Решение задачи 19 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Суббота, Март 11, 2017

Класс, в котором школьники будут решать задачу 19 из профильного ЕГЭ по математикеВ данной статье речь пойдёт о решении задачи 19 из варианта досрочного профильного ЕГЭ по математике, предлагавшегося для решения школьникам в 2016 году. Решение задачи 19 из ЕГЭ по математике (профильный уровень) традиционно вызывает наибольшие затруднения у выпускников, ведь это последняя, а потому обычно самая сложная задача из экзамена. По крайней мере, такое впечатление часто складывается в умах школьников, готовящихся к ЕГЭ. Но на самом деле ничего очень сложного в этих задачах нет. Посмотрите, например, как легко решается следующая задача 19 из профильного ЕГЭ по математике.

Пусть множество называется хорошим, если существует возможность разбить это множество на два подмножества, суммы элементов в которых одинаковы.

а) является ли хорошим множество {200; 201; 202; … ; 299}?

б) является ли хорошим множество {2; 4; 8; … ; 2100}?

в) каково число хороших четырёхэлементных подмножеств у множества

{1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}?

Не смущайтесь термина «хорошее» множество. Это типично для составителей вариантов ЕГЭ по математике. Когда не хватает слов, приходится использовать слова не по их прямому назначению.

Решение задачи 19 из профильного ЕГЭ по математике под буквой А

Перейдём к решению. Отвечаем на вопрос под буквой А. Является записанное множество хорошим? Предположим, что да. Если это действительно так, то это самый простой случай для нас. Ведь в этом случае требуется лишь привести пример разбиения этого множества на два множества, суммы элементов которых одинаковы. В противном случае пришлось бы доказывать принципиальную невозможность нужного разбиения. А это уже гораздо сложнее. Ну а поскольку это лишь задание под буквой А, можно надеяться, что оно достаточно простое. Итак, попытаемся разбить наше множество на два подмножества, суммы элементов в которых будут одинаковы.

К счастью, чтобы это сделать, не нужно быть Эйнштейном. Берём самое очевидное и интуитивное решение. Группируем элементы исходного множества в пары: первый с последним, второй с предпоследним и так далее:

    \[ \{200;299\},\, \{201;298\},\, \{202;297\},\, \dots ,\, \{249;250\}. \]

Последняя парочка будет состоять из двух чисел: 249 и 250. Всего таких парочек получится 50. Сумма чисел в каждой парочке равна 499. А дальше берите какие угодно 25 парочек в первое множество, остальные 25 — во второе множество, и получите требуемое разбиение. Итак, ответ на вопрос под буквой А — да!

Ответ на вопрос под буквой Б из задачи 19 ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Переходим к вопросу под буквой Б. Задание то же самое, только множество другое. Поэтому думается, что авторы-составители должны были здесь проявить оригинальность. Так что, скорее всего, это множество уже не будет хорошим. Если это так, то просто примером в данном случае ограничиться не получится, придётся всё доказывать. Ну что ж, попробуем.

Вообще говоря, если вдуматься в задание, то решение приходит само собой. Нам требуется разбить данное множество на два подмножества, суммы элементов в каждом из которых равны. Ну и, в общем, тут не нужно быть Стивином Хокингом, чтобы понять, что ключ к решению в том, чтобы найти, чему должны быть равны эти суммы! А для этого нужно посчитать сумму элементов нашего исходного множества.

Посмотрите внимательно. Перед нами классическая геометрическая прогрессия со знаменателем q=2, первым членом b_1=2 и n=100 элементами. Сумма всех элементов такой прогрессии определяется по известной формуле:

    \[ S = \frac{b_1\left(q^n-1\right)}{q-1} = \frac{2\left(2^{100}-1\right)}{2-1} = 2\left(2^{100}-1\right). \]

Это означает, что если бы мы разбили наше множество на два подмножества с одинаковой суммой элементов в каждом из них, то эта сумма оказалась бы равной 2^{100}-1. А это нечётное число! Но ведь все элементы нашего множества — это степени двойки, то есть числа безусловно чётные. Вопрос. Может ли получиться нечётное число, если складывать чётные числа? Конечно, нет. То есть мы доказали невозможность такого разбиения. Итак, ответ к вопросу под буквой Б из решения задачи 19 из ЕГЭ по математике (профильный уровень) — нет!

Решение задачи 19 из ЕГЭ по математике (профильный уровень) под буквой В

Ну и наконец, переходим к вопросу под буквой В. Сколько же четырёхэлементных хороших множества содержится в множестве {1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}? Да… Тут уже придётся задуматься более серьёзно. Ну конечно! Ведь это последнее, как говорят некоторые видеоблогеры, самое жёсткое задание в профильном ЕГЭ по математике. Так как же его решить?

