Задачи на доказательство геометрических фактов из ГИА

Воскресенье, Январь 22, 2012

Предлагаю на этот раз устроить что-то вроде «доказательного марафона» по решению задач, которые предлагаются девятиклассникам в вариантах ГИА по математике. Связаны они с доказательством несложных, но в то же время очень полезных геометрических фактов. В статье намеренно не приведены подробные решения задач, лишь некоторые наброски и подсказки. Постарайтесь преодолеть эту марафонскую дистанцию самостоятельно, без ошибок и за один подход.

Задача 1. Докажите, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

Биссектрисы смежных углов перпендикулярны

Угол α обозначен одной дугой, β — двумя

Доказательство: из рисунка видно, что α + α + β + β = 2α + 2β = 180(развернутый угол), следовательно, α + β = 900. Что и требовалось доказать.

Задача 2. Два отрезка AC и BD пересекаются в точке O, которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников ACD и CAB.

Параллелограмм ABCD

ABCD, конечно, будет параллелограммом, но в условии этого не дано

Доказательство: боковые треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (BO = OD — по условию, AO = OC — по условию, ∠DOC = ∠AOB — вертикальные), то есть ∠ACD = ∠CAB, а поскольку они являются накрест лежащими при прямых AB, CD и секущей AC, то  AB параллельна DC. Аналогично доказываем параллельность прямых BC и AD. Итак, ABCD — параллелограмм по определению. BC = AD, AB = CD (в параллелограмме противоположные стороны равны), AC — общая для треугольников ACD и CAB, поэтому они равны по трем сторонам. Что и требовалось доказать.

Задача 3. Докажите, что медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является биссектрисой угла, противолежащего основанию, а также перпендикулярна основанию.

медиана равнобедренного треугольника

Углы, образованные медианой и основанием, назовем «нижними», медианой и боковыми сторонами — «верхними»

Доказательство: боковые треугольники на рисунке равны по трем сторонам, из чего следует равенство, во-первых, «верхних» углов (доказали, что биссектриса), во-вторых, «нижних» углов, в сумме как смежные дающих 1800, и равных поэтому по 900 каждый (доказали перпендикулярность). Что и требовалось доказать.

Задача 4. Докажите, что медианы, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны.

медианы, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника

Треугольники, образованные медианами, основанием и нижними половинами боковых сторон исходного треугольника, назовем «нижними»

Доказательство: углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому «нижние» треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, из чего следует равенство проведенных медиан. Что и требовалось доказать.

Задача 5. Докажите, что биссектрисы, проведенные из вершин основания равнобедренного треугольника, равны.

Биссектрисы, проведенные из вершин основания равнобедренного треугольника

Все отмеченные на рисунке углы, конечно, равны, хоть и обозначены разными дугами

Доказательство: «нижний» треугольник равнобедренный, что следует из равенства углов при его основании, «боковые» треугольники равны по стороне (равные из доказанного выше частички биссектрис) и двум углам (первые равны по условию, вторые как вертикальные), поэтому оставшиеся частички биссектрис также равны друг другу, а значит равны и сами биссектрисы целиком. Что и требовалось доказать.

Задача 6. Докажите, что длина отрезка, соединяющего середины двух сторон треугольника, равна половине третьей стороны.

Средняя линия треугольника равна половине основания

Чистенькие стороны назовем «основаниями», перечеркнутые — «боковыми сторонами»

Доказательство: боковые стороны маленького и большого треугольника на рисунке относятся как 1 : 2, кроме того у них есть один общий угол, а значит они подобны по второму признаку с коэффициентом подобия 1 : 2, поэтому и основания относятся как 1 : 2. Что и требовалось доказать.

Задача 7. Докажите, что диагональ параллелограмма разбивает его на два равных треугольника.

Диагональ параллелограмма

Параллелограмм с диагональю, больше, пожалуй, добавить нечего

Доказательство: противоположные стороны параллелограмма равны, диагональ является общей стороной для этих треугольников, поэтому они равны по трем сторонам. Что и требовалось доказать.

