Задание 15 ЕГЭ по математике (профиль)

Вторник, Май 30, 2017

Статья посвящена разбору заданий 15 из профильного ЕГЭ по математике за 2017 год. В этом задании школьникам предлагают для решения неравенства, чаще всего логарифмические. Хотя могут быть и показательные. В данной статье приводится разбор примеров логарифмических неравенств, в том числе содержащих переменную в основании логарифма. Все примеры взяты из открытого банка заданий ЕГЭ по математике (профиль), так что подобные неравенства с большой вероятностью могут попасться вам на экзамене в качестве задания 15. Идеально для тех, кто за коротких промежуток времени хочет научиться решать задание 15 из второй части профильного ЕГЭ по математике, чтобы получить больше баллов на экзамене.

Разбор заданий 15 из профильного ЕГЭ по математике

Пример 1. Решите неравенство:

    \[ 11\log_{11}\left(x^2+x-20\right)\leqslant 12+\log_{11}\frac{(x+5)^{11}}{x-4}. \]


В заданиях 15 ЕГЭ по математике (профиль) часто встречаются логарифмические неравенства. Решение логарифмических неравенств начинается с определения области допустимых значений. В данном случае в основании обоих логарифмов нет переменной, есть только число 11, что существенно упрощает задачу. Поэтому единственное ограничение, которое у нас здесь есть, заключается в том, что оба выражения, стоящие под знаком логарифма, положительны:

    \[ \begin{cases} x^2+x-20>0 \\ \frac{(x+5)^{11}}{x-4}>0. \end{cases} \]

Первое неравенство в системе — это квадратное неравенство. Чтобы его решить, нам бы очень не помешало разложить левую часть на множители. Я думаю, вы знаете, что любой квадратный трехчлен вида ax^2+bx+c раскладывается на множители следующим образом:

    \[ ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2), \]

где x_1 и x_2 — корни уравнения ax^2+bx+c=0. В данном случае коэффициент а равен 1 (это числовой коэффициент, стоящий перед x^2). Коэффициент b тоже равен 1, а коэффициент c — это свободный член, он равен -20. Корни трёхчлена проще всего определить по теореме Виета. Уравнение у нас приведённое, значит сумма корней x_1 и x_2 будет равна коэффициенту b с противоположным знаком, то есть -1, а произведение этих корней будет равно коэффициенту c, то есть -20. Легко догадаться, что корни будут -5 и 4.

Теперь левую часть неравенства можно разложить на множители: (x-4)(x+5)>0. Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось X в точках -5 и 4. Значит, искомое решение неравенства — это промежуток (-\mathcal{1};-5)\cup(4;+\mathcal{1}). Для тех, кому не понятно, что здесь написано, подробности вы можете посмотреть в видеоролике, начиная с этого момента. Там же вы найдёте подробное объяснение, как решается второе неравенство системы. Оно решается методом интервалов. Причём ответ получается точно таким же, как и для первого неравенства системы. То есть записанное выше множество — это и есть область допустимых значений неравенства.

Итак, с учётом разложения на множители, исходное неравенство принимает вид:

    \[ 11\log_{11}(x+5)(x-4)\leqslant 12+\log_{11}\frac{(x+5)^{11}}{x-4}. \]

Используя формулу \log_a b^r = r\log_a b, внесём 11 в степень выражения, стоящего под знаком первого логарифма, и перенесём второй логарифм в левую сторону неравенства, изменив при этом его знак на противоположный:

    \[ \log_{11}(x+5)^{11}(x-4)^{11}-\log_{11}\frac{(x+5)^{11}}{x-4}\leqslant 12. \]

Далее используем формулу \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}, чтобы представить разность двух логарифмов как один логарифм от частного аргументов исходных логарифмов:

    \[ \log_{11}\frac{(x+5)^{11}(x-4)^{11}(x-4)}{(x+5)^{11}}\leqslant 12. \]

После сокращения получаем:

    \[ \log_{11}(x-4)^{12}\leqslant 12\Leftrightarrow \log_{11}(x-4)^{2}\leqslant \log_{11} 121. \]

Последнее неравенство, в силу возрастания функции y=\log_{11} x, эквивалентно неравенству (x-4)^2\leqslant 121, решением которого является промежуток x\in[-7;15]. Осталось пересечь его с областью допустимых значений неравенства, и это получится ответ ко всему заданию.

