Вступительный экзамен в школу-интернат МГУ для одарённых детей

Совсем скоро при МГУ им. М.В. Ломоносова откроется школа-интернат для одаренных детей. Стать учеником этой школы сможет любой ребёнок из любого региона России, если он сможет сдать вступительные экзамены и пройти конкурсный отбор. Предлагаю вашем вниманию разбор типового варианта вступительного экзамена по математике в 10 класс школы-интерната МГУ для одарённых детей (математический профиль). Оцените сложность предлагаемых заданий. Возможно, они вам вполне посильны. В таком случае у вас есть все шансы на поступление.

1. Двум братьям необходимо было попасть на железнодорожную станцию в 5 км от их дома. Если бы они пошли пешком, то опоздали бы на 10 минут. Оставалась лишь одна возможность — использовать единственный велосипед. Оба брата попали на станцию одновременно, за 10 минут до отхода поезда. За сколько минут до отхода поезда они начали движение, если ходьба пешком втрое медленнее езды на велосипеде? Рассказать, как братья воспользовались велосипедом. (Ехать на велосипеде вдвоем нельзя.)

Поскольку оба брата попали на станцию одновременно , воспользоваться велосипедом они могли только следующим образом. Первый брат проехал первую половину пути на велосипеде, после чего слез с него и оставил его на дороге. Когда до велосипеда добрался второй брат, он сел на него и проехал оставшуюся половину пути на нём.

Пусть братья начали движение на минут до отхода поезда. Пусть также в километрах в минуту — скорость движения пешком. Тогда скорость движения на велосипеде равна километров в минуту. Тогда из условия задачи следует следующая система уравнений:

   

Итак, братья вышли за 50 минут до отправления поезда.

2. Решите двойное неравенство:

Заметим, что левая часть неравенства выполняется при любых из ОДЗ. Следовательно, решать надо только правую часть неравенства:

   

   

   

3. При каком наибольшем значении система уравнений     не имеет решение?

И первого уравнения выражаем , подставляем это во второе уравнение, после чего получаем:

   

   

   

Последнее уравнение не имеет решений относительно при и . Наибольшее из этих значений .

4. Пусть — несократимая дробь, где и — натуральные числа. На какое натуральное число можно сократить дробь , если известно, что она сократима?

Поскольку дробь сократима, то имеет место система:

   

где — целое число, причём , а и не имеют общих делителей. Решаем данную систему относительно и . В результате получаем:

   

Поскольку дробь несократима, то натуральные числа и не имеют общих делителей. Это значит, что для остаётся только один вариант — быть равным 11.

То есть исходная дробь сократима на 11. В качестве примера можно взять и . Тогда получаем:

   

Материал подготовил репетитор по математике и физике, осуществляющий помощь школьникам при подготовке к поступлению в школу-интернат при МГУ им. М.В. Ломоносова для одарённых детей, Сергей Валерьевич