Вступительный экзамен по математике в РЭУ им. Г.В. Плеханова

В данной статье представлен разбор примера варианта вступительного испытания по математике в РЭУ им. Г.В. Плеханова от профессионального репетитора, занимающегося подготовкой абитуриентов к поступлению в этот университет. Все решения снабжены подробными комментариями и пояснениями, так что при желании каждый сможет самостоятельно разобраться со всеми заданиями.

Разбор варианта вступительного экзамена по математике в РЭУ им. Г.В. Плеханова

1. Вычислить     Варианты ответов: а) 1.5; б) 2; в) 2,5; г) 3,5.

Вычислим значение, используя стандартные правила преобразования выражений, содержащих радикалы:

   

2. Корнем какого уравнения является число 2? Далее идут варианты ответов с длинными уравнениями, которые я не буду здесь переписывать.

Правильный ответ в):

   

поскольку из предложенных вариантов только для данного уравнения при подстановке вместо везде числа 2, оно обращается в верное равенство.

3. 25% учащихся 11 класса учатся только на отлично, а 50% учится только на хорошо. Число учащихся, имеющих удовлетворительные результаты, в 3 раза больше числа неуспевающих учеников. Сколько учеников в классе, если не успевают только 2 ученика?

Приходится предположить, что в классе нет учеников, которые учатся на отлично и хорошо, иначе задача не имеет решения. Поскольку неуспевающих двое, то число учеников, которые имеют удовлетворительные результаты, равно 6. Пусть всего учеников в классе . Тогда число учащихся, которые учатся только на отлично, равно, очевидно, . А число учащихся, которые учатся только на хорошо, соответственно, . Тогда имеет место равенство:

   

4. Решить уравнение

Введём замену и рассмотрим функцию

   

Данная функция является возрастающей, так как равна сумме двух возрастающих функций. Это значит, что если эта функция принимает значение 7, то в при единственном значении . Это значение легко угадать: . То есть , откуда получаем, что .

5. Решите неравенство

Переносим все члены в левую сторону неравенства и приводим всё к общему знаменателю:

   

Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые:

   

Воспользуемся в числителе формулой сокращённого умножения «квадрат разности»:

   

Теперь видно, что полученная дробь равна нулю при , а отрицательна она может быть только при отрицательном знаменателе, то есть при , ибо в числителе выражение стоит в квадрате. Итак, окончательный ответ: .

6. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды длиной 2 наклонено к плоскости основания под углом 30º. Найти объём пирамиды.

1. В прямоугольном треугольнике AFE против угла A в 30º лежит катет EF, который равен половине гипотенузы AE. То есть . Высоту пирамиды нашли. Из того же прямоугольного треугольника по теореме Пифагора находим теперь .

2. В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат ABCD. Ищем его сторону. . Записываем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ACD: , где — сторона квадрата. Значит, . Это есть площадь основания пирамиды.

3. Объём пирамиды равен одной трети от произведения площади её основания на высоту. Значит, искомый объём равен 2.

7. Решить уравнение

Область допустимых значений данного уравнения определяется следующей системой неравенств:

   

Решая эту систему. Первые два неравенства легко решаются методом интервалов. Последнее неравенство решается автоматически:

   

В результате получаем, что в область допустимых значений входит одно единственной число . Прямой подстановкой убеждаемся, что это корень данного уравнения.

8. Решить неравенство

Пусть . При этом сразу замечаем, что . Действительно, минимальное значение выражение принимает при . Это минимальное значение равно 5. При всех остальных значениях значение выражения будет больше 5.

С учётом этой замены неравенство можно переписать в следующем виде:

   

Начнём с того, что значения удовлетворяют этому неравенству. При всех остальных выражением положительно. Значит, для  мы может разделить обе части последнего неравенства на это выражение, не меняя при этом знак неравенства:

(1)  

Преобразуем полученное слева выражение при :

   

   

Определим, какие значения может принимать полученное выражение при :

   

   

Итак, получили:

   

Но, как мы выяснили раньше, , поэтому неравенство (1) не выполняется ни при каких .

Итак, получается, что исходное неравенство выполняется только при .

9. В треугольнике ABC сторона AB = 1, сторона . Биссектрисы AE и CD пересекаются в точке O. Кроме того, ∠AOC:∠ABC = 5:2. Найдите AC.

Для треугольника ACO имеем:

(2)  

Для треугольника ABC имеем:

(3)  

Из уравнения (2) получаем:

   

Подставляем этот результат в уравнение (3) и получаем:

   

Для нахождения стороны AC используем теперь теорему косинусов:

   

   

Примечание. Параллельно, кстати, получилось, что треугольник ABC — равнобедренный и прямоугольный с прямым углом A. Но для изложенного решения это не потребовалось.

10. Найти все значения , при которых один корень уравнения     больше 1, а другой меньше 1.

Заметим сразу, что нам не подходит, ибо в этом случае мы получаем линейное уравнение относительно , которое не может иметь ровно двух корней.

Тогда при разделим обе части уравнения на :

   

Для того, чтобы данное уравнение имело два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1, нужно чтобы соответствующая парабола, ветви которой направлены вверх, пересекала прямую в точке, ордината которой лежит ниже оси OY. То есть должно быть выполнено условие:

   

После всех преобразований получаем:

   

Решением этого неравенства является промежуток:

.

Подготовка к вступительному экзамену по математике в РЭУ им. Г.В. Плеханова

Если вам требуется подготовка к вступительному экзамену по математике в РЭУ им. Г.В. Плеханова, вы можете обратиться к репетитору, профессионально занимающемуся подготовкой абитуриентов к этому экзамену. Возможны как очные занятия, так и занятия через интернет.