Задача 8. Докажите, что медиана, прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе

Другими словами медиана проведена из вершины прямого угла

Доказательство: если вокруг данного прямоугольного треугольника описать окружность, то вписанный в эту окружность прямой угол треугольника будет описаться на полуокружность, поэтому гипотенуза будет диаметром этой окружности, а половинки гипотенузы и данная нам в задаче медиана — радиусами, итак, все они равны. Что и требовалось доказать.

Задача 9. Докажите, что отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

 

Теорема об отрезках касательных

Дополнительное построение: соединяем точку C с точкой O (мысленно)

Доказательство: углы B и A прямые (радиусы окружности, проведенные в точку качания, перпендикулярны касательным), значит прямоугольные треугольники AOC и BOC равны по гипотенузе (общая для них воображаемая нами сторона OC) и катету (радиусы окружности OB = OA), а значит AC = CB. Что и требовалось доказать.

Задача 10. Докажите, что диаметр, проходящий через середину хорды окружности, перпендикулярен ей.

Диаметр, проходящий через середину хорды

Линия, соединяющая две точки на рисунке, является медианой треугольника, который мы рассмотрим

Доказательство: в равнобедренном треугольнике, образованном точками пересечения хорды с окружностью и центром этой окружности, изображенная медиана будет являться высотой, а значит диаметр, содержащий в себе эту высоту, перпендикулярен хорде. Что и требовалось доказать.

Задача 11. Докажите, что если две окружности имеют общую хорду, то прямая, проходящая через центр этих окружностей, перпендикулярна данной хорде.

Окружности с общей хордой

Мысленно соединяем вместе все отмеченные на рисунке точки, точку пересечения горизонтали и вертикали назовем H

Доказательство: треугольники O1AO2 и O1BO2 равны по трем сторонам, следовательно, ∠HO2A = ∠HO2B, тогда треугольники HAO2 и HBO2 равны по двум сторонам и углу между ними, значит ∠AHO2 = ∠BHO2, а в сумме два равных угла могут давать 180только в том случае, если каждый из них равен по 900. Что и требовалось доказать.

Задача 12. Докажите, что если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны.

Описанный четырехугольник

Описанный четырехугольник. Назовем его ABCD. Пусть M, E, X и L — точки касания

Доказательство: используем теорему об отрезках касательных (задача 9). ВК = ВР, СР = СН, DX = DL и АТ = АК. Суммируем стороны АВ и CD: AB + CD = (AM + MB) + (DX + XC) = AL + BE + DL + CE = (AL + LD) + (BE + EC) = AD BC. Что и требовалось доказать.

Задача 13. Докажите, что если около четырехугольника можно описать окружность, то суммы его противолежащих углов равны.

Описанная около четырехугольника окружность

Описанная окружность

Доказательство: по теореме о вписанном угле сумма противолежащих углов этого четырехугольника равна 1800, поскольку вместе они опираются на полную окружность, градусная мера которой 3600. Что и требовалось доказать.

Задача 14. Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то трапеция равнобедренная.

 

Равнобедренная трапеция, вписанная в окружность

Равнобедренная трапеция, вписанная в окружность

Доказательство: сумма противолежащих углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна αβ = 1800 (см. задачу 13), сумма углов при боковой стороне трапеции также равна αγ = 1800 (эти углы являются односторонними при параллельных основаниях и секущей боковой стороне), из сравнения этих формул получаем, что βγ, то есть углы при основании такой трапеции равны, и она действительно равнобедренная. Что и требовалось доказать.

Задача 15. В квадрате ABCD точки К и Е — середины сторон АВ и AD соответственно. Доказать, что КD перпендикулярна CE.

В квадрате ABCD точки К и Е — середины сторон АВ и AD соответственно. Доказать, что КD перпендикулярна CE.

