Решение тригонометрических уравнений

Пятница, Июнь 15, 2012

Тригонометрические уравнения на ЕГЭ

В данной статье остановимся кратко на решении задач C1 из ЕГЭ по математике. Эти задания представляют собой уравнения, которые требуется, во-первых, решить (то есть найти их решения, причем все), во-вторых, осуществить отбор решений по тому или иному ограничению. В последние годы на ЕГЭ по математике в заданиях C1 школьникам предлагаются для решения тригонометрические уравнения, поэтому в данной статье разобраны только они. Примеры структурированы по методам решения уравнений, от самых элементарных, до достаточно сложных.

Прежде чем перейти к разбору конкретных тригонометрических уравнений, вспомним основные формулы тригонометрии. Приведем их здесь в справочном виде.

Основные формулы тригонометрии

Основные тригонометрические формулы

Решение простейших тригонометрических уравнений

Решение простейших тригонометрических уравнений

Решение простейших тригонометрических уравнений

Пример 1. Найдите корни уравнения

    \[ \cos\left(4x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}, \]

принадлежащие промежутку [-\pi;\pi).

Решение. Используем вторую формулу на рисунке. Здесь и далее полагаем k,\,n\in Z (на всякий случай, эта запись означает, что числа n и k принадлежат множеству целых чисел):

    \[ 4x+\frac{\pi}{4}=\pm\operatorname{arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}+2\pi k. \]

Арккосинус a есть число, заключенное в интервале от 0 до \pi, косинус которого равен a.

Арксинус a есть число, заключенное в интервале от -\pi до \pi, косинус которого равен a.

Другими словами, нам нужно подобрать такое число из промежутка [0;2\pi], косинус которого был бы равен -\frac{\sqrt{2}}{2}. Это число \frac{3\pi}{4}. Используя это, получаем:

    \[ 4x+\frac{\pi}{4} = \pm\frac{3\pi}{4}+2\pi k\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = \frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}, \\ x = -\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.\end{array}\right. \]

Вообще, значения тригонометрических функций от основных аргументов нужно знать. Их совсем чуть-чуть:

Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы таблица значений

Таблица значений тригонометрических функций

Хотя на самом деле запоминать их вовсе не обязательно. Существует очень простой алгоритм, используя который, можно в уме легко вычислять значения тригонометрических функций всех основных аргументов. Просто у каждого он свой. Придумайте его и для себя. Просто посмотрите на эту таблицу. Числа в ней расположены не случайным образом, определенная закономерность есть, постарайтесь ее найти.

Итак, вернемся к нашему заданию. Из полученных серий выбираем только те ответы, которые принадлежат промежутку [-\pi;\pi). Воспользуемся для этого методом двойных неравенств. Вы помните, что k и n — целые числа:

1) -\pi\leqslant\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}<\pi \Leftrightarrow  -1\leqslant \frac{1}{8}+\frac{k}{2}<1\Leftrightarrow  -\frac{9}{4}\leqslant k<\frac{7}{4}\Leftrightarrow  k = -2,\,-1,\,0,\,1\Leftrightarrow x=-\frac{7\pi}{8},\,-\frac{3\pi}{8},\,\frac{\pi}{8},\,\frac{5\pi}{8}.

2) -\pi\leqslant -\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}<\pi \Leftrightarrow -1\leqslant -\frac{1}{4}+\frac{k}{2}<1\Leftrightarrow-\frac{3}{2}\leqslant k<\frac{5}{2}\Leftrightarrow k = -1,\,0,\,1,\,2\Leftrightarrow x=-\frac{3\pi}{4},\,-\frac{\pi}{4},\,\frac{\pi}{4},\,\frac{3\pi}{4}.

Задача для самостоятельного решения №1. Найдите корни уравнения \sin\left(\frac{4x}{3}+\frac{\pi}{6}\right) =-\frac{1}{2}, принадлежащие промежутку [-2\pi;2\pi).

Показать ответ
Ответ:

\left \{-\frac{\pi}{4}+\frac{3\pi k}{2},\,-\frac{3\pi}{4}+\frac{3\pi n}{2}\right\}.

-\frac{7\pi}{4},\, -\frac{3\pi}{4},\, -\frac{\pi}{4},\, \frac{3\pi}{4},\, \frac{5\pi}{4}.

Решение линейных тригонометрических уравнений

Пример 2. Найдите корни уравнения

    \[ \sin x+\sqrt{3}\cos x=1, \]

принадлежащие промежутку [-2\pi;4\pi].

Решение. Подобные уравнения решаются один весьма интересным, на мой взгляд, способом. Разделим обе части на 2, уравнение тогда примет вид:

    \[ \frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = 1. \]

Подберем такое число, синус которого равен \frac{1}{2}, а косинус равен \frac{\sqrt{3}}{2}. Например, пусть это будет число \frac{\pi}{6}. С учетом этого перепишем уравнение в виде:

    \[ \sin\frac{\pi}{6}\sin x+\cos\frac{\pi}{6}\cos x=\frac{1}{2}. \]

Присмотревшись, слева от знака равенства усматриваем разложение косинуса разности x и \frac{\pi}{6}. Это и есть ключ к решению. Имеем:

    \[ \cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x-\frac{\pi}{6}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k\Leftrightarrow \]

    \[ \left[\begin{array}{l}x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}+2\pi k, \\ x-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{3}+2\pi n\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{2}+2\pi k, \\ x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n.\end{array}\right. \]

Осуществляем отбор решений, входящих в промежуток [-2\pi;4\pi).:

1) -2\pi\leqslant\frac{\pi}{2}+2\pi k\leqslant 4\pi \Leftrightarrow  -2\leqslant \frac{1}{2}+2k\leqslant 4\Leftrightarrow  -\frac{5}{4}\leqslant k\leqslant \frac{7}{4}\Leftrightarrow  k = -1,\,0,\,1\Leftrightarrow x=-\frac{3\pi}{2},\,\frac{\pi}{2},\,\frac{5\pi}{2}.

