Решение тригонометрических уравнений

Пятница, Июнь 15, 2012

Тригонометрические уравнения на ЕГЭ

В данной статье остановимся кратко на решении задач C1 из ЕГЭ по математике. Эти задания представляют собой уравнения, которые требуется, во-первых, решить (то есть найти их решения, причем все), во-вторых, осуществить отбор решений по тому или иному ограничению. В последние годы на ЕГЭ по математике в заданиях C1 школьникам предлагаются для решения тригонометрические уравнения, поэтому в данной статье разобраны только они. Примеры структурированы по методам решения уравнений, от самых элементарных, до достаточно сложных.

Прежде чем перейти к разбору конкретных тригонометрических уравнений, вспомним основные формулы тригонометрии. Приведем их здесь в справочном виде.

Основные формулы тригонометрии

Основные тригонометрические формулы

Решение простейших тригонометрических уравнений

Решение простейших тригонометрических уравнений

Решение простейших тригонометрических уравнений

Пример 1. Найдите корни уравнения

    \[ \cos\left(4x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}, \]

принадлежащие промежутку [-\pi;\pi).

Решение. Используем вторую формулу на рисунке. Здесь и далее полагаем k,\,n\in Z (на всякий случай, эта запись означает, что числа n и k принадлежат множеству целых чисел):

    \[ 4x+\frac{\pi}{4}=\pm\operatorname{arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}+2\pi k. \]

Арккосинус a есть число, заключенное в интервале от 0 до \pi, косинус которого равен a.

Арксинус a есть число, заключенное в интервале от -\pi до \pi, косинус которого равен a.

Другими словами, нам нужно подобрать такое число из промежутка [0;2\pi], косинус которого был бы равен -\frac{\sqrt{2}}{2}. Это число \frac{3\pi}{4}. Используя это, получаем:

    \[ 4x+\frac{\pi}{4} = \pm\frac{3\pi}{4}+2\pi k\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = \frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}, \\ x = -\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.\end{array}\right. \]

Вообще, значения тригонометрических функций от основных аргументов нужно знать. Их совсем чуть-чуть:

Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы таблица значений

Таблица значений тригонометрических функций

Хотя на самом деле запоминать их вовсе не обязательно. Существует очень простой алгоритм, используя который, можно в уме легко вычислять значения тригонометрических функций всех основных аргументов. Просто у каждого он свой. Придумайте его и для себя. Просто посмотрите на эту таблицу. Числа в ней расположены не случайным образом, определенная закономерность есть, постарайтесь ее найти.

Итак, вернемся к нашему заданию. Из полученных серий выбираем только те ответы, которые принадлежат промежутку [-\pi;\pi). Воспользуемся для этого методом двойных неравенств. Вы помните, что k и n — целые числа:

1) -\pi\leqslant\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}<\pi \Leftrightarrow  -1\leqslant \frac{1}{8}+\frac{k}{2}<1\Leftrightarrow  -\frac{9}{4}\leqslant k<\frac{7}{4}\Leftrightarrow  k = -2,\,-1,\,0,\,1\Leftrightarrow x=-\frac{7\pi}{8},\,-\frac{3\pi}{8},\,\frac{\pi}{8},\,\frac{5\pi}{8}.

2) -\pi\leqslant -\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}<\pi \Leftrightarrow -1\leqslant -\frac{1}{4}+\frac{k}{2}<1\Leftrightarrow-\frac{3}{2}\leqslant k<\frac{5}{2}\Leftrightarrow k = -1,\,0,\,1,\,2\Leftrightarrow x=-\frac{3\pi}{4},\,-\frac{\pi}{4},\,\frac{\pi}{4},\,\frac{3\pi}{4}.

Задача для самостоятельного решения №1. Найдите корни уравнения \sin\left(\frac{4x}{3}+\frac{\pi}{6}\right) =-\frac{1}{2}, принадлежащие промежутку [-2\pi;2\pi).

Показать ответ
Ответ:

\left \{-\frac{\pi}{4}+\frac{3\pi k}{2},\,-\frac{3\pi}{4}+\frac{3\pi n}{2}\right\}.

-\frac{7\pi}{4},\, -\frac{3\pi}{4},\, -\frac{\pi}{4},\, \frac{3\pi}{4},\, \frac{5\pi}{4}.