Рисунок к задаче

Доказательство. Прямоугольные треугольники AKD и ECD равны по двум катетам, поэтому равны и все их элементы. Пусть \angle ECD = \angle KDA = \alpha, \angle CED = \angle AKD = \beta.

Сумма углов в треугольнике равна 180^0. Тогда, например, для треугольника AKD имеем \alpha+\beta+90^0 = 180^0, а значит \alpha + \beta = 90^0. Для треугольника EOD имеем \alpha+\beta+ +\angle EOD = 180^0, то есть 90^0+\angle EOD = 180^0, а значит \angle EOD = 90^0. Что и доказывает перпендикулярность KD и CE.

Доказанные геометрические факты очень важны, их знание будет вам хорошим подспорьем в решении более сложных задач по геометрии, в первую очередь заданий C4 из вариантов ЕГЭ по математике. Изложенные здесь пояснения эталонными решениями, которые нужно приводить на экзамене, конечно, не являются. Это лишь указатели, используя которые, читатель сможет найти решение самостоятельно.

В любом случае умение решать задачи по геометрии является неотъемлемым условием получения высоких баллов на ЕГЭ и ГИА по математике, что будет гарантией поступления во многие престижные вузы. Успехов вам в подготовке к ГИА и ЕГЭ, талантливых наставников и удачи на экзамене! Ваш репетитор по геометрии Сергей Валерьевич.

Понравилась статья? Возможно, это будет вам интересно:

Комментарии

  1. Любовь:

    Спасибо! Очень все понятно!

    1. Sergey Seliverstov:

      Рад, если это действительно так:-) Однако, если какие-то вопрос все-таки остались, я могу пояснить.

      1. Александр:

        равные хорды AC и BD пересекаются. Докажите , что либо AB=CD либо AD=BC

        1. Сергей:

          Ну потому что равные хорды стягивают равные дуги окружности. Тогда за вычетом общей части, оставшиеся части также равны.

  2. Сабрина:

    дан треугольник ABC в котором AB=7, BC=9, и проведена прямая BD, которая делит треугольник на две части, площади которых относятся как 7:9. докажите что BD- биссектриса угла ABC.

    1. Sergey Seliverstov:

      Пусть BD — биссектриса, тогда по свойству биссектрисы треугольника, она делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то есть AD/AB = DC/BC = 7/9. Треугольники, на которые эта биссектриса разбивает исходный треугольник, имеют одинаковую высоту, обозначим ее h. Тогда S_ABD = 1/2hAD, а S_DBC = 1/2hDC, тогда их отношение S_ABD/S_DBC = 7/9, то есть действительно равно 7:9.

  3. Ольга:

    Докажите, что биссектрисы двух соседних углов параллелограмма перпендикулярны.

    1. Sergey Seliverstov:

      Сумма двух соседних углов параллелограмма равна альфа+бета=180 градусов, поскольку они является односторонними при параллельных прямых, являющимися его противоположными сторонами. Поскольку это биссектрисы, каждый из углов они делят пополам, поэтому сумма половин этих улов есть альфа/2+бета/2=90 градусов. Тогда в треугольнике, образованном этими биссектрисами и стороной параллелограмма сумма двух углов равна 90 градусов, значит третий угол равен 90 градусов (так как сумма углов в треугольнике 180 градусов). Это и доказывает перпендикулярность.
      Если не очень понятно, напишите, добавлю чуть в статью решение с картинкой.

      1. Ольга:

        Спасибо огромное! всё понятно.

  4. Лена:

    Здравствуйте! Требуется Ваша помощь!
    В квадрате ABCD точки К и Е — середины сторон АВ и AD соответственно. Доказать, что КD перпендикулярна CE.

    1. Sergey Seliverstov:

      Хорошая задача, спасибо. Добавил решение в статью, посмотрите (задача 15). Спрашивайте, если что-то непонятно.

  5. Лена:

    Сергей Валерьевич, большое спасибо!

  6. Александр:

    Помогите плз!
    «Докажите что треугольник равнобедренный, если медианы, проведенные к его боковым сторонам, равны.»
    Заранее спасибо!