2) -2\pi\leqslant-\frac{\pi}{6}+2\pi n\leqslant 4\pi \Leftrightarrow  -2\leqslant -\frac{1}{6}+2n\leqslant 4\Leftrightarrow  -\frac{11}{12}\leqslant n\leqslant \frac{25}{12}\Leftrightarrow  n = 0,\,1,\, 2\Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{6},\,\frac{11\pi}{6},\,\frac{23\pi}{6}.

Задача для самостоятельного решения №2. Найдите корни уравнения \sqrt{3}\sin x+\cos x=1, принадлежащие промежутку [-3\pi;3\pi].

Показать ответ
Ответ:

\left \{2\pi k,\, \frac{2\pi}{3}+2\pi n\right\}.

0,\,-2\pi,\,-\frac{4\pi}{3},\, \frac{2\pi}{3},\, 2\pi,\, \frac{8\pi}{3}.

Решение тригонометрических уравнений методом замены переменной

Пример 3. Дано уравнение \operatorname{tg}^2 x+5\operatorname{tg} x+6=0.

а) Решите уравнение.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезке \left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right].

Решение. Сразу оговорим ограничения, накладываемые на переменную x в этом уравнении: x\ne\frac{\pi}{2}+\pi n. Откуда взялось это ограничение? Правильно, функция y=\operatorname{tg} x не существует при этих значениях x. Используем замену переменной: t=\operatorname{tg} x. Тогда уравнение принимает вид:

    \[ t^2+5t+6=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=-3, \\t=-2.\end{array}\right. \]

Переходим к обратной замене:

    \[ \left[\begin{array}{l}\operatorname{tg}x = -3,\\ \operatorname{tg}x = -2\end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = -\operatorname{arctg} 3+\pi k, \\ x=-\operatorname{arctg} 2+\pi n.\end{array}\right. \]

Осуществляем отбор решений. Проведем его на этот раз с использованием единичной окружности.

Решение тригонометрического уравнения, содержащего тангенсы, с помощью единичной окружности

Отбор корней с помощью единичной окружности

Из рисунка видно, что в интересующий нас промежуток входят только два значения из этих серий: -\operatorname{arctg} 2-\pi, -\operatorname{arctg} 3-\pi. Обратите внимание на один существенный момент. На рисунке точки -2 и -3 принадлежат оси тангенсов, а точки -\operatorname{arctg} 2, -\operatorname{arctg} 3, -\operatorname{arctg} 2-\pi и -\operatorname{arctg} 3-\pi — единичной окружности. Очень важно понимать, зачем это нужно для решения данной задачи.

Ответ: -\operatorname{arctg} 2-\pi, -\operatorname{arctg} 3-\pi.

Задача для самостоятельного решения №3. Дано уравнение 6\cos^2x-7\cos x-5=0.

a) Решите уравнение.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [-\pi;2\pi].

Показать ответ
Ответ:

\left \{\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k \right\}.

-\frac{2\pi}{3},\,\frac{2\pi}{3},\,\frac{4\pi}{3}.

Решение тригонометрических уравнений методом разложения на множители

Пример 4. Дано уравнение

    \[ \sin 2x=2\sin x-\cos x+1. \]

a) Решите уравнение.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку \left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right].

Решение. Равносильными преобразования приводим уравнение к виду:

    \[ \sin 2x=2\sin x-\cos x+1\Leftrightarrow \]

    \[ 2\sin x\cos x-2\sin x+\cos x-1=0\Leftrightarrow \]

    \[ 2\sin x(\cos x-1)+\cos x-1 =0\Leftrightarrow \]

    \[ (\cos x-1)(2\sin x+1) = 0\Lefrightarrow \left[\begin{array}{l}\cos x-1=0, \\ 2\sin x+1=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \]

    \[ \left[\begin{array}{l}\cos x=1, \\ \sin x=-\frac{1}{2} \end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=2\pi k, \\ x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n, \\ x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi z.\end{array}\right. \]

Осуществляем отбор решений с помощью единичной окружности.

Отбор решений с помощью единичной окружности решение задачи C1

Отбор решений с помощью единичной окружности

Из рисунка видно, что в интересующий нас промежуток входят только два значения из всех этих серий: -\frac{5\pi}{6},\,-2\pi.

Задача для самостоятельного решения №4. Дано уравнение

    \[ 3\sin 2x-4\cos x+3\sin x-2=0. \]

а) Решите уравнение.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку \left[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right].

Показать ответ
Ответ:

\left \{\operatorname{arcsin}\frac{2}{3}+2\pi k,\, \pi-\operatorname{arcsin}\frac{2}{3}+2\pi n,\,\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi z\right\}.

\frac{2\pi}{3},\,\pi-\operatorname{arcsin}\frac{2}{3},\,\frac{4\pi}{3}.

Комбинированные уравнения

При решении уравнений этого типа важно обращать внимание на область допустимых значений входящих в него переменных. Именно поэтому составители вариантов ЕГЭ не просят учеников осуществлять отбор решений из полученных серий ответов. Решение этих уравнений само собой подразумевает выполнение данной математической операции.