Решение линейных тригонометрических уравнений

Пример 2. Найдите корни уравнения

    \[ \sin x+\sqrt{3}\cos x=1, \]

принадлежащие промежутку [-2\pi;4\pi].

Решение. Подобные уравнения решаются один весьма интересным, на мой взгляд, способом. Разделим обе части на 2, уравнение тогда примет вид:

    \[ \frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = 1. \]

Подберем такое число, синус которого равен \frac{1}{2}, а косинус равен \frac{\sqrt{3}}{2}. Например, пусть это будет число \frac{\pi}{6}. С учетом этого перепишем уравнение в виде:

    \[ \sin\frac{\pi}{6}\sin x+\cos\frac{\pi}{6}\cos x=\frac{1}{2}. \]

Присмотревшись, слева от знака равенства усматриваем разложение косинуса разности x и \frac{\pi}{6}. Это и есть ключ к решению. Имеем:

    \[ \cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x-\frac{\pi}{6}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k\Leftrightarrow \]

    \[ \left[\begin{array}{l}x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}+2\pi k, \\ x-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{3}+2\pi n\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{2}+2\pi k, \\ x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n.\end{array}\right. \]

Осуществляем отбор решений, входящих в промежуток [-2\pi;4\pi).:

1) -2\pi\leqslant\frac{\pi}{2}+2\pi k\leqslant 4\pi \Leftrightarrow  -2\leqslant \frac{1}{2}+2k\leqslant 4\Leftrightarrow  -\frac{5}{4}\leqslant k\leqslant \frac{7}{4}\Leftrightarrow  k = -1,\,0,\,1\Leftrightarrow x=-\frac{3\pi}{2},\,\frac{\pi}{2},\,\frac{5\pi}{2}.

2) -2\pi\leqslant-\frac{\pi}{6}+2\pi n\leqslant 4\pi \Leftrightarrow  -2\leqslant -\frac{1}{6}+2n\leqslant 4\Leftrightarrow  -\frac{11}{12}\leqslant n\leqslant \frac{25}{12}\Leftrightarrow  n = 0,\,1,\, 2\Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{6},\,\frac{11\pi}{6},\,\frac{23\pi}{6}.

Задача для самостоятельного решения №2. Найдите корни уравнения \sqrt{3}\sin x+\cos x=1, принадлежащие промежутку [-3\pi;3\pi].

Показать ответ
Ответ:

\left \{2\pi k,\, \frac{2\pi}{3}+2\pi n\right\}.

0,\,-2\pi,\,-\frac{4\pi}{3},\, \frac{2\pi}{3},\, 2\pi,\, \frac{8\pi}{3}.

Решение тригонометрических уравнений методом замены переменной

Пример 3. Дано уравнение \operatorname{tg}^2 x+5\operatorname{tg} x+6=0.

а) Решите уравнение.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезке \left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right].

Решение. Сразу оговорим ограничения, накладываемые на переменную x в этом уравнении: x\ne\frac{\pi}{2}+\pi n. Откуда взялось это ограничение? Правильно, функция y=\operatorname{tg} x не существует при этих значениях x. Используем замену переменной: t=\operatorname{tg} x. Тогда уравнение принимает вид:

    \[ t^2+5t+6=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=-3, \\t=-2.\end{array}\right. \]

Переходим к обратной замене:

    \[ \left[\begin{array}{l}\operatorname{tg}x = -3,\\ \operatorname{tg}x = -2\end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = -\operatorname{arctg} 3+\pi k, \\ x=-\operatorname{arctg} 2+\pi n.\end{array}\right. \]

Осуществляем отбор решений. Проведем его на этот раз с использованием единичной окружности.

Решение тригонометрического уравнения, содержащего тангенсы, с помощью единичной окружности

Отбор корней с помощью единичной окружности

Из рисунка видно, что в интересующий нас промежуток входят только два значения из этих серий: -\operatorname{arctg} 2-\pi, -\operatorname{arctg} 3-\pi. Обратите внимание на один существенный момент. На рисунке точки -2 и -3 принадлежат оси тангенсов, а точки -\operatorname{arctg} 2, -\operatorname{arctg} 3, -\operatorname{arctg} 2-\pi и -\operatorname{arctg} 3-\pi — единичной окружности. Очень важно понимать, зачем это нужно для решения данной задачи.

