Задача С6 — это просто!

Разберем сегодня такую задачу C6.

Условие

Дана последовательность натуральных чисел, причем каждый следующий ее член отличается от предыдущего либо на 10, либо в 6 раз. Сумма всех членов последовательности равна 257.

а) Какое наименьшее (минимальное) число членов может быть в данной последовательности?
б) Какое наибольшее (максимальное) количество членов может быть в этой последовательности?

На самом деле задачи C6 из ЕГЭ по математике не так уж и сложны, хотя позиционируются они как олимпиадные. Даже если вас пугают нестандартные формулировки, и вы боитесь решать задачи, которые не решали на уроках математики в школе, не паникуйте на экзамене. Попробуйте немного порассуждать, и вы увидите, что не так уж все сложно. Давайте посмотрим, как эта задача очень легко решается.

Отвечаем на первый вопрос задачи

Попробуем предположить, что в этой последовательности два числа. Предположим сперва, что эти числа отличаются друг от друга на 10. Ну, например, 120 и 130. Их сумма 250. Маловато. Должно быть 257. Хорошо, возьмем тогда числа 123 и 133. Сумма 256. Тоже мало.

Как же быть дальше? Накинуть 1 к первому числу? Получить 124? Тогда второе также станет на 1 больше — 134. Сумма тогда окажется равной 258, а это уже больше, чем нам нужно. И тут уж ничего не поделаешь. Складывая два числа, отличающиеся друг от друга на 10, получить число 257 оказалось невозможным.

Для себя мы это поняли! Но объяснение должно быть строгим с математической точки зрения, чтобы с ним согласился проверяющий. Что же нам написать в экзаменационный бланк ответов?

Вы обратили внимание, что при сложении мы всегда получали четные числа? Это не случайно. Если первое число нечетно, то второе число, которое больше первого на 10, тоже нечетно. А сумма двух нечетных чисел есть число четное. Если же первое число четно, то второе число, которое больше первого на 10, тоже четно. А сумма двух четных чисел вновь четна!

Получается, что ни при каких обстоятельствах нечетного числа 257 в сумме у нас не получится. Вот это уже вполне «научное» объяснение, достойное быть записанным в бланк ответов на ЕГЭ.

Хорошо. Предположим теперь, что второе число в 6 раз больше первого. То есть первое число есть , тогда второе число есть . Их сумма равна и равна 257. Э-э-э… 257 на 7 без остатка не делится. Значит этот вариант также отметается.

Ну что ж, прекрасно. Значит двух чисел в этой последовательности быть не может. Возможно их три? Предположим, что каждое из них на 10 больше предыдущего. Тогда первое равно , второе равно , а третье — . Тогда их сумма равна и равна 257. То есть или . Нет, опять мимо, без остатка 227 на 3 не делится.

Тогда попробуем такой вариант: второе число в 6 раз больше первого, а третье на 10 больше второго. Тогда или , или , то есть . А вот это сработало!

Значит минимальное количество чисел в нашей последовательности равно трем. Меньше уже не получается. К примеру, это может быть вот такая последовательность: Прекрасно, на первый вопрос ответили. Минимум три числа.

Отвечаем на второй вопрос задачи

Теперь нам нужно, чтобы в последовательности было как можно больше членов. Поэтому пара вида должна встречалась в ней как можно чаще.

Сумма этой пары равна 7. Если разделить 257 на 7, то получится 36 и 5 в остатке. Но эту 5 не получится представить, используя члены нашей последовательности. Поэтому мы лучше скажем, что пар вида  в последовательности 35 штук, а оставшиеся число 12 представлено в ней парой . Все! Теперь мы получили последовательность (пар типа всего 35 штук) с максимально возможным числом членов.

В этой последовательности числа. То есть максимально возможное число членов последовательности равно 72.

Сергей Валерьевич
Репетитор по математике на Юго-Западной