    1. Sergey Seliverstov:

      Представьте себе или нарисуйте треугольник ABC, в котором медиана CM равна медиане AN, и они пересекаются в точке O. Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Тогда CO = AO (2/3 каждой медианы), MO = ON (1/3 каждой медианы), угол MOA = углу NOC (вертикальные), значит треугольник MOA = треугольнику NOC (первый признак). Значит, NC = NB = MA = MB, значит AB = BC.
      Некоторые моменты я не стал расписывать подробно, если нужно что-то пояснить, спрашивайте.

  7. елена:

    Здравствуйте,помогите.Надо доказать равенство остроугольных треугольников по двум сторонами и высоте,проведенной к третьей стороне.

    1. Sergey Seliverstov:

      Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1 AB=A1B1, BC=B1C1 и BH=B1H1 (высоты, проведенные к третьей стороне). Тогда по теореме Пифагора AH = корень (AB^2-BH^2) = корень (A1B1^2-B1H1^2) = A1H1 (заменили равными сторонами). Аналогично HC = H1C1. Но AC = AH+HC = A1H1+H1C1 = A1C1. Получилось, что и третьи стороны тоже равны. Значит эти треугольники равны по трем сторонам.

      1. Вика:

        а можно, как-нибудь по-другому решить, без теоремы Пифагора???

        1. Sergey Seliverstov:

          Кажется, что это самый простой способ.

  8. Виктория:

    докажите, что средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований.

    1. Sergey Seliverstov:

      Виктория, это одна из тех теорем, которые изучаются по геометрии в школе, доказательство поэтому можно найти в учебнике. Вот например доказательство из Атанасяна:
      http://yourtutor.info/wp-content/uploads/2012/05/teorema-o-srednej-linii-tra.png

  9. Кирилл:

    В параллелограмме ABCD точка M-середина стороны AB.Известно,что MC=MD.Докажте,что данный параллелограмм-прямоугольник.

    1. Sergey Seliverstov:

      Хорошая задача, спасибо. Доказательств этого на самом деле можно придумать несколько. Вот одно из них:

      http://yourtutor.info/wp-content/uploads/2012/05/Dokazat-chto-parallelogramm-prjamougolnik.pdf

      Попробуйте придумать какое-нибудь другое доказательство.

  10. Стелла:

    Спасибо)) Хорошие задачи, подходят для разминки. Прорешала все.)

    1. Sergey Seliverstov:

      Это очень хороший результат, поздравляю.)

  11. Светлана:

    Доведіть, что трикутник з вершинами М(3;4), Р(7;7), К(4;3), рівнобічний

    1. Sergey Seliverstov:

      Квадрат расстояния между двумя точками определяется по формуле: (x1-x2)^2+(y1-y2)^2. Тогда квадрат расстояния между точками M и P равен (7-3)^2+(7-4)^2 = 25, квадрат расстояния между точками P и K равен (7-4)^2+(7-3)^2 = 25. Значит равны и сами расстояния. То есть равны две стороны треугольника, значит он рівнобічний или равнобедренный.

  12. Katerina:

    Диагональ AC невыпуклого четырехугольника ABCD разделяет этот четырехугольник на два треугольника, причем AB>BC, AB=AD, BC=CD, а прямые, содержащие диагонали четырехугольника, пересекаются в точке О. Сравните периметры пятиугольников BCODA и DCOBA

    1. Sergey Seliverstov:

      Они равны. Стороны АВ, AD, OC входят в оба пятиугольника, поэтому требуется доказать только равенство BС + OD = BO + CD.
      По условию BC = CD, то есть остается доказать, что OD = BO. Треугольники АВС и АCD равны по трём сторонам, значит все их соответствующие углы равны. Следовательно, ОА — биссектриса равнобедренного треугольника ABD, а значит и его медиана, то есть OD = BO.