Ответ: -\operatorname{arctg} 2-\pi, -\operatorname{arctg} 3-\pi.

Задача для самостоятельного решения №3. Дано уравнение 6\cos^2x-7\cos x-5=0.

a) Решите уравнение.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [-\pi;2\pi].

Показать ответ
Ответ:

\left \{\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k \right\}.

-\frac{2\pi}{3},\,\frac{2\pi}{3},\,\frac{4\pi}{3}.

Решение тригонометрических уравнений методом разложения на множители

Пример 4. Дано уравнение

    \[ \sin 2x=2\sin x-\cos x+1. \]

a) Решите уравнение.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку \left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right].

Решение. Равносильными преобразования приводим уравнение к виду:

    \[ \sin 2x=2\sin x-\cos x+1\Leftrightarrow \]

    \[ 2\sin x\cos x-2\sin x+\cos x-1=0\Leftrightarrow \]

    \[ 2\sin x(\cos x-1)+\cos x-1 =0\Leftrightarrow \]

    \[ (\cos x-1)(2\sin x+1) = 0\Lefrightarrow \left[\begin{array}{l}\cos x-1=0, \\ 2\sin x+1=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \]

    \[ \left[\begin{array}{l}\cos x=1, \\ \sin x=-\frac{1}{2} \end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=2\pi k, \\ x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n, \\ x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi z.\end{array}\right. \]

Осуществляем отбор решений с помощью единичной окружности.

Отбор решений с помощью единичной окружности решение задачи C1

Отбор решений с помощью единичной окружности

Из рисунка видно, что в интересующий нас промежуток входят только два значения из всех этих серий: -\frac{5\pi}{6},\,-2\pi.

Задача для самостоятельного решения №4. Дано уравнение

    \[ 3\sin 2x-4\cos x+3\sin x-2=0. \]

а) Решите уравнение.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку \left[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right].

Показать ответ
Ответ:

\left \{\operatorname{arcsin}\frac{2}{3}+2\pi k,\, \pi-\operatorname{arcsin}\frac{2}{3}+2\pi n,\,\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi z\right\}.

\frac{2\pi}{3},\,\pi-\operatorname{arcsin}\frac{2}{3},\,\frac{4\pi}{3}.

Комбинированные уравнения

При решении уравнений этого типа важно обращать внимание на область допустимых значений входящих в него переменных. Именно поэтому составители вариантов ЕГЭ не просят учеников осуществлять отбор решений из полученных серий ответов. Решение этих уравнений само собой подразумевает выполнение данной математической операции.

Пример 5. Решите уравнение:

    \[ \sqrt{1-2\sin 3x\sin 7x}=\sqrt{\cos 10x}. \]

Решение. Данное уравнение эквивалентно следующей системе:

    \[ \begin{cases}1-2\sin 3x\sin 7x=\cos 10x, \\ \cos 10x\geqslant 0.\end{cases} \]

Обратите внимание! Писать, что 1-2\sin 3x\sin 7x\geqslant 0, нет никакой необходимости, поскольку по условию это выражение равно выражению \cos 10x, которое, в свою очередь, больше или равно нулю.

Решаем первое уравнение системы:

    \[ 1-2\sin 3x\sin 7x=\cos (7x+10x)\Leftrightarrow \]

    \[ 1-2\sin 3x\sin 7x=\cos 3x\cos 7x-\sin 3x\sin 7x\Leftrightarrow \]

    \[ 1=\cos 3x\cos 7x+\sin 3x\sin 7x\Leftrightarrow \cos 4x=1. \]

    \[ \cos 10x = 1\Leftrightarrow 4x=2\pi k\Leftrightarrow x = \frac{\pi k}{2}. \]

Нужно, чтобы \cos 10x\geqslant 0, поразмыслив, понимаем, что поэтому из полученной серии ответов нам подходят только x=\pi k.

Ответ: \pi k.

Задача для самостоятельного решения №5. Решите уравнение: \sqrt{\sin 3x}=\sqrt{1+2\sin 4x\cos x}.