Пример 5. Решите уравнение:

    \[ \sqrt{1-2\sin 3x\sin 7x}=\sqrt{\cos 10x}. \]

Решение. Данное уравнение эквивалентно следующей системе:

    \[ \begin{cases}1-2\sin 3x\sin 7x=\cos 10x, \\ \cos 10x\geqslant 0.\end{cases} \]

Обратите внимание! Писать, что 1-2\sin 3x\sin 7x\geqslant 0, нет никакой необходимости, поскольку по условию это выражение равно выражению \cos 10x, которое, в свою очередь, больше или равно нулю.

Решаем первое уравнение системы:

    \[ 1-2\sin 3x\sin 7x=\cos (7x+10x)\Leftrightarrow \]

    \[ 1-2\sin 3x\sin 7x=\cos 3x\cos 7x-\sin 3x\sin 7x\Leftrightarrow \]

    \[ 1=\cos 3x\cos 7x+\sin 3x\sin 7x\Leftrightarrow \cos 4x=1. \]

    \[ \cos 10x = 1\Leftrightarrow 4x=2\pi k\Leftrightarrow x = \frac{\pi k}{2}. \]

Нужно, чтобы \cos 10x\geqslant 0, поразмыслив, понимаем, что поэтому из полученной серии ответов нам подходят только x=\pi k.

Ответ: \pi k.

Задача для самостоятельного решения №5. Решите уравнение: \sqrt{\sin 3x}=\sqrt{1+2\sin 4x\cos x}.

Показать ответ
Ответ: \left\{\frac{3\pi}{10}+2\pi k,\, \frac{7\pi}{10}+2\pi n,\, \frac{3\pi}{2}+2\pi m\right\}.
Пример 6. Решите уравнение:

    \[ \frac{2\sin^2 x-\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)-1}{\sqrt{\sin x}}=0. \]

Решение. Данное уравение равносильно системе:

    \[ \begin{cases}2\sin^2 x-\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)-1=0, \\ \sin x>0\end{cases}\Leftrightarrow \]

    \[ \begin{cases}2\cos^2 x-\cos x-1=0,\\ \sin x>0\end{cases}\Leftrightarrow \]

    \[ \begin{cases}\left[\begin{array}{l}\cos x = 1, \\ \cos x =-\frac{1}{2},\end{array} \\ \sin x >0\right.\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}\left[\begin{array}{l}x=2\pi k, \\ x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\end{array} \\ \sin x >0\right.\end{cases} \]

Тригонометрическая функция синус положительна в первой и второй координатной четвертях, поэтому из полученных серий выбираем только эту: x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k.

Раз уж мы с этим столкнулись, не лишним будет повторить, какие знаки принимают тригонометрические функций в различных координатных четвертях:

Знаки тригонометрических функций по координатным четвертям

Знаки функций, входящих в тригонометрические уравнения, по координатным четвертям

Ответ: \frac{2\pi}{3}+2\pi k.

Задача для самостоятельного решения №6. Решите уравнение: \frac{\cos 2x+\cos x}{1+\sqrt{\sin x}}=0.

Показать ответ
Ответ: \pi+2\pi k,\,\frac{\pi}{3}+2\pi n.
Пример 7. Решите уравнение:

    \[ \frac{\sin 2x}{|\cos x|}=2\sin x-2. \]

Решение. Область допустимых значения уравнения определяется условием: \cos x\ne 0, то есть x\ne\frac{\pi}{2}+\pi n. Разобьем решение на два случая:

1) Пусть \cos x>0, тогда уравнение принимает вид:

    \[ \frac{2\sin x\cos x}{\cos x} = 2\sin x-2\Leftrightarrow \]

    \[ 2\sin x=2\sin x-2\Leftrightarrow 0=-2. \]

Последнее равенство неверно, поэтому в данном случае решений у уравнения не будет.

2) Пусть \cos x<0, тогда уравнение принимает вид:

    \[ -\frac{2\sin x\cos x}{\cos x} = 2\sin x-2\Leftrightarrow \]

    \[ \sin x = \frac{1}{2}\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = \frac{\pi}{6}+2\pi k, \\ x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n.\end{array}\right. \]

Условию \cos x<0 удовлетворяет только последняя серия.

Ответ: x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n.

Задача для самостоятельного решения №7. Решите уравнение: \operatorname{ctg} x+\operatorname{tg} 2x = 0.

Показать ответ
Ответ: \frac{\pi}{2}+\pi n.

ЕГЭ по математике 2012 позади, все в ожидании результатов, которые обещали объявить во вторник 19 июня. Сейчас уже поздно желать высоких баллов на экзаменах нынешним выпускникам. Но вот пожелать успехов сегодняшним десятиклассникам я возможности не упущу. Удачи вам в подготовке и помните, что чем раньше она начнется, тем лучше будут результаты на экзамене.

Математический софизм о важности размерностей величин

Репетитор математики
Сергей Валерьевич

Комментарии

  1. катя:

    22sinx+23sin(2)x+23cos(2)x=22

    1. Sergey Seliverstov:

      Запись (2) означает «в квадрате»? Если да, то решение следующее: 23sin(2)x+23cos(2)x = 23 (основное тригонометрическое тождество). Тогда 22sinx+23=22, то есть sinx = -1/22, тогда x = (-1)^(n+1)*arcsin(1/22)+pi*n.

  2. Роман:

    arctg(x+2)-arctg(x+3)=3П/4

    1. Sergey Seliverstov:

      Это уравнение корней не имеет. Поскольку y = arctg(x) — возрастающая функция, то выражение arctg(x+2)-arctg(x+3) всегда отрицательно и не может быть равно положительному числу 3П/4.