  13. юлия:

    равнобедренная трапеция вписана в окружность радиуса 13,основания равны 10 и 24.найти высоту

    1. Sergey Seliverstov:

      Решение задачи (pdf)
      Кстати, условие, что трапеция равнобедренная — излишнее, поскольку только вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.

  14. саша:

    точка O середина OB стороны AB квадрата ABCD радиус окружности описанной около треугольника AOC равен корень из 10 см вычислите периметр квадрата

    1. Sergey Seliverstov:

      «Точка O середина OB стороны AB квадрата ABCD». Какое-то заклинание непонятное. Может быть вот так надо: «Точка O — середина стороны AB квадрата ABCD»?

  15. Chuck973:

    Здравствуйте! Помогите пожалуйста решить задачу. Докажите, что боковую сторону трапеции, описанной вокруг окружности с центром О, видно с точки О под углом 90 градусов.

    1. Sergey Seliverstov:

      Напишу без подробных пояснений. Если будет не понятно, могу расписать подробнее.

      Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис углов. Сумма углов при боковой стороне трапеции равна 180 градусов, а тогда сумма двух углов треугольника, образованного биссектрисами углов и боковой стороной трапеции, равна 180/2 = 90 градусов. Поэтому оставшийся угол также равен 90 градусов.

  16. Елена:

    Помогите с задачей.Отрезки АВ и СД -диаметры окружности.Докажите что хорды ВД и АС равны.

    1. Sergey Seliverstov:

      Это следует из равенства треугольников ВДО и АСО, где О — центр окружности. А равны эти треугольники по двум сторонам и углу между ними. AO = OB, CO = OD (радиусы окружности), угол AOC = углу BOD (вертикальные).

  17. Chuck973:

    Спасибо большое за помощь

  18. Olga:

    помогите пожалуйста)
    Отрезки AB и CD пересекаются в точке О , OB =OC и угол B= углу C
    Докажите равенство треугольников AOC и DOB

    1. Sergey Seliverstov:

      Поскольку OC = OB, то треугольник COB — равнобедренный, поэтому угол OCB = углу OBC, а поскольку угол B= углу C, то угол OBD = углу OCA (две оставшиеся частички равных углов). Кроме этого угол AOC = углу BOD (вертикальные), OB =OC (по условию), следовательно, треугольники AOC и DOB равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

  19. Юлия:

    Помогите пожалуйста!
    Докажите, что биссектрисы углов трапеции, пересекаясь, образуют четырехугольник, вокруг которого можно описать окружность.

  20. Мадина:

    помогите пожалуйста, известно что треугольник АВD и треугольник CFE равнобедренные и имеют только по 2 равных сторон, равны ли они? почему?

    1. Sergey Seliverstov:

      Если равны два основания и две боковые стороны данных равнобедренных треугольников, то и две оставшиеся боковые стороны тоже равны, тогда эти треугольники равны по трем сторонам. А вот если две боковые стороны одного равнобедренного треугольника соответственно равны двум боковым сторонам другого треугольника, то равными эти треугольники быть не обязаны, поскольку ничего не сказано о равенстве их оснований. Признака равенства треугольников по двум сторонам нет.

  21. masha:

    В окружности проведены две параллельные хорды,стягивающие дугу в 90 (гр.) .Длина одной из них 8 см. Найдите длину отрезка диаметра ,заключенного между хордами.

    1. Sergey Seliverstov:

      Не могу понять условие, можно подробнее? Каким именно образом две параллельные хорды стягивают дугу 90 градусов? О каком именно диаметре идет речь?

  22. Анна:

    Здравствуйте.
    Кажется, у Вас в задаче №2 ошибка, т.к. там сказано отрезки AB и CD пересекаются в точке O, а у Вас пересекаются отрезки AC И BD, Сейчас сама решаю её и не могу.

  23. Анна:

    Задачу 2 доказала, но у Вас, я думаю, все равно опечатка)

    1. Sergey Seliverstov:

      Здравствуйте. Да, спасибо большое, опечатку исправил.