Показать ответ
Ответ: \left\{\frac{3\pi}{10}+2\pi k,\, \frac{7\pi}{10}+2\pi n,\, \frac{3\pi}{2}+2\pi m\right\}.
Пример 6. Решите уравнение:

    \[ \frac{2\sin^2 x-\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)-1}{\sqrt{\sin x}}=0. \]

Решение. Данное уравение равносильно системе:

    \[ \begin{cases}2\sin^2 x-\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)-1=0, \\ \sin x>0\end{cases}\Leftrightarrow \]

    \[ \begin{cases}2\cos^2 x-\cos x-1=0,\\ \sin x>0\end{cases}\Leftrightarrow \]

    \[ \begin{cases}\left[\begin{array}{l}\cos x = 1, \\ \cos x =-\frac{1}{2},\end{array} \\ \sin x >0\right.\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}\left[\begin{array}{l}x=2\pi k, \\ x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\end{array} \\ \sin x >0\right.\end{cases} \]

Тригонометрическая функция синус положительна в первой и второй координатной четвертях, поэтому из полученных серий выбираем только эту: x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k.

Раз уж мы с этим столкнулись, не лишним будет повторить, какие знаки принимают тригонометрические функций в различных координатных четвертях:

Знаки тригонометрических функций по координатным четвертям

Знаки функций, входящих в тригонометрические уравнения, по координатным четвертям

Ответ: \frac{2\pi}{3}+2\pi k.

Задача для самостоятельного решения №6. Решите уравнение: \frac{\cos 2x+\cos x}{1+\sqrt{\sin x}}=0.

Показать ответ
Ответ: \pi+2\pi k,\,\frac{\pi}{3}+2\pi n.
Пример 7. Решите уравнение:

    \[ \frac{\sin 2x}{|\cos x|}=2\sin x-2. \]

Решение. Область допустимых значения уравнения определяется условием: \cos x\ne 0, то есть x\ne\frac{\pi}{2}+\pi n. Разобьем решение на два случая:

1) Пусть \cos x>0, тогда уравнение принимает вид:

    \[ \frac{2\sin x\cos x}{\cos x} = 2\sin x-2\Leftrightarrow \]

    \[ 2\sin x=2\sin x-2\Leftrightarrow 0=-2. \]

Последнее равенство неверно, поэтому в данном случае решений у уравнения не будет.

2) Пусть \cos x<0, тогда уравнение принимает вид:

    \[ -\frac{2\sin x\cos x}{\cos x} = 2\sin x-2\Leftrightarrow \]

    \[ \sin x = \frac{1}{2}\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = \frac{\pi}{6}+2\pi k, \\ x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n.\end{array}\right. \]

Условию \cos x<0 удовлетворяет только последняя серия.

Ответ: x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n.

Задача для самостоятельного решения №7. Решите уравнение: \operatorname{ctg} x+\operatorname{tg} 2x = 0.

Показать ответ
Ответ: \frac{\pi}{2}+\pi n.

ЕГЭ по математике 2012 позади, все в ожидании результатов, которые обещали объявить во вторник 19 июня. Сейчас уже поздно желать высоких баллов на экзаменах нынешним выпускникам. Но вот пожелать успехов сегодняшним десятиклассникам я возможности не упущу. Удачи вам в подготовке и помните, что чем раньше она начнется, тем лучше будут результаты на экзамене.

Математический софизм о важности размерностей величин

Репетитор математики
Сергей Валерьевич

P. S. Уважаемые гости! Пожалуйста, не пишите в комментариях заявки на решение ваших уравнений. К сожалению, на это у меня совершенно нет времени. Такие сообщения будут удалены. Пожалуйста, ознакомьтесь со статьёй. Возможно, в ней вы найдёте ответы на вопросы, которые не позволили вам решить своё задание самостоятельно.

Комментарии

  1. Степан:

    Здравствуйте. Не могли бы помочь:
    sin x+2cos2x=3/2
    Заранее спасибо!

    1. Сергей:

      Здравствуйте, нужно использовать формулу двойного угла для косинуса:
      sinx+2(1-2sin^2x)=3/2
      sinx+2-4sin^2x=3/2
      8sin^2x-2sinx-1=0
      Подстановка sinx = t
      8t^2-2t-1=0
      То есть t = 1/2 или t=-1/4
      Обратная подстановка: sinx = 1/2 или sinx = -1/4.
      Откуда получаем: x = pi/6+2pi*n, 5pi/6+2pi*n, -arcsin(1/4)+2pi*n, pi+arcsin(1/4)+2pi*n.

