Площадь эллипса без интеграла

Среда, Июль 5, 2017

Прочитав эту статью, вы узнаете, как доказать формулу площади эллипса без использования интеграла. В интернете есть множество статьей и видео о том, как доказывается формула площади эллипса. Однако, в основном все эти доказательства сводятся к использованию интеграла (определённого, двойного или криволинейного интеграла по замкнутому контуру). Данная статья написана для тех, кто интересуется, как можно доказать формулу площади эллипса без интеграла.

Определение эллипса

Эллипс — это геометрическое место всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек одинакова и больше расстояния между этими двумя точками. Данные точки называют фокусами эллипса. Изобразим эллипс в прямоугольной декартовой системе координат:
Эллипс в прямоугольной декартовой системе координат
Отмеченные на рисунке буквами a и b отрезки называются большой и малой полуосью эллипса, соответственно. В случае изображённого на рисунке эллипса a=4 и b=3.

Уравнение эллипса

В каноническом виде уравнение эллипса в прямоугольной декартовой системе координат с центром в начале координат имеет вид:

    \[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1. \]

Обратим внимание, что в случае, когда a=b=R, получается классическое уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R:

    \[ x^2+y^2=R^2. \]

Это говорит о том, что окружность — это частный случай эллипса, когда обе его полуоси одинаковы и равны радиусу этой окружности.

Формула площади эллипса

Формула, выражающая площадь эллипса через его полуоси, очень проста и изящна:

    \[ S=\pi ab. \]

И вновь, в случае, когда обе полуоси эллипса одинаковы, то есть a=b=R, формула принимает вид:

    \[ S=\pi R^2. \]

Это широко известная формула площади круга.

Главный вопрос: «Как получить формулу площади эллипса без использования интеграла?»

Вывод формулы площади эллипса без интеграла

Выполним следующее преобразование для каждой точки эллипса:

    \[ (x;y)\rightarrow \left(x;\frac{a}{b}y\right). \]

То есть как бы перейдём в новую систему координат, в которой абсциссы каждой точки эллипса остаются старыми, а ординаты по отношению к старой системе координат возрастают в \frac{a}{b} число раз. С случае изображённого на рисунке эллипса a>b, поэтому этот эллипс после такого преобразования вытянется вдоль оси Y так, что превратится в окружность! Изобразим эту окружность в сетке старой системы координат:

Окружность, полученная из эллипса

Радиус это окружности равен a. Действительно, малая полуось была равна b, но после умножения на коэффициент \frac{a}{b} она стала равна a. Значит, площадь этой окружности равна S_1=\pi a^2. Но поскольку все длины вдоль оси Y были увеличены в \frac{a}{b} раз, а все длины вдоль оси X остались неизменными, то площадь фигуры также была увеличена в \frac{a}{b} раз. То есть для возвращения к площади исходного эллипса площадь полученной окружности нужно разделить на коэффициент \frac{a}{b}:

    \[ S=\pi a^2\times \frac{b}{a}=\pi ab. \]

Что и требовалось доказать. Получили площадь эллипса без интеграла.

Материал подготовил репетитор по математике и физике в Москве, Сергей Валерьевич

Добавить комментарий