  3. Иван:

    Добрый день, не могли бы вы подсказать , как решить уравнение 4cos(x/4+pi/6)=sqrt(3)

    1. Sergey Seliverstov:

      Делим обе части уравнения на 4, получаем: cos(x/4+pi/6)=sqrt(3)/4. Тогда x/4+pi/6 = +-arccos(sqrt(3)/4)+2pi*n, откуда x/4 = +-arccos(sqrt(3)/4)-pi/6+2pi*n, откуда x = +-4*arccos(sqrt(3)/4)-2pi/3+8pi*n.

  4. роман:

    помогите решить 14син 409* поделить на син49* пожалуйста ну очень надо!!!за ранние спасибо

    1. Sergey Seliverstov:

      Пожалуйста:
      14sin(409*)/sin(49*) = 14sin(360*+49*)/sin(49*) = 14sin(49*)/sin(49*) = 14.
      Обращайтесь.

  5. Евгения:

    128sin^2(20)sin^2(40)sin^2(60)sin^2(80)

    1. Sergey Seliverstov:

      9/2

  6. максим:

    Помогите решить,срочно надо:
    1)2cos^2x+7sinx=5
    2)sin(x+30 градусов)+cos(x+60 градусов)=1+cos2x
    3)cosx*cos2x*cos4x*cos8x=1/16

    1. Sergey Seliverstov:

      Первое уравнение сводится к квадратичному относительно sin(x), дальше легко решается. Если воспользоваться основным тригонометрическим тождеством, то можно привести уравнение к виду: 2sin^2x-7sinx+3=0, решая которое получаем, что sinx=0.5, откуда x = (-1)^n*pi/6+pi*n.

      Второе уравнение легко решить, воспользовавшись тем, что cos(x+60 градусов) = -sin(x-30 градусов). Доказать это можно с помощью формул приведения. Далее, используя формулу разности синусов, получаем 2sin(30 градусов)*cos(x)=1+cos2x. Далее, воспользовавшись формулой двойного косинуса, приводим уравнение к виду cosx-2cos^2x=0. Откуда cosx=0 или cosx = 0.5. Тогда ответ x = pi/2+pi*n или x =+-pi/3+2*pi*n.

      Последнее умножением на sinx обеих частей решается. После всех преобразований (формула двойного синуса) получается, что sinx = sin16x. Дальше понятно. Переносишь в одну сторону и преобразуешь разность в произведение. Долго писать. Если еще актуально, или есть какие-нибудь вопросы — поясню подробнее.

  7. olia:

    Спасибо за полезную информацию. Всё четко. Отлично! В примере 3 верно указан промежуток? Может быть [-2П; -П/2].

    1. Sergey Seliverstov:

      Да, минус потерялся. Спасибо большое!

  8. Katya:

    Нуждаюсь в помощи)
    (2Sinx+√3)/(2Cosx+1)=0

    1. Sergey Seliverstov:

      Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Поэтому 2Sinx+√3=0, а 2Cosx+1 not= 0. Из первого получаем Sinx = -√3/2, откуда x = -П/3+2Пn или x = -2П/3+2Пn. Из второго получаем: Cosx not= -1/2, откуда x not= +-2П/3+2Пn. Значит из полученных при решении первого уравнения серий подходит только первая. Ответ: x = -П/3+2Пn.

  9. Алиса:

    Помогите, пожалуйста))
    1)Sin4x/Cos4x-1=0
    2)Cos(x/2-pi/12)(Sin(x-pi/3)+1)=0
    3)(Cos4x+1)(Sin2x-1)=0

    1. Sergey Seliverstov:

      А в первом уравнении единица в знаменателе находится или из всей дроби вычитается?
      При решении остальных используем то, что произведение равно нулю с том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. То есть приравниваем к нулю каждую из скобок и решаем полученные уравнения. Для первого: Cos(x/2-pi/12) = 0, откуда x/2-pi/12 = pi/2 + pi*n, откуда x = 7*pi/6+2*pi*n. Или Sin(x-pi/3)+1 = 0, откуда x-pi/3 = -pi/2 + 2*pi*n, откуда x = -pi/6 + 2*pi*n. Для второго: Cos4x+1 = 0, откуда 4x = -pi+2*pi*n, откуда x = -pi/4+pi/4*n. Или Sin2x-1 = 0, откуда 2x = pi/2+2*pi*n, откуда x = pi/4+pi*n.

  10. Алиса:

    спасибо большое))

    1. Sergey Seliverstov:

      Пожалуйста. Так а насчет первого то что? Или пропала уже необходимость?

  11. Алиса:

    первое я решила)

  12. анна:

    ctg^2x-(корень из 3-1) ctgx-корень из 3=0.. Надеюсь на помощь..

    1. Sergey Seliverstov:

      Замена: пусть ctgx = t. Уравнение t^2-(корень из 3-1) t-корень из 3=0 решается с помощью дискриминанта, получается два корня t=-1, t=корень из 3. Обратная замена: ctgx=-1, ctgx=корень из 3. Из первого получаем, что x=-pi/4+pi*n, из второго: x=pi/6+2pi*k, n,k — целые числа.

  13. Sashylka:

    tg x= -1 Помогите

    1. Sergey Seliverstov:

      Почитайте выше, как такие уравнения решаются.
      Ответ: x = -pi/4 + pi*n.

  14. Александр:

    Уважаемый «репетитор» Сергей! Арккосинус a есть число, заключенное в интервале от 0 до 2\pi, косинус которого равен a.