      1. Аноним:

        Здравствуйте мне нужна ваша помощь

  2. Степан:

    Огромное спасибо!!!!!

  3. Степан:

    Очень вам благодарен! Но не могли бы еще помочь, нужно доказать тождество.
    2sin2a+sin4a / 2(cosa+cos3a)= tg2a*cosa

    1. Сергей:

      Рад был помочь. Что касается тождества. Упрощаем числитель: 2sin2a+sin4a = (формула синуса двойного угла) = 2sin2a+2sin2acos2a = 2sin2a(1+cos2a). Теперь упрощаем знаменатель: 2(cosa+cos3a) = (формула сумма косинусов) = 2*2cos2acosa. Теперь делим одно на другое: 2sin2a(1+cos2a)/(2*2cos2acosa) = tg2a(1+cos2a)/(cosa) = (формула косинуса двойного угла) = tg2a(1+2cos^2a-1)/(cosa) = tg2a*cosa.

  4. Дмитрий:

    Здравствуйте, не могли бы вы помочь!
    cos(3x+pi/4)=-√3/2

    1. Сергей:

      Здравствуйте,
      cos(3x+pi/4)=-√3/2
      3x+pi/4 = +-5pi/6+2pi*k
      3x = 7pi/12+2pi*n или 3x = -13pi/12+2pi*k
      x = 7pi/36+2pi*n/3 или x = -13pi/36+2pi*k/3

  5. Степан:

    Еще рас Спасибо))))

  6. Наталья:

    Добрый вечер! Помогите пожалуйста: tg x=3\2. Чему равен х?

    1. Сергей:

      Здравствуйте, x = arctg(3/2)+pi*n

      1. Наталья:

        спасибо огромное)

  7. Станислав:

    Здравствуйте, нужна подсказка:
    2sin^2(x) + cos(4x)=0 решая эту ересь, получил, что
    sin(x)=sqrt(2)/2, где X1= pi/4 + 2pi*n; X2=3pi/4 + 2pi*k;
    И найти нужно корни, удовлетворяющие условию:
    |x|<3/2, т.е x∈(-3/2;3/2)

    1. Станислав:

      сейчас вот биквадрат получился 8sin^4(x)-6sin^2(x) +1=0; я вообще могу записать, что
      cos^2(2x)=1-sin^2(2x)? могу ведь

      1. Станислав:

        Там sin(x)= +-sqrt(2)/2 и sin(x) = +-1/2; и в интервал: (-1.5;1.5) попадает только x= +-pi/4 и x= +-pi/6, вроде так.

        1. Сергей:

          Здравствуйте.
          Формула понижения степени:
          sin^2(x) = (1-cos(2x))/2. Тогда получаем:
          1-cos(2x)+cos(4x) = 0.
          Далее формула двойного косинуса: cos(4x) = 2cos^2(2x)-1. Получаем:
          2cos^2(2x)-cos(2x)=0
          cos(2x)(2cos(2x)-1) = 0
          cos(2x)=0 или cos(2x)=1/2
          x = pi/4+pi*k/2 или x = +-pi/6+pi*k
          На интервале (-1.5;1.5) это -pi/4, -pi/6, pi/6 и pi/4

          1. Станислав:

            надо запомнить формулу, спасибо)

  8. солнце:

    y=4 /(2 cosx-1)
    найдите область определения

    1. Сергей:

      Все числа, кроме x = +-pi/3+2pi*n. При этих значениях знаменатель равен 0, чего быть не должно.

  9. Гельмут:

    Здравствуйте, помогите пожалуйста . решить уравнение sin x/2 =корень из 2 делить на 2

    1. Сергей:

      Здравствуйте, sin x/2 =корень из 2 делить на 2, значит x/2 = pi/4+2pi*n и x/2 = 3pi/4+2pi*n. Откуда x = pi/8+pi*n и x = 3pi/8+pi*n.