Итак, искомый ответ к заданию имеет вид:

x\in[-7;-5)\cup(4;15].

С этим заданием мы разобрались, теперь переходим к следующему примеру задания 15 ЕГЭ по математике (профиль).

Пример 2. Решите неравенство:

    \[ \frac{\log_x 2x^{-1}\cdot\log_x 2x^2}{\log_{2x}x\cdot\log_{2x^{-2}}x}<40. \]

Решение начинаем с определения области допустимых значений данного неравенства. В основании каждого логарифма должно находиться положительное число, которое не равно 1. Все выражения, стоящие под знаком логарифма должны быть положительны. В знаменателе дроби не должно оказаться нуля. Последнее условие эквивалентно тому, что x\ne 1, поскольку лишь в противном случае оба логарифма в знаменателе обращаются в нуль. Все эти условия определяют область допустимых значений этого неравенства, задающуюся следующей системой неравенств:

    \[ \begin{cases} x>0 \\ x\ne\frac{1}{2};\; 1;\;\sqrt{2}. \end{cases} \]

В области допустимых значений мы можем использовать формулы преобразования логарифмов для того, чтобы упростить левую часть неравенства. С помощью формулы \log_a b = \frac{1}{\log_b a} избавляемся от знаменателя:

    \[ \log_x 2x\cdot\log_x 2x^{-1}\cdot\log_x 2x^2\cdot\log_x 2x^{-2}<40. \]

Теперь у нас получились только логарифмы с основанием x. Это уже удобнее. Далее используем формулу \log_a (bc)=\log_a b + \log_a c, в также формулу \log_a b^r = r\log_a b для того, чтобы привести выражение, стоящее слава, к следующему виду:

    \[ (1+\log_x 2)\cdot(-1+\log_x 2)\times \]

    \[ \times(2+\log_x 2)\cdot(-2+\log_x 2)<40. \]

При вычислениях мы использовали то, что в области допустимых значений \log_x x = 1. Используя замену t=\log_x 2, приходим к выражению:

    \[ (t+1)(t-1)(t+2)(t-2)<40. \]

Далее используем формулу «разность квадратов», чтобы преобразовать неравенство к следующему виду:

    \[ (t^2-1)(t^2-4)<40. \]

Используем ещё одну замену: z=t^2. В результате чего приходим к следующему результату:

    \[ (z-1)(z-4)<40\Leftrightarrow z^2-5z-36<0. \]

Это квадратное неравенство решается стандартным образом. В ответе получается промежуток -4<z<9. Подробности смотрите в видеоразборе, начиная с данного момента.

Итак, постепенно возвращаемся к исходным переменным. Сперва к переменной t:

    \[ -4<t^2<9\Leftrightarrow 0\leqslant t^2<9\Leftrightarrow -3<t<3. \]

Далее возвращаемся к переменной x:

    \[ -3<\log_x 2<3. \]

В области допустимых значений последнее двойное неравенство можно представить в виде:

    \[ -3<\frac{1}{\log_2 x}<3\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \log_2 x>\frac{1}{3} \\ \log_2 x<-\frac{1}{3}. \end{array} \]

Последняя совокупность равносильна следующей:

    \[ \left[\begin{array}{l} \log_2 x>\log_2 \sqrt[3]{2} \\ \log_2 x<\log_2 \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \end{array}\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x>\sqrt[3]{2} \\ x<\frac{1}{\sqrt[3]{2}}. \end{array} \]

Это уже почти ответ. Осталось только пересечь его с областью допустимых значений. Для этого расположим все ключевые точки в порядке возрастания: 0=2^{-\mathcal{1}}, \frac{1}{2}=2^{-1}, \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = 2^{-\frac{1}{3}}, 1=2^0, \sqrt[3]{2}=2^{\frac{1}{3}}, \sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}. Тогда несложно определить, что окончательный ответ будет иметь вид:

x\in\left(0;\frac{1}{2}\right)\cup\left(\frac{1}{2};\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)\cup\left(\sqrt[3]{2};\sqrt{2}\right)\cup\left(\sqrt{2};+\mathcal{1}\right).

Разбор заданий 15 ЕГЭ по математике (профиль) подготовил репетитор по математике и физике в Москве, Сергей Валерьевич

Читайте другие статьи на сайте, посвященные подготовке к профильному ЕГЭ по математике:

Добавить комментарий