Сопротивление куба

Воскресенье, Сентябрь 25, 2016

Рассмотрим классическую задачу. Дан куб, рёбра которого представляют собой проводники с каким-то одинаковым сопротивлением. Этот куб включается в электрическую цепь между всевозможными его точками. Вопрос: чему равно сопротивление куба в каждом из этих случаев? В данной статье репетитор по физике и математике рассказывает о том, как решается эта классическая задача. Присутствует также видеоурок, в котором вы найдёте не только подробное объяснение решения задачи, но и реальную физическую демонстрацию, подтверждающую все вычисления.



Итак, куб может быть включен в цепь тремя различными способами.

Сопротивление куба между противоположными вершинами

В этом случае ток, дойдя до точки A, распределяется между тремя рёбрами куба. При этом, поскольку все три ребра эквивалентны с точки зрения симметрии, ни одному из рёбер нельзя придать большую или меньшую «значимость». Поэтому ток между этими рёбрами должен распределиться обязательно поровну. То есть сила тока в каждом ребре равна I:

Сопротивление куба, подключенного в электрическую цепь за диаметрально противоположные вершины

В результате получается, что падение напряжения на каждом из этих трёх рёбер одинаково и равно U=IR, где R — сопротивление каждого ребра. Но падение напряжение между двумя точками равно разности потенциалов между этими точками. То есть потенциалы точек C, D и E одинаковы и равены \varphi_A+IR. Из соображений симметрии потенциалы точек F, G и K также одинаковы.

Точки с одинаковым потенциалом можно соединять проводниками. Это ничего не изменит, потому что по этим проводникам всё равно не потечёт никакой ток:

Соединяем точки с одинаковым потенциалом в кубе, подключённом в электрическую цепь за диаметрально противоположные углы

В результате получим, что рёбра AC, AD и AE соединятся в одной точке. Назовём её точкой T. Точно также рёбра FB, GB и KB соединятся в одной точке. Назовём её точкой M. Что касается оставшихся 6 рёбер, то все их «начала» окажутся соединены в точке T, а все концы — в точке M. В результате мы получим следующую эквивалентную схему:

Эквивалентная схема подключения проволочного куба за противоположные вершины

Посчитать сопротивление такой схемы уже не составляет труда:

    \[ R_{total} = \frac{R}{3}+\frac{R}{6}+\frac{R}{3} = \frac{5}{6}R. \]

Сопротивление куба между противолежащими углами одной грани

В данном случае эквивалентными являются рёбра AD и AC. По ним потечёт одинаковый ток I_1. Кроме того, эквивалентными также являются KE и KF. По ним потечёт одинаковый ток I_2. Ещё раз повторим, что ток между эквивалентными рёбрами должен распределиться поровну, в противном случае нарушится симметрия:

Проволочный куб с отводящими проводами от противоположных углов одной грани

Таким образом, в данном случае одинаковым потенциалом обладают точки C и D, а также точки E и F. Значит эти точки можно объединить. Пусть точки C и D объединятся в точке M, а точки E и F — в точке T. Тогда получится следующая эквивалентная схема:

Эквивалентная схема проволочного куба, подключенного к источнику за противоположные углы одной грани

На вертикальном участке (непосредственно между точками T и M) ток не течёт. Действительно, ситуация аналогична уравновешенному измерительному мосту. Это означает, что данной звено можно исключить из цепи. После этого посчитать общее сопротивление не составит труда:

Упрощённая эквивалентная схема проволочного куба, подключенного к противоположным углам одной грани

Сопротивление верхнего звена равно 3R, нижнего — R. Тогда общее сопротивление равно:

    \[ R_{total} = \frac{3R\cdot R}{3R+R} = \frac{3}{4}R. \]

Сопротивление куба между прилежащими вершинами одной грани

Это последний возможный вариант подключения куба в электрическую цепь. В этом случае эквивалентными рёбрами, через которые будет течь одинаковый ток, являются рёбра AC и AB. И, соответственно, одинаковые потенциалы будут иметь точки C и D, а также симметричные им точки E и F:

Проволочный куб, подключенный к прилежащим вершинам одной грани

Вновь соединяем попарно точки с одинаковыми потенциалами. Мы можем это сделать, потому что ток между этими точками не потечёт, даже если соединить их проводником. Пусть точки C и D объединятся в точку T, а точки E и F — в точку M. Тогда можно нарисовать следующую эквивалентную схему:

Эквивалентная схема для расчета сопротивления куба, включенного в цепи за прилежащие углы одной грани

Общее сопротивление полученной схемы рассчитывается стандартными способами. Каждый сегмент из двух параллельно соединённых резисторов заменяем на резистор сопротивлением \frac{R}{2}. Тогда сопротивление «верхнего» сегмента, состоящего из последовательно соединённых резисторов \frac{R}{2}, R и \frac{R}{2}, равно 2R.

Этот сегмент соединён со «средним» сегментом, состоящим из одного резистора сопротивлением \frac{R}{2}, параллельно. Сопротивление цепи, состоящей из двух параллельно соединённых резисторов сопротивлением \frac{R}{2} и 2R, равно:

    \[ \frac{1}{R_{TM}} = \frac{1}{2R}+\frac{2}{R} = \frac{5}{2R}\Leftrightarrow R_{TM} = \frac{2}{5}R. \]

То есть схема упрощается до ещё более простого вида:

Упрощённая эквивалентная схема подключения для расчёта сопротивления куба между смежными вершинами одной грани

Как видно, сопротивление «верхнего» П-образного сегмента равно:

    \[ \frac{R}{2}+\frac{2R}{5}+\frac{R}{2} = \frac{7R}{5}. \]

Ну а общее сопротивление двух параллельно соединённых резисторов сопротивлением \frac{7R}{5} и R равно:

    \[ \frac{1}{R_{total}} = \frac{1}{R}+\frac{5}{7R} = \frac{12}{7R}\Leftrightarrow R_{total} = \frac{7}{12}R. \]

Эксперимент на измерению сопротивления куба

Чтобы показать, что всё это не математический трюк и что за всеми этими вычислениями стоит реальная физика, я решил провести прямой физической эксперимент по измерению сопротивления куба. Вы можете посмотреть этот эксперимент в видео, которые находится в начале статьи. Здесь я размещу фотографии экспериментальной установки.

Специально для этого эксперимента я спаял куб, рёбрами которого являются одинаковые резисторы. Также у меня есть мультиметр, который я включил в режиме измерения сопротивления. Сопротивление одиночного резистора равно 38.3 кОм:

Эксперимент по измерению сопротивления ребра куба

Теперь смотрим сопротивление куба при различных его подключениях:

1) При подключении между диаметрально противоположным граням сопротивление равно 32.3 кОм:

Сопротивление проволочного куба, подключенного к диаметрально противоположным вершинам

Расчётное значение равно \frac{5}{6}R = \frac{5}{6}\cdot 38.3 = 31.9 кОм.

2) При подключении между соседним вершинам одной грани измеренное значение сопротивления равно 22.6 кОм:

Измерение сопротивления куба между смежными вершинами одной грани

Расчётное значение составляет \frac{7}{12}R = \frac{7}{12}\cdot 38.3 = 22.3 кОм.

3) При подключении между противоположным вершинам одной грани сопротивление равно 28.9 кОм:

Измерение сопротивления проволочного куба между противоположными вершинами одной грани

Расчётное значение равно \frac{3}{4}R = \frac{3}{4}\cdot 38.3 = 28.7 кОм.

Как видите, мы получили очень хорошее согласование экспериментальных данных с результатам наших расчётов. Ошибка находится на уровне 1%. Погрешность измерений есть всегда. Это нормально. В данном случае эта погрешность связана, скорее всего, с тем, что сопротивление резисторов не строго 38.3 кОм, а может немного варьироваться.

Материал подготовил репетитор по физике и математике, Сергей Валерьевич

Если вам понравилась статья, смотрите также:

Комментарии

  1. Валентина:

    Очень наглядно, лаконично и понятно. Большое спасибо. Просто супер.

  2. Валентина:

    Сергей Валерьевич, спасибо за такое прекрасное объяснение. Я очень долго искала именно такой вариант объяснения.

    1. Сергей:

      Рад, что статья оказалась для вас полезной.

  3. Юрий:

    Круто, спасибо, Сергей Валерьевич!

Добавить комментарий