  10. сергей:

    решите пожалуйста, arccos (- корень из 3/2)

    1. Сергей:

      Ответ: 5pi/6

  11. Юлия:

    Здравствуйте, помогите пожалуйста решить уравнение: 6sin^2x + sin2x = 4

    1. Сергей:

      Здравствуйте. Посмотрите пример 4, там аналогичное уравнение рассмотрено.

      1. Юлия:

        Спасибо!

  12. Екатерина:

    Здравствуйте, помогите пожалуйста вспомнить как решается cos (7pi)/12?

    1. Сергей:

      Здравствуйте. Начните с использования формулы понижения степени для косинуса.

  13. Ольга:

    Добрый день, подскажите пожалуйста.
    при решении тригонометрического уравнения произвожу упрощение: 2sin^2 (3pi/2+x) получаю 2cos^2x или (минус) — 2cos^2x? (^2 это синус в квадрате). Мне кажется все-таки без минуса, но я не уверена…

    1. Сергей:

      Здравствуйте, да, без минуса, конечно. Потому что в синус в квадрате.

  14. Дарья:

    Добрый вечер, можете помочь?
    y=(3x^2+4)*(5x^3-3)

    1. Сергей:

      Добрый вечер, это не тригонометрическое уравнение. А какое задание?

  15. Яна:

    Здравствуйте, подскажите пожалуйста, правильно сделала вычисление.
    sin2α/(sin2α+cos2α) ,если tgα= — 2
    sin2x=2tgx/tg^2x+1=- 4/5
    cos2x=1-tg^2x/1+tg^2x=-3/5
    -4/5 / (-4/5-3/5) = 4/7

    1. Сергей:

      Да, это одно из возможных решений. Не факт, что самое оптимальное, но ответ получается верный.

      1. Яна:

        Сергей, спасибо!

  16. Ярослав:

    y = (sqrt (1 — sin^2 x))/sinx =( sqrt (cos^2 x)) / sinx = cosx/sinx = ctgx
    Верно?

    1. Сергей:

      Нет, косинус в числителе нужно взять по модулю.

      1. Ярослав:

        Спасибо)

  17. Сергей:

    Уважаемые гости! Пожалуйста, не пишите в комментариях заявки на решение ваших уравнений. К сожалению, на это у меня совершенно нет времени. Такие сообщения будут удалены. Пожалуйста, ознакомьтесь со статьёй. Возможно, в ней вы найдёте ответы на вопросы, которые не позволили вам решить своё задание самостоятельно.

  18. Валерия:

    Добрый вечер! Можете мне объяснить: при решении тригонометрического ур-я получаю ответ х= ( Pi/3) * (-1)^n + (Pi/3) + Pi*n. Но в решебнике приводятся ответы x=( 2Pi/3) + 2Pi*n и x= Pi + 2Pi*n, как так получается?

  19. лина:

    sin^4x+cos^4x+2sin^2xcos^2x х=π/12

    помогите решить

  20. Игорь:

    Помогите решить системы
    sin x+cos y=1
    sin^2x+cos^2y=3/2

    sin x+cos y=0
    cos^2x+sin^2y=1/5

    x-y=Pi
    cos x-cos y=корень из 3

  21. Ира:

    Помогите решить)
    1)решите уравнение:
    2cos(x+pi/6)=√3.
    2)Найдите корни уравнения:
    2cosx-cos²x=0.

  22. Аноним:

    Указать сумму корней sin(пx)=1,принадлежащих промежутку(1;6).

  23. Кама:

    Здравствуйте, помогите найти действительный корень уравнения(((((( sin(x/4)+1-(1/x²) = 0

  24. Аноним:

    Помогите пожалуйста решить!!)
    Решите уравнение √3 — ctgx=0 на промежутке [0;п/2]. Ответ записать в градусах.

  25. Людмила:

    Помогите, пожалуйста, решить!!!!
    sin(x) + sin(2x +pi/6) = sqrt(3) * sin(2x) +1

  26. Тоня:

    Здравствуйте, можете подсказать каким методом надо решать уравнение cos(pi * x) + x^2 — 6x + 10 = 0?

    1. Сергей:

      Здравствуйте, x^2 — 6x + 10>=1, а -1<=cos(pi * x)<=1. Значит, нулю их сумма может быть только при таком значении x, когда x^2 — 6x + 10=1, а cos(pi * x)=-1. Это число 3.

