, даже если соединить их проводником. Пусть точки C и D объединятся в точку T, а точки E и F — в точку M. Тогда можно нарисовать следующую эквивалентную схему:

Общее сопротивление полученной схемы рассчитывается стандартными способами. Каждый сегмент из двух параллельно соединённых резисторов заменяем на резистор сопротивлением . Тогда сопротивление «верхнего» сегмента, состоящего из последовательно соединённых резисторов , и , равно .

Этот сегмент соединён со «средним» сегментом, состоящим из одного резистора сопротивлением , параллельно. Сопротивление цепи, состоящей из двух параллельно соединённых резисторов сопротивлением и , равно:

   

То есть схема упрощается до ещё более простого вида:

Как видно, сопротивление «верхнего» П-образного сегмента равно:

   

Ну а общее сопротивление двух параллельно соединённых резисторов сопротивлением и равно:

   

Эксперимент на измерению сопротивления куба

Чтобы показать, что всё это не математический трюк и что за всеми этими вычислениями стоит реальная физика, я решил провести прямой физической эксперимент по измерению сопротивления куба. Вы можете посмотреть этот эксперимент в видео, которые находится в начале статьи. Здесь я размещу фотографии экспериментальной установки.

Специально для этого эксперимента я спаял куб, рёбрами которого являются одинаковые резисторы. Также у меня есть мультиметр, который я включил в режиме измерения сопротивления. Сопротивление одиночного резистора равно 38.3 кОм:

Теперь смотрим сопротивление куба при различных его подключениях:

1) При подключении между диаметрально противоположным граням сопротивление равно 32.3 кОм:

Расчётное значение равно кОм.

2) При подключении между соседним вершинам одной грани измеренное значение сопротивления равно 22.6 кОм:

Расчётное значение составляет кОм.

3) При подключении между противоположным вершинам одной грани сопротивление равно 28.9 кОм:

Расчётное значение равно кОм.

Как видите, мы получили очень хорошее согласование экспериментальных данных с результатам наших расчётов. Ошибка находится на уровне 1%. Погрешность измерений есть всегда. Это нормально. В данном случае эта погрешность связана, скорее всего, с тем, что сопротивление резисторов не строго 38.3 кОм, а может немного варьироваться.

Материал подготовил репетитор по физике и математике, Сергей Валерьевич

Если вам понравилась статья, смотрите также:

• Задачи на тему «Концентрические проводящие сферы»
• Решение задач на тему «Потенциал»
• Потенциал электростатического поля