Доводилось ли вам когда-нибудь слышать об осознанном переборе? Этот метод применяется тогда, когда возможных вариант не очень много. Но при этом варианты перебираются не как попало, а в определённой последовательности. Это нужно для того, чтобы не упустить из виду ни одного возможного варианта. Плюс, по возможности, при переборе исключаются из рассмотрения невозможные варианты. Итак, как же нам свести это задание к осознанному перебору?

Введём фильтр, ограничивающий перебор:

  • Заметим сразу, что суммы искомых хороших четырёхэлементных подмножеств должны быть чётными, иначе их нельзя разбить на подмножества с одинаковыми суммами элементами. При этом минимально возможная сумма равна 1+2+4+5 = 12, а максимально возможная сумма равна 5+7+9+11 = 32. Таких сумм 11 штук.
  • Примем также во внимание, что чётные числа 2 и 4 должны либо одновременно входить в хорошее четырёхэлементное множество, либо одновременно не входить в него. В противном случае только одно из чисел четырёхэлементного множества чётное, поэтому сумма элементов такого множества не будет чётной.
  • Поскольку порядок расположения элементов в искомых хороших четырёхэлементных множествах не важен, договоримся, что элементы в этих множествах будут у нас расположены по возрастанию.

Рассматриваем все возможные суммы:

  1. Сумма 12: {1; 2; 4; 5}.
  2. Сумма 14: {1; 2; 4; 7}.
  3. Сумма 16: нет вариантов.
  4. Сумма 18: {2; 4; 5; 7}.
  5. Сумма 20: нет вариантов.
  6. Сумма 22: {2; 4; 7; 9}, {2; 4; 5; 11}.
  7. Сумма 24: {1; 5; 7; 11}.
  8. Сумма 26: {2; 4; 9; 11}.
  9. Сумма 28: нет вариантов.
  10. Сумма 30: нет вариантов.
  11. Сумма 32: {5; 7; 9; 11}.

Вот и получилось у нас всего 8 множеств. Других вариантов нет. То есть ответ к заданию под буквой В — 8.

Вот такое решение задачи 19 из ЕГЭ по математике (профильный уровень). Для тех, кто только начинает готовиться к сдаче профильного ЕГЭ по математике, оно можно показаться сложным. Но на самом деле для решения таких задач требуется использование одних и тех же способов и приёмов. Нужно только овладеть ими, и все эти задачи будут казаться вам простыми, и вы их решите на экзамене без всяких проблем. Я вас мог этому научить. Подробную информацию обо мне и моих занятиях вы можете найти на этой странице.

Материал подготовил репетитор по математике и физике, Сергей Валерьевич

Если вам понравилась статья, возможно, вам также будет интересна следующая:

Комментарии

  1. ЭЛЬМИР:

    Хорошее решение

  2. Сергей Владимирович:

    Решение geyrnf Б, на мой взгляд некорректное. А именно переход к фразе: «Вопрос. Может ли получиться нечётное число, если складывать чётные числа?»
    Сумма то четная! Полусумма нечетная…
    Простое решение в том, что a(n) > S(n-1), что не позволяет разбить множество на равновеликие.

    1. Сергей:

      Здесь нет ничего некорректного. Мы разбиваем множество на ДВА подмножества с одинаковой суммой элементов. Эта сумма равна 2^(100)-1, то есть является нечётной. Чего не может быть, если все элементы чётные.

  3. Сергей Владимирович:

    В части Б доказан случай невозможности разбить множество на два (4, 6, и т.д.) «хороших» подмножества — «…эта сумма оказалась бы равной 2^{100}-1. А это нечётное число! Но ведь все элементы нашего множества — это степени двойки, то есть числа безусловно чётные»
    Не доказан случай невозможности разбить множество на три (5, 7, и т.д.) «хороших» подмножества… В таких подмножествах суммы могут быть четные ? — «…это степени двойки, то есть числа безусловно чётные» Тогда и их сумма четная, и бог с ней, что полусумма нечетная…

    1. Сергей:

      Из условия коварным образом пропало слово «два». Следует читать: «Пусть множество называется хорошим, если существует возможность разбить это множество на ДВА подмножества, суммы элементов в которых одинаковы». Это задача из досрочной волны ЕГЭ 2016, там она давалась именно в такой формулировке. Спасибо за замечание!

  4. Наталья:

    Подскажите, пожалуйста, каким образом в задании В два из предлагаемых множеств {1; 2; 4; 7} и {2; 4; 5; 11} можно назвать хорошим? Как они разбиваются на два подмножества,суммы элементов в которых одинаковы?

    1. Сергей:

      1+2+4=7 и 2+4+5=11

Добавить комментарий