  24. Kathrin:

    Дан равнобедренный треугольник с основанием 4. Рядом с ним окружность, центр вне треугольника, она касается основания и в точке пересечения делит его пополам. Если продлить боковые стороны треугольника, то она их тоже касается. Ее радиус — 2,5. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник. Задача часто в ГИА встречается.

    1. Sergey Seliverstov:

      Да, действительно, очень часто в ГИА встречается. Подробный видеоразбор задачи: http://egetrener.ru/view_rolik.php?id=443

  25. Алина:

    Помогите пожалуйста! Я не очень хорошо знаю геометрию можете подсказать с чего мне начать заниматься, чтобы результат виден был на лицо? Я уже не знаю что мне делать, руки опускаются.. Спасибо заранее!

    1. Sergey Seliverstov:

      Лучше школьного учебника пособия для подготовки не найти. Последовательно, шаг за шагом изучать все темы, решать задачи. Процесс длительный и сложный, но иначе никак. Главное не паниковать, а спокойно готовиться и пользоваться помощью других людей, если есть такая возможность.

  26. людмила:

    Помогите пожалуйста с задачей: докажите, что если две хорды AC и BD пересекаются в точке М, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды.
    заранее спасибо.

    1. Sergey Seliverstov:

      Это теорема об отрезках пересекающихся хорд. Доказательство простое, там все из подобия треугольников следует. Вот доказательство, ребята презентацию делали: http://yourtutor.info/wp-content/uploads/2013/03/otrizki_hord_theorem.png

  27. Виктория:

    Помогите пожалуйста! На сторонах параллелограмма внешним образом построены квадраты. Докажите, что четырехугольник с вершинами в центрах этих квадратов является квадратом.

    1. Sergey Seliverstov:

      Пусть P,Q и R — центры квадратов, построенных на сторонах DA,AB и BC параллелограмма с острым углом a при вершине A. Легко проверить, что угол PAQ = 90° + a = углу RBQ, а значит, треугольник PAQ = треугольнику RBQ. Стороны AQ и BQ этих треугольников перпендикулярны, поэтому PQ перпендикулярна QR.

  28. Марта:

    Здравствуйте, помогите пожалуйста.
    Докажите, что если биссектриса пересекает основание трапеции, то от трапеции отсекается равнобедренный треугольник.

    1. Sergey Seliverstov:

      Здравствуйте. Доказываем. Пусть биссектриса BK пересекает бОльшее основание AD трапеции ABCD. Тогда углы AKB и KBC равны как накрест лежащие при параллельных прямых. Кроме этого угол KBC равен углу KBA, так как BK — биссектриса. Следовательно, Угол AKB равен углу ABK, следовательно, треугольник ABK — равнобедренный (у него оказались равны два угла при основании BK).

  29. Анастасия:

    Добрый день, очень нужна ваша помощь, не могу сама разобраться.
    Биссектрисы всех внутренних углов параллелограмма попарно пересекаются. Докажите, что полученный четырехугольник является прямоугольником.

    1. Sergey Seliverstov:

      Эту задачу пора поместить в список наиболее часто задаваемых вопросов:-). То, что эти биссектрисы попарно параллельны, доказать не сложно. Действительно, противолежащие углы параллелограмма равны, равны и их половинки, биссектрисы образуют один и тот же угол с параллельными прямыми (противоположными сторонами параллелограмма), поэтому они параллельны.
      Далее. Односторонние угла при параллельных прямых в сумме дают 180 градусов. Поскольку биссектрисы делят эти угла пополам, сумма соответствующих половинок равна 90 градусов. Значит на оставшийся угол в треугольнике, образованном пересекающимися биссектрисами и стороной параллелограмма остается 90 градусов.

  30. Ася:

    Помогите пожалуйста!
    Диагонали трапеции разбивают ее на 4 треугольника. Докажите, что треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики.

