Лицей ВШЭ устное собеседование для направления «Математика»

Лицей НИУ ВШЭ официально объявил о проведении дополнительного набора учащихся. Вступительные испытания состоятся в декабре 2019 года. Если вы поступаете на направление «Математика», то помимо комплексного теста вас ожидает ещё и устное собеседование. Примеры заданий собеседования выложены на сайте лицея. В данной статье профессиональный репетитор по математике и физике разбирает примерные задачи устного собеседования для дополнительного набора в лицей ВШЭ 2019 года на направление «Математика».

Задание 1. На окружности имеются синие и красные точки. Разрешается добавить или убрать красную точку и поменять цвета ее соседей. Менее двух точек оставлять не разрешается. Пусть первоначально были две точки: одна красная и одна синяя точки. Можно ли через 100 операций получить ровно 50 красных точек?

Количество красных точек меняется после каждой операции на 1 или на 3, поэтому чётность количества красных точек меняется после каждой операции. Значит, после 100 операций чётность количества красных точек будет той же, что и в самом начале, то есть нечётной (первоначально была 1 красная точка). Значит, ровно 50 красных точек после 100 операций получиться не может.

Ответ: нет.

Задание 2. Костя написал два числа, не содержащих в записи нулей, и заменил цифры буквами (разные цифры — разными буквами). Оказалось, что число КРОКОДИЛЛЛ делится на 312 Докажите, что число ГОРИЛЛА не делится на 392.

Если число делится на 312, то оно делится и на 8. Число делится на 8, если три последние цифры этого числа нули или образуют число, которое делится на 8. У числа КРОКОДИЛЛЛ три последние цифры одинаковые, но не 000. Значит, для ЛЛЛ остаётся единственный вариант быть числом 888, чтобы делиться на 8. Значит, Л = 8. Число ГОРИЛЛА тоже должно делиться на 8, если мы доказываем, что оно делится на 392. Значит число ЛЛА = 88A должно делиться на 8. Это возможно только при A = 0. Но по условию так быть не может. Значит, число ГОРИЛЛА на 392 не делится. Что и требовалось доказать.

Задание 3. Дан выпуклый четырехугольник ABCD, в котором AD+BC = CD. Биссектрисы углов ∠BCD и ∠CDA пересекаются в точке S. Докажите, что AS = BS.

Изобразим ситуацию на рисунке вместе с некоторыми дополнительными построениями:

На стороне CD отметили точку E так, что BC = CE. Тогда AD = DE, так как BC + AD = CD. Тогда треугольник ASD равен треугольнику SED по двум сторонами и углу между ними. То есть AS = SE. Аналогично, треугольник SBC равен треугольнику SCE, поэтому SE = SB. Итак, AS = SE = SB. Что и требовалось доказать.

Задание 4. Будем называть n-цепочкой число, которое можно получить из чисел от 1 до n, написав их друг за другом в некотором порядке без пробелов. Например, возможный вариант 11-цепочки: 3764581121910. Для какого наименьшего n > 1 существует n-цепочка, являющаяся палиндромом? Напомним, что палиндром — это число, читающееся одинаково слева направо и справа налево, например, 12321 Палиндром не может начинаться с нуля.

В палиндроме все цифры должны быть разбиты на пары из одинаковых цифр, кроме, может быть, единственного числа, которое стоит в центре, если общее количество цифр в палиндроме нечётно. Определим, для какого минимального n > 1 такое в принципе возможно.

Первый раз такое встречается для n = 19. Тогда получается 12 единиц, 1 нуль, все остальные цифры по 2 раза. Можно привести пример: 91871651431211011213415617819. Итак, минимальное n = 19.

Подробности решения смотрите в прилагаемом видео.

Ответ: 19.

Задание 5. В каждой клетке таблицы 4×4 записано натуральное число. Может ли так оказаться, что все 8 сумм по строкам и по столбцам будут различными степенями двойки?

Докажем сперва вспомогательное неравенство:

   

Справа от знака неравенства стоит сумма членов (так как счёт начинается с нуля) геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем . Эта сумма равна:

   

Неравенство доказано. Словами его можно сформулировать так: любая натуральная степень двойки со второй и выше строго больше суммы всех предыдущих целых неотрицательных степеней двойки.

