Расположение корней квадратного трехчлена

Вторник, Июль 8, 2014

Введем следующие обозначения:

f(x) = ax^2+bx+c,\, a\ne0 — квадратный трехчлен;

D=b^2-4ac — его дискриминант;

x_1,\,x_2 — его корни;

x_0 = -\frac{b}{2a} — абсцисса вершины параболы, соответствующей данному квадратному трехчлену.

Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Оба корня x_1 и x_2 квадратного трехчлена f(x) строго меньше некоторого M тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие:

    \[\left[\begin{array}{l}\begin{cases} a>0,\\ D\geqslant 0,\\ x_0<M, \\ f(M)>0. \end{cases} \\ \begin{cases} a<0, \\ D\geqslant 0. \\ x_0<M,\\ f(M)<0. \end{cases} \end{array} \]

2. Оба корня x_1 и x_2 квадратного трехчлена f(x) строго больше некоторого M тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие:

    \[\left[\begin{array}{l}\begin{cases} a>0,\\ D\geqslant 0,\\ x_0>M, \\ f(M)>0. \end{cases} \\ \begin{cases} a<0, \\ D\geqslant 0. \\ x_0>M,\\ f(M)<0. \end{cases} \end{array} \]

3. Некоторое число M принадлежит интервалу (x_1;x_2) тогда и только тогда, когда a\cdot f(M)<0. 4. Отрезок [M;N] целиком лежит в интервале (x_1,x_2) тогда и только тогда, когда выполнено условие:

    \[\begin{cases}a\cdot f(M)<0, \\a\cdot f(N)<0. \end{cases} \]

5. Оба корня x_1 и x_2 квадратного трехчлена f(x) лежат в интервале (M,N) тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие:

    \[ \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} a>0,\\ D\geqslant 0,\\ x_0\in(M;N), \\ f(M)>0,\\ f(N)>0. \end{cases} \\ \begin{cases} a<0, \\ D\geqslant 0. \\ x_0\in (M;N),\\ f(M)<0, \\ f(N)<0. \end{cases} \end{array} \]

Добавить комментарий