Корни уравнения с параметром

Воскресенье, Октябрь 27, 2019

Корни уравнения с параметром

Очень часто среди заданий ЕГЭ, вступительных экзаменов и олимпиад по математике встречаются задачи, в которых каким-либо образом задаётся положение корней уравнений с параметром на числовой оси и требуется найти все возможные значения параметра, при которых имеет место такое расположение. Данная статья посвящена разбору нескольких заданий такого рода.

Пример 1. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых один из корней уравнения 2x^2+ax+4-a = 0 больше 3, а другой меньше 3.

Пусть f(x) = 2x^2+ax+4-a — квадратичная функция, графиком которой является парабола. Поскольку коэффициент при x^2 в уравнении равен 2>0, то ветви этой параболы направлены вверх. Корни уравнения с параметром — это точки, в которых данная парабола пересекает ось OX. Значит, для выполнения заданного условия парабола должна быть расположена относительно оси OX условно следующим образом:

Парабола, ветви которой направлены вверх, пересекает ось OX в точках, одна из которых находится левее точки 3, а вторая - правее.

Из рисунка видно, что для выполнения заданного условия необходимо и достаточно, чтобы значение введённой функции было отрицательным в точке x = 3, то есть f(3)<0. Ну действительно, поскольку ветви параболы направлены вверх, то в таком случае она пересечёт ось OX в двух точках, одна из которых находится правее точки x =3, а другая — левее. Итак, имеет место неравенство:

    \[  2\cdot 3^2+3a+4-a <0  \]

    \[ 22+2a<0 \]

    \[ a<-11 \]

Ответ: a\in(-\infty;-11).

Пример 2. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых число -1 лежит между корнями уравнения (a-2)x^2+3ax+5 = 0.


При a=2 получаем уравнение 6x+5 = 0, которое имеет единственный корень x = -\dfrac{5}{6}, поэтому этот случай нам не подходит. Для a\ne 2 можно поделить обе части данного уравнения на a-2. Тогда мы приходим к следующему уравнению:

    \[  x^2+\dfrac{3a}{a-2}x+\dfrac{5}{a-2} = 0  \]

Теперь мы уверены, что ветви соответствующей параболы направлены вверх, и поэтому мы свели задачу к предыдущей. Пусть f(x) =  x^2+\dfrac{3a}{a-2}x+\dfrac{5}{a-2}. Тогда требуемое условие будет выполнено тогда и только тогда, когда значение введённой функции в точке x = -1 отрицательно, то есть f(-1)<0:

Точка -1, находящаяся между корнями уравнения с параметром

Ну действительно, если ветви параболы направлены вверх, и в точке x = -1 она принимает отрицательное значение, то ось OX эта парабола будет пересекать в двух точках x_1 и x_2, одна из которых находится правее -1, вторая – левее. Эти точки представляют собой корни уравнения с параметром, которое записано в условии. Тогда точка x = -1 окажется как раз между корнями уравнения, что нам и нужно. Значит, имеет место неравенство:

    \[  (-1)^2+\dfrac{3a}{a-2}\cdot (-1)+\dfrac{5}{a-2} < 0  \]

    \[  1-\dfrac{3a}{a-2}+\dfrac{5}{a-2} < 0  \]

    \[ \dfrac{2a-3}{a-2}>0 \]

Интервалы из решения задачи с корнями уравнения с параметром

Ответ: a\in\left(-\infty;\dfrac{3}{2}\right)\cup(2;+\infty).

Пример 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых все корни уравнения (1-a)x^2-4ax+a = 0 больше -\dfrac{1}{2}.

Исследуем сразу случай, когда 1-a = 0, то есть a = 1. В этом случае уравнение принимает вид: -4x+1 = 0. Значит, корнем уравнения является число x = \dfrac{1}{4}, что больше -\dfrac{1}{2}. То есть значение a = 1 нам подходит.

Исследуем теперь случай, когда a\ne 1. В этом случае обе части уравнения можно поделить на a-1 \ne 0. В результате приходим к следующему уравнению:

    \[  x^2-\dfrac{4a}{1-a}x+\dfrac{a}{1-a} = 0  \]

Пусть f(x) =  x^2-\dfrac{4a}{1-a}x+\dfrac{a}{1-a}. Ветви соответствующей параболы направлены вверх, поэтому для того, чтобы выполнялось требуемое условие, эта парабола должна быть расположена относительно оси OX условно следующим образом:

Парабола, ветви которой направлены вверх, пересекает ось OX в точках, абсциссы которых больше -1/2.