Теперь вернёмся к задаче. Пусть удалось расставить числа в таблице требуемым образом. Но тогда среди сумм чисел в каждой строке и столбце найдётся старшая степень двойки. По доказанном выше неравенству, она будет больше всех остальных сумм по строкам и столбцам вместе взятым. Но сумма всех чисел в таблице, вычисленная по строкам, должна быть равна сумме всех чисел в таблице, вычисленной по столбцам, поскольку это одна и та же сумма. Противоречие.

Для знатоков: если это было бы возможно, то сумму всех чисел в таблице, вычисленную по столбцам, можно было бы представить в виде некоторого двоичного числа, а сумму всех чисел в таблице, вычисленную по строкам, можно было бы представить в виде другого двоичного числа. Но это должна быть одна и та же сумма, поэтому и полученные двоичные числа должны быть одинаковы. Противоречие.

Ответ: не может.

Задание 6. Каждую грань кубика разбили на четыре одинаковых квадрата, а затем раскрасили эти квадраты в несколько цветов так, что квадраты, имеющие общую сторону, оказались окрашенными в различные цвета. Какое наибольшее количество квадратов одного цвета могло получиться?

В каждой вершине куба сходится 3 квадрата разного цвета, поскольку каждая пара таких квадратов имеют общую сторону. Всего таких троек 8. Значит оценка даёт максимум 8 квадратов одного цвета. Эти 8 квадратов изображены на рисунке синим цветом, при этом пустые квадраты могут быть закрашены в любые другие различные цвета:

Задание 7. Прямоугольник с целыми длинами сторон разбит на двенадцать квадратов со следующими длинами сторон: 2, 2, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 8, 8, 9, 9. Каков периметр прямоугольника?

Площадь исходного прямоугольника равна:

   

Так как есть квадраты со стороной 9, то возможен единственный вариант для длин сторон исходного прямоугольника: 16 на 29. Значит, его периметр равен 90. На рисунке представлен пример соответствующего разбиения данного прямоугольника на квадраты:

Задание 8. Рассмотрим прямоугольник из 2 строк и 2019 столбцов. Нужно закрасить каждую клетку в один из трех цветов так, чтобы соседние по стороне клетки были разных цветов. Сколько существует различных раскрасок?

Первую клетку первого столбца можно закрасить тремя различными способами. Для каждого способа есть два варианта раскраски второй клетки первого столбца. То есть раскрасить первый столбец можно различными способами. Далее для каждого варианта раскраски предыдущей части таблицы существует только 3 независимых способа раскраски следующего столбца. Значит, общее число вариантов раскраски равно:

   

Ответ:

Задание 9. В трапеции ABCD точки M и N являются серединами оснований AB и CD соответственно. Точка P принадлежит отрезку MN. Докажите, что площади треугольников ADP и BCP равны.

Изобразим ситуацию на рисунке:

Площади трапеций ADNM и MNCB равны, так как у них равны основания и высоты. Площади треугольников PDN и PCN равны, так как у них равны основания и высоты. По той же причине равны площади треугольников APM и MPB. Значит, оставшиеся части, а именно треугольники ADP и CPB, также равны по площади. Что и требовалось доказать.

Задание 10. Точка D лежит на дуге BC описанной окружности равностороннего треугольника ABC, не содержащей точки A. Точка E симметрична B относительно прямой CD. Докажите, что точки A, D и E лежат на одной прямой.

Изобразим ситуацию на рисунке вместе с некоторыми дополнительными построениями:

Заметим, что ∠EDM = ∠CDA = ∠CBA = 60° (вертикальные углы и вписанные углы, опирающиеся на одну дугу). По той же причине ∠ADB = ∠ACB = 60°. Кроме того, ∠EDM = ∠MDB = 60°, так как точка E симметрична точке B относительно прямой CD. Значит, ∠ADE = 180°. То есть точки A, D и E лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.

Подготовка к устному собеседованию в лицей ВШЭ на направление «Математика»

Тем, кто готовится к поступлению в лицей НИУ ВШЭ на направление «Математика», может потребоваться помощь профессионального репетитора, особенно при подготовке к самой сложной части вступительных испытаний, а именно к устному собеседованию. Обращайтесь к опытным и проверенным преподавателям. Только они смогут в сжатые сроки максимально эффективно подготовить ученика к вступительным экзамена в лицей ВШЭ. Контакты такого репетитора вы найдёте на этой странице. Успехов в подготовке!

Материал подготовил репетитор по математике и физике в Москве Сергей Валерьевич