    Арксинус a есть число, заключенное в интервале от -\pi до \pi, косинус которого равен a.
    . МОЖЕТ быть интервал все же о 0 до pi

    1. Sergey Seliverstov:

      Да, конечно, Вы правы.

  15. ИРИШКА:

    sin^4(x)+cos^4(x)=7/8. заранее спасиба

    1. Sergey Seliverstov:

      Надо к обеим частям прибавить 2cos^2(x)*sin^2(x):
      cos^4(x)+2cos^2(x)*sin^2(x)+sin^4(x)=7/8+2cos^2(x)*sin^2(x)
      (cos^2(x)+sin^2(x))^2=7/8+0.5*sin^2(2x)
      1=7/8+0.5*sin^2(2x)
      sin^2(2x)=1/4
      [sin(2x)=0.5
      [sin(2x)=-0.5
      [2x=(-1)^n*π/6+πn
      [2x=(-1)^(n+1)*π/6+πn
      [x=(-1)^n*π/12+πn/2
      [x=(-1)^(n+1)*π/12+πn/2
      или проще:
      [x=-π/12+πn/2
      [x=π/12+πn/2

  16. Димитрий:

    Добрый день подскажите плиз синус пи на 6?????????????

    1. Sergey Seliverstov:

      Дмитрий, 1/2 (одна вторая).

  17. Наталия:

    Сергей, с Рождеством!
    Уже продолжительное время не могу решить уравнение:2cosx-sinx=2+2sinx Перепробовала много подходов, но не получается.Что-то не учитываю. Помогите, пожалуйста.

  18. Наталия:

    Сергей,простите, допустила в условии ошибку:
    2cosx-sin2x=2+2sinx

    1. Sergey Seliverstov:

      Наталья, спасибо. Вас тоже с Рождеством!
      Вот решение:
      sin2x+2sinx=2-2cosx. Перепишем в виде:
      sin2x +1+ 2 (sin x + cos x) — 3=0
      Замена: t = sinx+cosx.
      Заметим, что t² = (sinx +cosx)² = sin ² x +2 sin x cos x +cos² x = 1+sin2x.
      Тогда уравнение принимает вид:
      t² +2t -3 =0.
      Решения: t=1 и t= -3. Последний не подходит, поскольку sin x + cos x = -3
      не имеет решений в силу ограниченности синуса и косинуса.
      Тогда sin x + cos x =1. Используем формулу дополнительного аргумента: √2sin(x+π/4)=1. Откуда: x+π/4 = π/4+2πn и x+π/4 = 3π/4+2πn. Окончательно: х = π/2 +2πn и х = 2πn.

  19. Наталия:

    Сергей, огромное Вам СПАСИБО!!Я хорошо подумаю над этой методикой. Правда, одно решение в ответе отличается, но я все прорешаю( сейчас нет времени) и Вам сообщу.
    Еще раз, спасибо, что Вы есть!

  20. Наталия:

    Сергей, добрый день! У Вас просто описка.
    Когда Вы переносили из одной части ур-ния в другую, перепутали знак sin2x+2sinx=2cosx-2
    {Хотя, эта манипуляция лишняя, все равно все переписывается слева.Тогда t=sinx-cosx , и корни t=-1 и t=3 Теперь еще вопрос: если сворачивать через синус доп арг ,ответ полностью совпадает, а если через косину.с, то у меня получается -pi/2, а в ответе 3pi/2 Конечно, ответ совпадает, учитывая период, но все же как правильнее записать?Заранее спасибо.

    1. Sergey Seliverstov:

      Наталья, любой из этих вариантов записи будет правильным.

  21. Елена:

    cos^4x + sin^4x= sinx cosx
    помогите пожалуйста

    1. Sergey Seliverstov:

      К обеим частям нужно прибавить 2sin²x*cos²x. Получается:

      sin^4+cos^4=sinx*cosx
      sin^4+2sin²x*cos²x+cos^4=sinx*cosx+2sin²xcos²x
      (sin²x+cos²x)² = sin2x/2 + sin²2x/2
      2=sin2x+sin²2x
      sin²2x+sin2x-2=0
      (sin2x+2)(sin2x-1)=0

      sin2x=1
      2x=pi/2 + 2pi*k
      x=pi/4 + pi*k

  22. Наталья:

    Вопрос по первому Задача для самостоятельного решения №1. Арксинус (-1/2) это 7п/6 или 11п/6, но при этих значениях у меня не получаються корни (-3п/4, -п/4) Где ошибка? Уже сутки думаю……)

    1. Sergey Seliverstov:

      Наталья, арксинус (-1/2) = -п/6. Арксинус может принимать значения только из промежутка [-п/2;п/2].

  23. Наталья:

    Добрый день! Задача для самостоятельного решения №1. Как я понимаю, значение арксинуса(-1/2) это 7п/6, но при этом значении не получаються корни (-п/4,-3п/4) Подскажите где ошибка)

    1. Балова Акмарал:

      арксинус(-1/2)= -p/6

      1. Сергей:

        Нет, арксинус(-1/2) = 2pi/3

  24. аня:

    можно спросить а как вы научились всему этому как вы запомнили все эти формулы

    1. Sergey Seliverstov:

      Было бы странно, если бы я их не запомнил, учитывая, что занимаюсь этим всю жизнь почти:-).

  25. Никита:

    В первом примере ошибка! k= -1 .0 .1 .2. k/2 забыли домножить неравенство

    1. Sergey Seliverstov:

      Тут, действительно, ошибка была, спасибо большое. Еще один корень из промежутка добавился, соответственно.