    2. Юля:

      Графически

  27. Яков:

    Здравствуйте. Если изобразить знаки на тригонометрическом круге от функции sin2x, то они расположатся как у в четвертях как у тангенса. Вопрос почему так?

    1. Сергей:

      Здравствуйте, потому что sin(2x) = 2sin(x)*cos(x), а знак выражения sin(x)*cos(x) совпадает со знаком выражения sin(x)/cos(x).

  28. Лика:

    Помогите , пожалуйста, с заданием !
    при каких значениях параметра а уравнение cos^x+(2a+3) sinx-a^2 = 0 имеет три корння на промежутке (0; 2п)

  29. Сергей:

    Добрый день!
    В каких случаях пишут в конце разные буквы (и 2Пn, и 2Пк) ? Ведь при объединении решений этого будет некорректно?
    Будет ли ошибкой на ЕГЭ, если я всё время буду писать скажем 2Пк ?
    С уважением, Сергей.

    1. Сергей:

      Добрый день. Всё зависит от конкретной ситуации. Если Вы приведёте пример задания, в котором возникла спорная ситуация, тогда можно будет поговорить более предметно.

  30. Ольга:

    Добрый вечер, а подскажите пожалуйста, как решить это уравнение?

    8sin*(П/6)-2 = 14-16cos(в квадрате)*(П-6)

    П — это пи

  31. Lol:

    Помогите плиз.
    Постройке график функции y=2cos x+1

  32. Lola:

    Помогите решить уравнение, пожалуйста!
    y(x)=5sin(x/2)-3cos(1/2(x-Pi/3))

  33. Аноним:

    (sin pi/3 — 2 cos pi/2 + tg 11pi/6)tg(-pi/4)(sin 7pi/6 — 5 ctg 3pi/2 — tg 3pi/4 * tg(- 2pi/3) подскажите пожалуйста как решить

  34. Ренат:

    Здравствуйте. Помогите найти множествозначений функции
    y=2-cos^2x

  35. Moloko:

    Здравствуйте, не могу найти область определения у функции у=sqrt(sin(x+П/4))

  36. Андрей:

    Помогите пожалуйста
    Известно что sinx=-0,6; n<x<3n/2
    Найти значения а) cos x б) sin2x

  37. Шамиль:

    Здравствуйте, помогите пожалуйста:
    tg(2п-х)cos(3п/2+2х)=sin(-п/2)

  38. Аноним:

    существует ли угол х при котором выполняется тоджества sin cosx=cos sinx

  39. Аноним:

    корни данного уравнения:

    1−tgx/1+tgx=√ 3

    находящиеся в промежутке значений: x∈[−π;2π]

    1. Сколько всего таких корней :

    2. Наименьший корень: x=

    3. Наибольший корень: x=

  40. Светлана:

    Здравствуйте. Помогите решить уравнение sin x умножить на Пи\4 = корень из 2\2

  41. Александра:

    Здравствуйте, помогите пожалуйста решить уравнение:

    2*sin^2(3x)-sin(x)+cos(2x)=0

    буду примного благодарна

  42. Аноним:

    Решите пожалуйста
    Корень из 1-cosx+кореньcos (x/2+пи/2)=корень из 2

  43. Наталья:

    Здравствуйте, помогите решить уравнение cos3xcosx+sin3xsinx=1

  44. Ильвира:

    Здравствуйте! Помогите решить уравнение sin2х +2sin^2х =0
    и найти все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
    [-2π; -π/2].

  45. Алёна:

    Помогите мне пожалуйста с решением уравнения:
    Cos^2(2t+π\6)=1/2

  46. Алёна:

    Здравствуйте. Помогите мне пожалуйста с решением уравнения:
    Cos^2(2t+π\6)=1/2

  47. Амина:

    Здраствуйте. Помогите пожалуйста решить уравнение sin^2(x) + 2sin(x) × cos(x)= 3cos^2 (x)

  48. Алия:

    Помогите решить
    2cos^2x-1=0 на инетравле [-3p/2;3p/2]

  49. алекс:

    (cos(11π/12)-cos(π/12))/sin(5π/12)
    подскажите как это решить. с росписью действий. а чего то я запутался

  50. здрасте где круг

Добавить комментарий