    1. Sergey Seliverstov:

      Давайте рассмотрим трапецию ABCD с боковыми сторонами AB и CD. Пусть ее диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Докажем, что площади треугольников ABO и CDO равны. Начнем с того, что равны площади треугольников ABD и ACD, потому что у них одно общее основание AD и равны высоты, проведенные к этому основанию (эти высоты равны высоте трапеции). Но треугольник AOD — общая часть этих треугольников. Значит площади оставшихся частичек тоже удут одинаковы.

  31. Нора:

    Здравствуйте, нужна ваша помощь.
    На стороне ВС квадрата ABCD взята точка К. Докажите, что площадь треугольника AKD равна половине площади квадрата.

    1. Sergey Seliverstov:

      Здравствуйте. Площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание. Высота в треугольнике AKD, проведенная из вершины K, равна стороне квадрата (обозначим ее за a), основание AD есть сторона квадрата, ее длина также равна a. Тогда площадь треугольника равна 1/2*a*a, а это как раз в два раза меньше площади квадрата, которая равна a*a.

  32. Злата:

    Докажите, что медианы треугольника разбивают его на шесть равновеликих треугольников

    1. Sergey Seliverstov:

      Классическая задача. Вот здесь можно решение посмотреть: http://pm298.ru/reshenie/hjtyu.php

  33. Vasilisa:

    Здравствуйте,
    Найдите отношение двух сторон треугольника, если его медиана, выходящая из их общей вершины, образует с этими сторонами углы в 30 и 90 градусов.

    1. Sergey Seliverstov:

      Пусть ABC — треугольник, CM — медиана, угол MCA = 90, угол BCM = 30. На продолжении медианы CM построим отрезок DM, равный CM. Тогда ABCD — параллелограмм (диагонали точкой пересечения делятся пополам). Тогда треугольник CDB — прямоугольный с прямым углом CDB. В нем против угла в 30 градусов лежит катет DB, равный половине гипотенузы CB. Это и есть искомое отношение. Ответ 2:1.

  34. Камила:

    Докажите, что отрезок соединяющий середины противоположных сторон параллелограмма, параллельны двум другим его сторонам.

    1. Sergey Seliverstov:

      Есть такая теорема (признак параллелограмма): если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этого четырехугольник – параллелограмм. Подумайте, тут все из этого признака автоматически получается.

  35. Татьяна:

    ребенок учит геометрию по учебнику «Геометрия» авторы Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина. 8 класс. Небольшой эпизод из жизни: На экзамене в билете была задача: Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то трапеция равнобедренная. В учебнике признаки трапеции : трапеция- это 4-хуголник, у которого 2 стороны параллельны, а 2 другие- не параллельны. Второе определение: трапеция равнобедренная, если ее боковые стороны равны.
    ЭТО ВСЁ!!!!!!! НО: Нужны определения, которые по непонятной причине отсутствуют в этом учебнике: 1) Сумма углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороны, равна 180; 2) свойство трапеции, вокруг которой можно описать окружность- это то, что сумма ее противоположных углов равна 180 градусам……. Как с таким качеством теоретического материала можно научить ребенка решать геометрические задачи???? Это, конечно, не к Вам вопрос… Спасибо за ваш сайт.

  36. Наталья:

    надо доказать, что если биссектрисы в треугольниках равны, то и треугольники равны. помогите, пожалуйста.

    1. Sergey Seliverstov:

      Нет, это неверное утверждение.

  37. Настя:

    Очень хороший сайт! готовлюсь по нему к сдаче ГИА! Большое спасибо! Просто и понятно.

  38. Рахель:

    Какие свойства есть у отрезка, соединяющего точки пересечения биссектрис углов при основании треугольника с боковыми сторонами ? Треугольник произвольный.

  39. Наталья:

    Здравствуйте,Сергей! Помогите,пожалуйста,моему ребенку доказать теорему: на боковых сторонах равнобедренного треугольника отложены равные отрезки,есть медиана.Доказать,что отрезки равны.