  26. Никита:

    пример 3 неправельно пример записан 5tg x должно быть

    1. Sergey Seliverstov:

      Спасибо, исправил.

  27. настя:

    почему вы решаете математику в линейку ,а не в клеточку ?

    1. Sergey Seliverstov:

      Мне кажется, что так удобнее)

  28. Анна:

    3sin2x+cos2x=2cos²x
    Помогите решить.
    Решила, но есть сомнения…ох давно это было

    1. Sergey Seliverstov:

      Здравствуйте, Анна
      3sin2x+cos2x=2cos^2x
      Сначала формула понижения степени:
      3sin2x+cos2x=2*(1+cos2x)/2
      3sin2x+cos2x=1+cos2x
      3sin2x=1
      sin2x=1/3
      2x=(-1)^n*arcsin1/3+пи*n
      x=1/2((-1)^n*arcsin1/3)+пи*n/2

  29. Юлия:

    Здравствуйте, извините,не могли бы вы помочь мне? 1. найти корни уравнения cos (3x — п/2) = 1/2, принадлежащие полуинтервалу (п; 3п/2]
    2. 3arcctg (-корень из 3/3 )+1/2 arccos (корень из 2/2) у меня получилось 17п/8, правильно? Буду вам очень признательна!

    1. Sergey Seliverstov:

      Здравствуйте,

      1. 3x — п/2 = п/3 + 2пn или 3x — п/2 = -п/3 + 2пn. Откуда x = 5п/18+2пn/3 или x = п/18+2пn/3. Значит полуинтервалу (п; 3п/2] принадлежит только одно значение из второй серии при n = 2, оно равно x = 25*pi/18.
      2. 3*(2п/3)+1/2*п/4 = 17п/8. Правильно)

      1. Юлия:

        Спасибо вам огромное!!!!! теперь я точно к контрольной готова;-)

        1. Sergey Seliverstov:

          Всегда пожалуйста! Удачи вам на контрольной:-)

          1. Сергей:

            И не забывайте учить математику)

  30. LanaShewel:

    ЗДРАВСТВУЙТЕ,СЕРГЕЙ.
    Помогите, пожалуйста..
    y=x2*cosx
    y’=

    1. Sergey Seliverstov:

      Здравствуйте, если имелось ввиду y=x^2*cosx, то y’ = 2x*cosx — x^2*sinx.

  31. виталий:

    помогите пожалуйста решить
    (кв.корень из 1-cos^2 (x))+6*cos(2x)=0

    1. Сергей:

      После преобразования получаем: 1/2*(1+11 cos(2 x)) = 0, откуда x = +-1/2*arccos(-1/11)+pi*n.

  32. Наташа:

    здравствуйте, подскажите пожалуйста, почему в уравнении 4sin^2x=tgx на промежутке от минус пи до нуля входят решения -11пи/12 и -7пи/12, не могу сообразить по числовой окружности как это

    1. Сергей:

      Здравствуйте, можно преобразовать к виду: sin(x)*(4*sin(x)-1/cos(x))= 0, откуда корни: pi*n, pi/12+pi*n, 5*pi/12+pi*n. Там какой промежуток? (-pi;0) или [-pi;0]? На промежутке от минус пи до нуля входят решения -11пи/12 и -7пи/12 потому что -11pi/12 больше -12pi/12 = -pi, но меньше 0, аналогично -7*pi/12. Эти значения получаются для вторых серий при n=-1. Вообще, если не понятно, как решать с помощью окружности, можно решить с помощью двойных неравенств. Если промежуток [-pi; 0], то ответ получается 0, -pi, -11pi/12, -7pi/12.

  33. Екатерина:

    2sin(x/2+π/4)=√(1+8sin(x/3)cos^2(x/3))

    1. Сергей:

      Наберите в поисковике «иррациональные тригонометрические уравнения», найдете много аналогичных примеров.

  34. valentina:

    помогите решить модульsinx+модульcosx=1,4

    1. Сергей:

      Начните с возведения в квадрат обеих частей уравнения. Тогда уравнение сведётся к одному модулю: |sin(2x)| = 0.96, которое легко решается.

  35. Анастасия:

    А как решить не уравнение, а выражение 7sin^4a-7cos^4a+1, ecли cos2a=3:8?

    1. Сергей:

      7sin^4a-7cos^4a+1 = 1-7(cos^2a-sin^2a)+1 = 1-7cos2a = -13/8

  36. Мзия:

    Здравствуйте, Сергей! будет ли ошибкой, если ответом к уравнению sinx=-1/2 записать такие две серии корней: х=5π/6+2πk и х=11π/6+2πk
    Или обязательно -π/6+2π5 и -5π/6 +2πK?
    Будет ли при проверке экспертами экзаменационной работы принят первый вариант ответа?

    1. Сергей:

      Здравствуйте, первый ответ точно не будет принят, он не правильный, правильно будет: х=7π/6+2πk и х=11π/6+2πk. Это ответ эксперты должны принять.

      1. Мзия:

        Конечно я ошиблась! Спасибо!

  37. Лили:

    Здравствуйте,помогите пожалуйста)
    Найти все корни уравнения sin2x + 16cos²x = 4
    на промежутке [п/4;3п/2]
    Само уравнение я решила ,получилось х=arctg2+пn; x=-arctg3/2+пn ,найти на промежутках не могу…

    1. Сергей:

      Здравствуйте. Посмотрите пример 3 из статьи, там подробно рассказано, как осуществлять отбор решений в этом случае. Отбирать корни нужно с помощью единичной окружности.

