Решение «популярных» задач по физике на тему «Потенциал»

Вторник, Февраль 7, 2012

Разберем сегодня несколько задач по физике, связанных с вычислением потенциала сферы. Так уж сложилось, что новые задачи по физике появляются значительно реже, нежели, к примеру скажем, по математике. Оно и понятно, ведь придумать оригинальную физическую задачу далеко не просто. Из года в год в различных физических олимпиадах, вариантах ЕГЭ по физике и других диагностических работах появляются одни и те же задачи, причем зачастую авторы по разным причинам не меняют даже числовых значений входящих в условие параметров. Решение некоторых таких часто встречающихся (напрашивается назвать их «бородатыми», но мы назовем их лучше «популярными») задач приведено в данной статье.

Задача 1. В одну большую каплю сливают n одинаковых капелек ртути, заряженных до потенциала φ. Каков будет потенциал Φ этой капли? Считать, что капли имеют сферическую форму.

Решение. Потенциал заряженного шара (коим по условию является каждая из капель) определяется по формуле:

    \[ \varphi = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}, \]

где Q — заряд шара, ε0 = 8,85 · 10-12 Ф/м — диэлектрическая постоянная, R — радиус шара.

Тогда потенциал образовавшейся после слияния капли можно определить так:

    \[ \Phi = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}. \]

Общий заряд Q, по закону сохранения заряда, определяется суммой зарядов q каждой маленькой капли: Q = n · q. Как связать радиус R получившейся большой капли с радиусом r каждой малой? Используем то, что в результате слияния не изменяется объем ртути, то есть (предполагается, что вы помните формулу для вычисления объема шара, если нет — загляните сюда):

    \[ n\cdot\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi R^3\Leftrightarrow R =  r\sqrt[3]{n}. \]

Итак, получаем:

    \[ \Phi = \frac{nq}{4\pi\varepsilon_0 r\sqrt[3]{n}} = \frac{q\sqrt[3]{n^2}}{4\pi\varepsilon_0 r}. \]

Но

    \[ \varphi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r} \]

есть по определению потенциал одной маленькой капли, поэтому окончательно получаем ответ:

    \[ \Phi = \varphi\sqrt[3]{n^2}. \]

Задача 2. Металлический шар радиусом r помещен в жидкий диэлектрик с плотностью ρ2. Плотность материала, из которого изготовлен шар, ρ1 (ρ1ρ2). Чему равен заряд шара, если в однородном электрическом поле, направленном вертикально вверх, шар оказался взвешенным в жидкости? Электрическое поле создается двумя параллельными пластинами, расстояние между которыми d, а разность потенциалов U.

Решение.

Шар, взвешенный в заряженном конденсаторе, заполненном жидким диэлектриком

Поскольку шар находится в равновесии, векторная сумма всех сил, действующих на него, равна нулю

На шар действуют три силы: сила тяжести mg = ρ1gV (направлена вниз), выталкивающая сила Архимеда FAρ2gV (направлена вверх), сила Кулона Fq = qE (направлена вверх). То, что сила Кулона направлена вверх следует из того, что плотность материала шара больше плотности жидкого диэлектрика, в котором он плавает. Это означает, что он утонул бы, не будь он заряжен. Спасает его от этого дополнительная сила Кулона, сонаправленная с выталкивающей силой Архимеда.

Шар находится в равновесии, значит векторная сумма всех действующих на него сил равна нулю:

    \[ m\vec{g}+\vec{F_q}+\vec{F_A}. \]

Или в проекции на вертикальную ось:

    \[ mg = F_A+F_q. \]

С учетом написанных выше формул:

    \[ \rho_1 gV = \rho_2 gV + qE\Leftrightarrow q=\frac{(\rho_1-\rho_2)gV}{E}. \]

С учетом формулы для объема шара (V = 4/3πr3) и формулы, отражающей взаимосвязь напряженности поля с напряжением между двумя точками (U=E·d), получаем окончательный ответ:

    \[ q = \frac{4\pi r^3gd(\rho_1-\rho_2)}{3U}. \]

Задача 3. Проводник длиной l движется с постоянным ускорением a, направленным вдоль его оси. Определите напряжение, возникающее между концами проводника; me — масса электрона, |e| — элементарный заряд.

Решение. В процессе движения стержня часть электронов по инерции смещается к одному из его концов (ситуация напоминает поезд в метро — стержень — и едущих в нем пассажиров — электроны).

Процесс перетекания будет продолжаться до тех пор, пока возникшее в стержне электрическое поле не начнет действовать на электроны с силой |e|E, где E — напряженность этого поля, равной по величине mea. Напряженность поля связана с напряжением между концами проводника соотношением: U = E · l. После всех подстановок и преобразований получает ответ:

    \[ U = \frac{m_eal}{|e|}. \]

Задачи взяты из сборника В. И. Васюкова, С. Н. Дмитриева, Ю. А. Струкова «Физика: сборник задач для поступающих в вузы». Все задания в этом сборнике приведены с ответами, поэтому при желании вы можете самостоятельно оценить свои силы в их решении. Присылайте свои вопросы и интересные задачи, и мы обязательно разберем их в одной из следующих статей.

Репетитор по физике на Юго-Западной
Сергей Валерьевич

Комментарии

  1. Дмитрий:

    В задаче 2 в записи ответа нет умножения на d в числителе после подстановки в знаменатель E = U/d.

    1. Сергей:

      Спасибо, исправил.

Добавить комментарий для Сергей Cancel reply