Корни уравнения с параметром

Воскресенье, 27 октября, 2019

Очень часто среди заданий ЕГЭ, вступительных экзаменов и олимпиад по математике встречаются задачи, в которых каким-либо образом задаётся положение корней уравнений с параметром на числовой оси и требуется найти все возможные значения параметра, при которых имеет место такое расположение. Данная статья посвящена разбору нескольких заданий такого рода.

Пример 1. Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых один из корней уравнения $2x^2+ax+4-a = 0$ больше 3, а другой меньше 3.

Пусть $f(x) = 2x^2+ax+4-a$ — квадратичная функция, графиком которой является парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ в уравнении равен $2>0$ , то ветви этой параболы направлены вверх. Корни уравнения с параметром — это точки, в которых данная парабола пересекает ось OX. Значит, для выполнения заданного условия парабола должна быть расположена относительно оси OX условно следующим образом:

Парабола, ветви которой направлены вверх, пересекает ось OX в точках, одна из которых находится левее точки 3, а вторая - правее.

Из рисунка видно, что для выполнения заданного условия необходимо и достаточно, чтобы значение введённой функции было отрицательным в точке $x = 3$ , то есть $f(3)<0$ . Ну действительно, поскольку ветви параболы направлены вверх, то в таком случае она пересечёт ось OX в двух точках, одна из которых находится правее точки $x =3$ , а другая — левее. Итак, имеет место неравенство:

$2\cdot 3^2+3a+4-a <0$

$22+2a<0$

$a<-11$

Ответ: $a\in(-\infty;-11)$ .

Пример 2. Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых число -1 лежит между корнями уравнения $(a-2)x^2+3ax+5 = 0$ .

При $a=2$ получаем уравнение $6x+5 = 0$ , которое имеет единственный корень $x = -\dfrac{5}{6}$ , поэтому этот случай нам не подходит. Для $a\ne 2$ можно поделить обе части данного уравнения на $a-2$ . Тогда мы приходим к следующему уравнению:

$x^2+\dfrac{3a}{a-2}x+\dfrac{5}{a-2} = 0$

Теперь мы уверены, что ветви соответствующей параболы направлены вверх, и поэтому мы свели задачу к предыдущей. Пусть $f(x) = x^2+\dfrac{3a}{a-2}x+\dfrac{5}{a-2}$ . Тогда требуемое условие будет выполнено тогда и только тогда, когда значение введённой функции в точке $x = -1$ отрицательно, то есть $f(-1)<0$ :

Точка -1, находящаяся между корнями уравнения с параметром

Ну действительно, если ветви параболы направлены вверх, и в точке $x = -1$ она принимает отрицательное значение, то ось OX эта парабола будет пересекать в двух точках $x_1$ и $x_2$ , одна из которых находится правее $-1$ , вторая – левее. Эти точки представляют собой корни уравнения с параметром, которое записано в условии. Тогда точка $x = -1$ окажется как раз между корнями уравнения, что нам и нужно. Значит, имеет место неравенство:

$(-1)^2+\dfrac{3a}{a-2}\cdot (-1)+\dfrac{5}{a-2} < 0$

$1-\dfrac{3a}{a-2}+\dfrac{5}{a-2} < 0$

$\dfrac{2a-3}{a-2}>0$

Интервалы из решения задачи с корнями уравнения с параметром

Ответ: $a\in\left(-\infty;\dfrac{3}{2}\right)\cup(2;+\infty)$ .

Пример 3. Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых все корни уравнения $(1-a)x^2-4ax+a = 0$ больше $-\dfrac{1}{2}$ .

Исследуем сразу случай, когда $1-a = 0$ , то есть $a = 1$ . В этом случае уравнение принимает вид: $-4x+1 = 0$ . Значит, корнем уравнения является число $x = \dfrac{1}{4}$ , что больше $-\dfrac{1}{2}$ . То есть значение $a = 1$ нам подходит.

Исследуем теперь случай, когда $a\ne 1$ . В этом случае обе части уравнения можно поделить на $a-1 \ne 0$ . В результате приходим к следующему уравнению:

$x^2-\dfrac{4a}{1-a}x+\dfrac{a}{1-a} = 0$

Пусть $f(x) = x^2-\dfrac{4a}{1-a}x+\dfrac{a}{1-a}$ . Ветви соответствующей параболы направлены вверх, поэтому для того, чтобы выполнялось требуемое условие, эта парабола должна быть расположена относительно оси OX условно следующим образом:

Парабола, ветви которой направлены вверх, пересекает ось OX в точках, абсциссы которых больше -1/2.