  38. Лина:

    cos(п/2+x) = корень из 3 разделить на 2

    1. Сергей:

      Посмотрите пример №1, там абсолютно аналогичное задание.

  39. Ольга:

    Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, решить
    cos(4)x+cos(4)(x-п/4)=1/4

  40. Ольга:

    cos^4(x)+cos^4(x-Pi/4)=1/4

    1. Сергей:

      Нужно воспользоваться формулой понижения степени, после чего привести выражение к виду: sin(2x)+cos(2x) + 1 = 0. Последнее уже легко решается.

  41. Ольга:

    Спасибо! Всё получилось!

    1. Сергей:

      Пожалуйста, Ольга, обращайтесь ещё:)

  42. Роман:

    y=cosx/2+1

    1. Сергей:

      и что с этим делать надо?

  43. Элисон:

    http://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8780e32081992db3864252eb90f3d88f_l3.png
    Я не очень поняла как это решается, ответы совершенно другие выходят

    1. Сергей:

      Какие у Вас получаются ответы?

  44. Амир:

    Здравствуйте! Как решается эта задача из ЕГЭ за 10 класс?
    Найдите, при каких значениях параметра «а» уравнение
    (15sinx-a-5)(15sinx+2a-5)=0 имеет ровно 2 решения на промежутке [0;2пи).
    Очевидное решение при а=0. А как находятся другие решения (-20; -5) и {0} и {10}? Особенно непонятно почему дан такой ответ для первого промежутка?

    1. Сергей:

      Здравствуйте. Вот несколько идей. Уравнение эквивалентно двум: sinx = (a+5)/15 и sinx = (5-2a)/15. Используем то, что -1<=sinx<=1. Тогда первое уравнение имеет корни при -20<=a<=10, а второе - при -5<=a<=10. Из этих значений "a" надо выбрать такие, при которых у обоих уравнений в совокупности будет 2 не совпадающих корня.

  45. Мария Надеева:

    система уравнений
    cos 2x=1/2
    sin 3x=-1
    принадлежит промежутку (-п;п)
    нужно найти количество решений

    1. Сергей:

      Решением второго уравнения является серия x = pi/2+2*pi*n/3. В промежуток (-pi;pi) из этой серии входят числа -5*pi/6, -pi/6, pi/6, 5*pi/6. Решением первого уравнения является серия x = +-pi/6 + pi*n. В промежуток (-pi;pi) входят числа -5*pi/6, -pi/6, pi/6, 5*pi/6. То есть общих решений 2 (-5*pi/6 и -pi/6).

  46. гуля:

    здравствуйте. помогите, пожалуйста
    2sin2(x/2 + X)=- кв.корень из 3 cosx
    найти корни из [-3pi;-3/2pi]

    1. Сергей:

      Здравствуйте, sin2(x/2 + X) это синус в квадрате или 2 умножить на скобку?

  47. Никита:

    Здравствуйте. Помогите, пожалуйста с уравнением.
    2cosx+sinx+sin2x+1=0.

    1. Сергей:

      Здравствуйте.
      Используем формулу двойного угла: sin2x = 2sinxcosx:
      2cosx+sinx+2sinxcosx+1=0
      sinx+1+2cosx(sinx+1)=0
      (sinx+1)(1+2cosx) = 0
      sinx+1=0 или 1+2cosx=0
      sinx=-1 или cosx=-1/2
      x=3pi/2+2pi*n или x=+-2pi/3+2pi*k

      1. Никита:

        Последний пункт, я так понял ответ.
        x=3π/2+2π умноженные на n? А во втором, умноженные на k? Верно?

        1. Сергей:

          Совершенно верно

  48. Никита:

    Спасибо большое.

  49. Никита:

    Здравствуйте ещё раз. У меня снова возникли трудности с уравнением. Помогите, если не трудно.
    3√1+cosx (под корнем все от 1 до cosx)=√6 sinx.

    1. Сергей:

      Здравствуйте. При sin x>=0 при возведении обеих частей в квадрат получаем:
      9(1+cosx) = 6sin^2x
      3+3cosx = 2(1-cos^2x)
      2cos^2x +3cosx+1 = 0
      Замена: cosx = t
      2t^2+3t+1 = 0
      t = -1 или t = -1/2
      Обратная замена:
      cosx = -1 или cosx = -1/2
      x = pi+2pi*n или x = +-2pi/3+2pi*k
      Условию sinx>=0 удовлетворяют x = pi+2pi*n и x = 2pi/3+2pi*k.

  50. Тая:

    Помогите, пожалуйста, с заданиями!
    Вычислить:
    1. tg x, если sin x = -12 / 13, х Є (pi; 3pi/2)
    2. √3 tg x, если cos x = -4√3 / 7, х Є (pi / 2; pi)

    И подскажите, что за тема и где её можно рассмотреть, чтобы самому разобраться. Заранее спасибо!

    1. Сергей:

      1. sin^2x+cos^2 = 1, откуда cosx = 5/13 и cosx = -5/13. Так как х Є (pi; 3pi/2), то подходит только cosx = -5/13. Тогда tgx = sinx/cosx = 12/5.
      2. Здесь аналогично, sin x = 1/7 и sin x = -1/7. Так как х Є (pi / 2; pi), то подходит только sin x = -1/7. Тогда √3 tg x = 1/4.
      Тема называется «Основные тригонометрические формулы». На мой взгляд, эта тема очень хорошо изложена в учебнике по математике Мордковича за 10 класс.

