Что делать, если в процессе решения задачи из ЕГЭ или на вступительном экзамене по математике вы получили многочлен, который не получается разложить на множители стандартными методами, которыми вы научились в школе? В этой статье репетитор по математике расскажет об одном эффективном способе, изучение которого находится за рамками школьной программы, но с помощью которого разложить многочлен на множители не составит особого труда. Дочитайте эту статью до конца и посмотрите приложенный видеоурок. Знания, которые вы получите, помогут вам на экзамене.
Разложение многочлена на множители методом деления
С том случае, если вы получили многочлен больше второй степени и смогли угадать значение переменной, при которой этот многочлен становится равным нулю (например, это значение равно 
), знайте! Этот многочлен можно без остатка разделить на 
.
Например, легко видеть, что многочлен четвёртой степени 
обращается в нуль при 
. Значит его без остатка можно разделить на 
, получив при этом многочлен третей степени (меньше на единицу). То есть представить в виде:
![\[ 3x^4-6x^3+2x^2+2x-1 = \]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b9a8df4a94ca1e777d90adaf2c9657a1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = (x-1)(Ax^3+Bx^2+Cx+D), \]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6bff21fc97b9b0270198bc6ee75e685e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
где A, B, C и D — некоторые числа. Раскроем скобки:
![\[ Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx-Ax^3-Bx^2-Cx-D = \]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3be65a46852e93aa4d36e048c92e33f9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ =Ax^4+(B-A)x^3+(C-B)x^2+(D-C)x-D= \]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3b0e8319e351f0e2fc0391622361c81c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ 3x^4-6x^3+2x^2+2x-1. \]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2822be65cd399914b8e0f2b62633c44b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Поскольку коэффициенты при одинаковых степенях должны быть одинаковы, то получаем:
![\[ \begin{array}{l} A=3, \\ B-3=-6\Leftrightarrow B = -3, \\ C+3 = 2\Leftrightarrow C = -1,\\ D+1=2\Leftrightarrow D = 1. \end{array} \]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-100a7237e80a429e8e58637d053bac77_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Итак, получили:
![\[ =(x-1)(3x^3-3x^2-x+1). \]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b7b2a2f51dabc845ad885cdab229080c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Идём дальше. Достаточно перебрать несколько небольших целых чисел, что увидеть, что многочлен третьей степени 
вновь делится на . При этом получается многочлена второй степени (меньше на единицу). Тогда переходим к новой записи:
![\[ 3x^3-3x^2-x+1 = \]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-40317bb73cf463f25539c18363790c6a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = (x-1)(Ex^2+Fx+G), \]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e062773088627229573282ebbfe15938_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
где E, F и G — некоторые числа. Вновь раскрываем скобки и приходим к следующему выражению:
![\[ Ex^3+Fx^2+Gx-Ex^2-Fx-G = \]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-85a83be79cf163b7919ad0a97fb14078_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ Ex^2+(F-E)x^2+(G-F)x-G = \]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0f60ea36ccde88a0a7dbf4a767ef1b42_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ 3x^3-3x^2-x+1. \]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2bb46592487d2da3c309b4aa673f80de_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Опять из условия равенства коэффициентов при одинаковых степенях получаем:
![\[ \begin{array}{l} E = 3, \\ F-3 = -3\Leftrightarrow F = 0, \\ G-0 = -1\Leftrightarrow G = -1. \end{array} \]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f126811b969c3611cc8116523e919e76_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Тогда получаем:
![\[ 3x^3-3x^2-x+1 = (x-1)(3x^2-1). \]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8be9c8a1b2984e5bb2b6997d1d16b42f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
То есть исходный многочлен может быть разложен на множители следующим образом:
![\[ 3x^4-6x^3+2x^2+2x-1 = (x-1)^2(3x^2-1). \]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-38758157390d1be65ff0eea5035373ea_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
В принципе, при желании, используя формулу разность квадратов, результат можно представить также в следующем виде:
![\[ (x-1)^2(3x^2-1) = (x-1)^2(\sqrt{3}x-1)(\sqrt{3}x+1). \]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ff775e2ccc4ea7d6e80b3aba2987af30_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Вот такой простой и эффективный способ разложения многочленов на множители. Запомните его, он может вам пригодиться на экзамене или олимпиаде по математике. Проверьте, научились ли вы пользоваться этим методом. Попробуйте решить следующее задание самостоятельно.
Разложите многочлен на множители:
![\[ 2x^4+3x^3-2x^2-x-2. \]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-115a73b7f4e2ce4f6a25a7fa9d8f4e80_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Свои ответы пишите в комментариях.
Материал подготовил репетитор по математике и физике в Москве, Сергей Валерьевич
(x-1)(2x»3″+5x»2″+3x+2)
«n»-степень
Можно попробовать,конечно,вот это разложить,(2x»3″+5x»2″+3x+2) но…)
При x=-2 выражение в скобках равно 0, поэтому надо выражение в скобках разделить на (x+2). Тогда получится (x-1)(x+2)(2x^2+x+1).
Я изобрел лучший способ:3x^4-6x^3+2x^2+2x-1
нуль при x=1.То есть представить в виде:
3x^4-6x^3+2x^2+2x-1 = (x-1)(3x^3
Фактор на x^4 должен быть 3x^4, На х^3 является- 3, и должно быть -6. И так -3x^2.Теперь на х^2 является -3, и должно быть -1, так добавить 2x. В конце снова свободный разделить на свободный, и получаем -1
3x^4-6x^3+2x^2+2x-1 = (x-1)(3x^3-3x^2-x+1)
(x-1)(3x^3-3x^2-x+1)
И так 3x^2.Теперь на 2х^2 является -1, и должно быть -1, так добавить -x. В конце снова свободный разделить на свободный, и получаем 1. 3x^3-3x^2-x+1 нуль при x=1
3x^4-6x^3+2x^2+2x-1=(x-1)^2(3x^2-1) = (x-1)^2(\sqrt{3}x-1)(\sqrt{3}x+1). Ранее ошибка была украдена