    1. Sergey Seliverstov:

      Здравствуйте, Наталья. Уточните, пожалуйста, равенство каких отрезков требуется доказать?

  40. Алмя:

    Здравствуйте!помогите пожалуйста докажите что хорда окружности не проходящая через центр меньше диаметра

    1. Сергей:

      Здравствуйте. Длина хорды окружности вычисляется по формуле 2sqrt(R^2-h^2), где R — радиус окружности, h — длина перпендикуляра из центра окружности на хорду. Это меньше 2R.

      1. Алмя:

        Спасибо большое

  41. Семен:

    Здравствуй! Помоги поожалуйста, докажите что треугольники при боковых сторонах, образованные диагоналями трапеции равновелики, как то так. 🙂
    Спасибо заранее

    1. Сергей:

      Пусть есть трапеция ABCD с основаниями AB и CD. Тогда площадь треугольника ABD равна площади треугольника CAB, так как у них общее основание AB и равные высоты (высота трапеции). Значит они равновелики. Ну, соответственно, равновелики и треугольники ADO и COB (O — точка пересечения диагоналей трапеции), так как треугольник AOB — это их общая часть.

  42. Лариса:

    Добрый вечер, помоги решить задачу 7 класс задачи на построение
    Точка A – одна из точек пересечения двух окружностей с центрами O1 и O2. Проведите через A прямую, которая пересекала бы окружности в точках B и C таким образом, чтобы хорды AB и AC были равны. Спасибо

    1. Сергей:

      Здравствуйте, задача уже разбиралась здесь:
      http://e-science.sources.ru/node/119116

  43. Дмитрий:

    В трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность с центром в точке О. Докажите, что угол AOB = 90градусов.
    Помогите по жалуйста!

    1. Сергей:

      Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис углов A и B. Эти углы в сумме дают 180 градусов (односторонние при параллельных прямых). Значит сумма углов ABO и BAO равна 90 градусов (половина), а значит угол AOB = 90 градусов, т.к. сумма углов в треугольнике равна 180 градусов.

  44. Ирина:

    Помоги, пожалуста, сделать построение:
    Даны 2 отрезка PQ, ET и угол Н. Постройте четырехугольник ABCD, в котором BO = PQ, OD = ET, угол COD = углу Н и АО*ОС = ВО*OD.

    1. Сергей:

      Строим отрезки BO и OD на одной прямой. Через точки B и D проводим окружность. Строим угол COD. Продлеваем сторону CO до пересечения с окружностью в точке A. Четырехугольник ABCD — искомый, так как по теореме о пересекающихся хордах АО*ОС = ВО*OD.

  45. Милана:

    два круга с центрами в точках а и в пересекаются в точках m и n доказать что треугольники nab и mab равны при любых радиусах окружностей помогитеее

    1. Сергей:

      Эти треугольники равны по трём сторонам (одной общей, две другие — соответственно равные радиусы окружностей)

  46. Яна:

    Здравствуйте. Ищу, как доказать формулу площади эллипса. Везде пишут доказательство через интеграл. А можно как-нибудь без интеграла?

    1. Сергей:

      Спасибо за вопрос. Ответ в видео и на этой странице.

  47. Настя:

    Помогите, пожалуйста. Докажите что если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность то высота равна средней линии.

    1. Сергей:

      Это неверное утверждение, поэтому доказать его невозможно.

  48. тима:

    Как доказать что стороны трапеции параллельны???

    1. Сергей:

      Во-первых, не все, а только две. Они называются основаниями. Две другие (боковые стороны) не параллельны. Во-вторых, это не нужно доказывать, это определение.

  49. Кирилл:

    угол1=углу2
    ВД=ДС
    ДОК-во
    Треугольник АВС-равнобедренный

  50. Nana:

    Дано треугольник АВС
    ВС=а АС=б. АВ=с
    Провели биссектрисы внешних углов при вершинах А и С. Из вершины В опустили перпендикуляри ВМ и ВN. Знайти длинну отрезка МN

Добавить комментарий