Из рисунка видно, что требуемое условие выполняется только в том случае, если соответствующий квадратный трёхчлен имеет корни (парабола пересекает ось OX или касается её), то есть его дискриминант неотрицателен, значение этого квадратного трёхчлена в точке $x =-\dfrac{1}{2}$ положительно, и вершина соответствующей параболы, ветви которой направлены вверх, лежит правее точки $x = -\dfrac{1}{2}$ . То есть имеет место следующая система:

$\begin{cases} D\geqslant 0 \\ f\left(-\dfrac{1}{2}\right)>0 \\ x_B >-\dfrac{1}{2} \end{cases}$

Выражаем все величины через параметр $a$ и после всех упрощений получаем следующую систему:

$\begin{cases} \dfrac{a(5a-1)}{(a-1)^2}\geqslant 0 \\ \, \\ \dfrac{11a+1}{a-1}<0 \\ \, \\ \dfrac{3a+1}{a-1}<0 \end{cases}$

Каждое из неравенство системы решаем методом интервалов, а затем отбираем только те значения параметра $a$ , при которых выполняются все три неравенства системы.

Окончательный ответ к заданию имеет вид: $a\in \left(-\dfrac{1}{11};0\right ]\cup\left[\dfrac{1}{5};1\right]$ .

Пример 4. Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых корни уравнения $ax^2+(3-2a)x+2 = 0$ принадлежат промежутку $(-2;5)$ .

Рассмотрим сперва случай, когда $a = 0$ . В этом случае записанное уравнение принимает вид: $3x+2 = 0$ . То есть корнем уравнения является число $x = -\dfrac{2}{3}$ . Этот корень принадлежит промежутку $(-2;5)$ , поэтому данный случай нам подходит.

Теперь рассмотрим случай, когда $a \ne 0$ . В этом случае обе части уравнения можно поделить на $a$ . Тогда получаем следующее уравнение:

$x^2+\dfrac{3-2a}{a}x+\dfrac{2}{a}=0$

Пусть $f(x) = x^2+\dfrac{3-2a}{a}x+\dfrac{2}{a}$ . Ветви соответствующей параболы направлены вверх. Значит, для выполнения требуемого условия эта парабола должна быть расположена относительно оси OX условно следующим образом:

Корни квадратного уравнения с параметром находятся внутри промежутка (-2;5).

Из рисунка видно, что требуемое условие выполняется тогда и только тогда, когда корни уравнения с параметром существуют (парабола пересекает ось OX или касается её), то есть когда дискриминант соответствующего квадратного трёхчлена положителен или равен нулю, значения этого трёхчлена в точках $x = -2$ и $x = 5$ положительны, а вершина соответствующий параболы находится внутри промежутка $(-2;5)$ . То есть имеет место следующая система:

$\begin{cases} D\geqslant 0 \\ f(-2)>0 \\ f(5)>0 \\ -2<x_B<5 \end{cases}$

Выражаем все величины через параметр $a$ и упрощаем получившиеся неравенства. В результате получаем следующую систему неравенств:

$\begin{cases} \dfrac{(2a-9)(2a-1)}{a^2}\geqslant 0 \\ \, \\ \dfrac{2a-1}{a}>0 \\ \, \\ \dfrac{15a+17}{a}>0 \\ \, \\ -2< \dfrac{2a-3}{2a} <5 \end{cases}$

Каждое из неравенств системы решается методом интервалов, после чего отбираются значения параметра $a$ , удовлетворяющие каждому из неравенств.

В результате получаем окончательный ответ:

$a \in \left(-\infty;-\dfrac{17}{15}\right)\cup\{0\}\cup\left[\dfrac{9}{2};+\infty\right)$ .

Корни уравнения с параметром для самостоятельного решения

Решите следующие задания самостоятельно для самопроверки понимания изложенного в статье материала. Если при выполнении этих заданий у вас возникнут вопросы, задавайте их в комментариях, а также пишите в них свои попытки и варианты решений.

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых один из корней уравнения $x^2-2ax+4=0$ меньше 2, а другой больше 2.
Ответ: $a>2$ .
Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых один из корней уравнения $2ax^2-2x-3a-2=0$ больше 1, а другой меньше 1.
Ответ: $a\in(-\infty;-4)\cup(0;+\infty)$ .
Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение $x^2+2(a-2)x-4a+5=0$ имеет два различных корня, каждый из которых больше -1.
Ответ: $a\in(-\infty;-1)\cup\left(1;\dfrac{5}{3}\right)$ .

Материал подготовил репетитор по математике и физике в Москве Сергей Валерьевич

Метки: видеоуроки репетитора, задания с параметром, задачи по математике, подготовка к ЕГЭ по математике с репетитором, справочник по математике
Опубликовано в категории Методическая копилка | 3 комментария »

Айжан:

08.04.2020 в 19:55

Спасибо. Получила много полезной информации.Все понятно и доступно.
Ольга:

28.07.2020 в 17:40

В примере 4 описка в ответе: a не может быть равно 0. В этом месте должно быть а=0.5.
1. Сергей Валерьевич:
  
  28.07.2020 в 21:08
  
  Нет, там всё правильно написано: a может быть равно 0 (первый абзац в решении), a = 0.5 не подходит, так как тогда получается один корень x = 2, который не входит в указанный в условии промежуток.

Корни уравнения с параметром

Корни уравнения с параметром для самостоятельного решения

Комментарии

Страницы

Понравился сайт?

Последние записи

Архив записей

Прочее