  51. Степан:

    Здравствуйте. Не могли бы помочь:
    sin x+2cos2x=3/2
    Заранее спасибо!

    1. Сергей:

      Здравствуйте, нужно использовать формулу двойного угла для косинуса:
      sinx+2(1-2sin^2x)=3/2
      sinx+2-4sin^2x=3/2
      8sin^2x-2sinx-1=0
      Подстановка sinx = t
      8t^2-2t-1=0
      То есть t = 1/2 или t=-1/4
      Обратная подстановка: sinx = 1/2 или sinx = -1/4.
      Откуда получаем: x = pi/6+2pi*n, 5pi/6+2pi*n, -arcsin(1/4)+2pi*n, pi+arcsin(1/4)+2pi*n.

  52. Степан:

    Огромное спасибо!!!!!

  53. Степан:

    Очень вам благодарен! Но не могли бы еще помочь, нужно доказать тождество.
    2sin2a+sin4a / 2(cosa+cos3a)= tg2a*cosa

    1. Сергей:

      Рад был помочь. Что касается тождества. Упрощаем числитель: 2sin2a+sin4a = (формула синуса двойного угла) = 2sin2a+2sin2acos2a = 2sin2a(1+cos2a). Теперь упрощаем знаменатель: 2(cosa+cos3a) = (формула сумма косинусов) = 2*2cos2acosa. Теперь делим одно на другое: 2sin2a(1+cos2a)/(2*2cos2acosa) = tg2a(1+cos2a)/(cosa) = (формула косинуса двойного угла) = tg2a(1+2cos^2a-1)/(cosa) = tg2a*cosa.

  54. Дмитрий:

    Здравствуйте, не могли бы вы помочь!
    cos(3x+pi/4)=-√3/2

    1. Сергей:

      Здравствуйте,
      cos(3x+pi/4)=-√3/2
      3x+pi/4 = +-5pi/6+2pi*k
      3x = 7pi/12+2pi*n или 3x = -13pi/12+2pi*k
      x = 7pi/36+2pi*n/3 или x = -13pi/36+2pi*k/3

  55. Степан:

    Еще рас Спасибо))))

  56. Наталья:

    Добрый вечер! Помогите пожалуйста: tg x=3\2. Чему равен х?

    1. Сергей:

      Здравствуйте, x = arctg(3/2)+pi*n

      1. Наталья:

        спасибо огромное)

  57. Станислав:

    Здравствуйте, нужна подсказка:
    2sin^2(x) + cos(4x)=0 решая эту ересь, получил, что
    sin(x)=sqrt(2)/2, где X1= pi/4 + 2pi*n; X2=3pi/4 + 2pi*k;
    И найти нужно корни, удовлетворяющие условию:
    |x|<3/2, т.е x∈(-3/2;3/2)

    1. Станислав:

      сейчас вот биквадрат получился 8sin^4(x)-6sin^2(x) +1=0; я вообще могу записать, что
      cos^2(2x)=1-sin^2(2x)? могу ведь

      1. Станислав:

        Там sin(x)= +-sqrt(2)/2 и sin(x) = +-1/2; и в интервал: (-1.5;1.5) попадает только x= +-pi/4 и x= +-pi/6, вроде так.

        1. Сергей:

          Здравствуйте.
          Формула понижения степени:
          sin^2(x) = (1-cos(2x))/2. Тогда получаем:
          1-cos(2x)+cos(4x) = 0.
          Далее формула двойного косинуса: cos(4x) = 2cos^2(2x)-1. Получаем:
          2cos^2(2x)-cos(2x)=0
          cos(2x)(2cos(2x)-1) = 0
          cos(2x)=0 или cos(2x)=1/2
          x = pi/4+pi*k/2 или x = +-pi/6+pi*k
          На интервале (-1.5;1.5) это -pi/4, -pi/6, pi/6 и pi/4

          1. Станислав:

            надо запомнить формулу, спасибо)

  58. солнце:

    y=4 /(2 cosx-1)
    найдите область определения

    1. Сергей:

      Все числа, кроме x = +-pi/3+2pi*n. При этих значениях знаменатель равен 0, чего быть не должно.

  59. Гельмут:

    Здравствуйте, помогите пожалуйста . решить уравнение sin x/2 =корень из 2 делить на 2

    1. Сергей:

      Здравствуйте, sin x/2 =корень из 2 делить на 2, значит x/2 = pi/4+2pi*n и x/2 = 3pi/4+2pi*n. Откуда x = pi/8+pi*n и x = 3pi/8+pi*n.

  60. сергей:

    решите пожалуйста, arccos (- корень из 3/2)

    1. Сергей:

      Ответ: 5pi/6

  61. Юлия:

    Здравствуйте, помогите пожалуйста решить уравнение: 6sin^2x + sin2x = 4

    1. Сергей:

      Здравствуйте. Посмотрите пример 4, там аналогичное уравнение рассмотрено.

      1. Юлия:

        Спасибо!

  62. Екатерина:

    Здравствуйте, помогите пожалуйста вспомнить как решается cos (7pi)/12?

    1. Сергей:

      Здравствуйте. Начните с использования формулы понижения степени для косинуса.

  63. Ольга:

    Добрый день, подскажите пожалуйста.
    при решении тригонометрического уравнения произвожу упрощение: 2sin^2 (3pi/2+x) получаю 2cos^2x или (минус) — 2cos^2x? (^2 это синус в квадрате). Мне кажется все-таки без минуса, но я не уверена…

    1. Сергей:

      Здравствуйте, да, без минуса, конечно. Потому что в синус в квадрате.

Добавить комментарий