Из рисунка видно, что требуемое условие выполняется только в том случае, если соответствующий квадратный трёхчлен имеет корни (парабола пересекает ось OX или касается её), то есть его дискриминант неотрицателен, значение этого квадратного трёхчлена в точке x =-\dfrac{1}{2} положительно, и вершина соответствующей параболы, ветви которой направлены вверх, лежит правее точки x = -\dfrac{1}{2}. То есть имеет место следующая система:

    \[ \begin{cases} D\geqslant 0 \\ f\left(-\dfrac{1}{2}\right)>0 \\ x_B >-\dfrac{1}{2} \end{cases} \]

Выражаем все величины через параметр a и после всех упрощений получаем следующую систему:

    \[ \begin{cases} \dfrac{a(5a-1)}{(a-1)^2}\geqslant 0 \\ \, \\ \dfrac{11a+1}{a-1}<0 \\ \, \\ \dfrac{3a+1}{a-1}<0 \end{cases} \]

Каждое из неравенство системы решаем методом интервалов, а затем отбираем только те значения параметра a, при которых выполняются все три неравенства системы.

Окончательный ответ к заданию имеет вид: a\in \left(-\dfrac{1}{11};0\right ]\cup\left[\dfrac{1}{5};1\right].

Пример 4. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых корни уравнения ax^2+(3-2a)x+2 = 0 принадлежат промежутку (-2;5).

Рассмотрим сперва случай, когда a = 0. В этом случае записанное уравнение принимает вид: 3x+2 = 0. То есть корнем уравнения является число x  = -\dfrac{2}{3}. Этот корень принадлежит промежутку (-2;5), поэтому данный случай нам подходит.

Теперь рассмотрим случай, когда a \ne 0. В этом случае обе части уравнения можно поделить на a. Тогда получаем следующее уравнение:

    \[ x^2+\dfrac{3-2a}{a}x+\dfrac{2}{a}=0 \]

Пусть f(x) =  x^2+\dfrac{3-2a}{a}x+\dfrac{2}{a}. Ветви соответствующей параболы направлены вверх. Значит, для выполнения требуемого условия эта парабола должна быть расположена относительно оси OX условно следующим образом:

Корни квадратного уравнения с параметром находятся внутри промежутка (-2;5).

Из рисунка видно, что требуемое условие выполняется тогда и только тогда, когда корни уравнения с параметром существуют (парабола пересекает ось OX или касается её), то есть когда дискриминант соответствующего квадратного трёхчлена положителен или равен нулю, значения этого трёхчлена в точках x = -2 и x = 5 положительны, а вершина соответствующий параболы находится внутри промежутка (-2;5). То есть имеет место следующая система:

    \[ \begin{cases} D\geqslant 0 \\ f(-2)>0 \\ f(5)>0 \\ -2<x_B<5 \end{cases} \]

Выражаем все величины через параметр a и упрощаем получившиеся неравенства. В результате получаем следующую систему неравенств:

    \[  \begin{cases} \dfrac{(2a-9)(2a-1)}{a^2}\geqslant 0 \\ \, \\ \dfrac{2a-1}{a}>0 \\ \, \\ \dfrac{15a+17}{a}>0 \\ \, \\ -2< \dfrac{2a-3}{2a} <5 \end{cases}  \]

Каждое из неравенств системы решается методом интервалов, после чего отбираются значения параметра a, удовлетворяющие каждому из неравенств.

В результате получаем окончательный ответ:

a \in \left(-\infty;-\dfrac{17}{15}\right)\cup\{0\}\cup\left[\dfrac{9}{2};+\infty\right).

Корни уравнения с параметром для самостоятельного решения

Решите следующие задания самостоятельно для самопроверки понимания изложенного в статье материала. Если при выполнении этих заданий у вас возникнут вопросы, задавайте их в комментариях, а также пишите в них свои попытки и варианты решений.

  1. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых один из корней уравнения x^2-2ax+4=0 меньше 2, а другой больше 2.
    Ответ: a>2.
  2. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых один из корней уравнения 2ax^2-2x-3a-2=0 больше 1, а другой меньше 1.
    Ответ: a\in(-\infty;-4)\cup(0;+\infty).
  3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x^2+2(a-2)x-4a+5=0 имеет два различных корня, каждый из которых больше -1.
    Ответ: a\in(-\infty;-1)\cup\left(1;\dfrac{5}{3}\right).

Материал подготовил репетитор по математике и физике в Москве Сергей Валерьевич

Добавить комментарий