ЕГЭ. Задачи на окружность

Вторник, Апрель 11, 2017

Линейка, треугольник и карандаш для изображения чертежей к задачам на окружность из ЕГЭ по математикеПрактически с полной уверенностью можно сказать, что хотя бы одна задача на окружность обязательно встретится вам на ЕГЭ по математике профильного или базового уровня. В профильном варианте ЕГЭ такие задачи встречаются под номерами 6, 16 и, как эти ни странно, 18. Последнее задание ассоциируется обычно с параметрами, но если вы дочитаете эту статью до конца, то узнаете, как окружность может иногда помочь решить такого рода задания. Конечно, задачи на окружность в ЕГЭ могут попасться и в заданиях по стереометрии, но в этой статье речь пока пойдёт только о заданиях, связанных с планиметрией. В конце концов, первый шаг в освоении мастерства решения задач по стереометрии — это решение планиметрических задач.

Все задания, которые мы сегодня рассмотрим, — это задания из реальных вариантов ЕГЭ по математике. Именно такого рода задания вам и предстоит решать на ЕГЭ, если вы к нему готовитесь. Так что дочитайте эту статью до конца. Знания, которые вы получите, обязательно пригодятся вам на экзамене.

Задачи на окружность из первой части ЕГЭ по математике

Задание 6. Внутри треугольника ABC взяли точку O такую, что она равноудалена от вершин треугольника. Угол BAC равен 62^{\circ}. Какова градусная мера угла BOC?

Ссылка на видеоразбор

Обратим сразу внимание на то, что поскольку точка O равноудалена от вершин треугольника, то она является центром описанной около него окружности. Интересно также отметить, что этот треугольник обязательно должен быть остроугольным. В противном случае центр описанной окружности должен был бы оказаться вне треугольника, а не внутри него, как у нас. Изобразим эту ситуацию на рисунке:

Рисунок к задаче с окружностью из задания 6 ЕГЭ по математике

Ну и теперь, когда мы всё это понимаем, как же решить задачу? Для этого нужно знать так называемую теорему о вписанном угле, которая гласит, что градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую этот угол опирается. И ещё нужно знать, что градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.

Ну и если вы помните эти нехитрые факты, решение становится совсем простым. Ведь в нашем случае угол BAC как раз является вписанным. Значит градусная мера малой дуги BC равна 124^{\circ} (вдвое больше самого вписанного угла). Ну а тогда искомая градусная мера центрального угла BOC равна тем же 124^{\circ}. И это наш ответ:

Градусная мера вписанного и центрального углов, опирающихся на одну дугу

Следующие задания из ЕГЭ по математике, при решении которых вам могут потребоваться знания, связанные с темой «Окружность», встречаются уже во второй части этого экзамена. Разберём пару примеров.

Задачи на окружность из части 2 профильного ЕГЭ по математике

Задание 16. Треугольник ABC вписан в окружность. Через вершину C проведена касательная к окружности, пересекающая прямую BA в точке D, причём B лежит между A и D; AB = 7.5 и CD = 15\sqrt{\frac{3}{2}}.
а) Докажите, что BD = 2AB.
б) Из вершин A и B на касательную CD опущены перпендикуляры, меньший из которых равен 9. Определите площадь трапеции, образованной этими перпендикулярами, стороной AB и отрезком касательной.

Ссылка на видеоразбор

а) Начнём с доказательства. Для этого изобразим ситуацию на рисунке:

Касательная и секущая к окружности. Задача 16 профильного ЕГЭ по математике

Для доказательства используем теорему о касательной и секущей. Согласно этой теореме имеет место соотношение:

    \[ CD^2=AD\cdot DB=(AB+BD)\cdot BD. \]

Пусть BD=x. Тогда записанное равенство принимает вид:

    \[ \left(15\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2 = x\left(\frac{15}{2}+x\right)\Leftrightarrow \frac{15^2\cdot 3}{2} = x\left(\frac{15}{2}+x\right) \Leftrightarrow \]

    \[ \Leftrightarrow 15\cdot\left(15+\frac{15}{2}\right) = x\left(x+\frac{15}{2}\right). \]

Из последнего равенства видно, что один из корней уравнения: x=15. Второй будет отрицательным. Это видно из теоремы Виета. Конкретно из того, что свободный член в первоначальном квадратном уравнении, если его записать в стандартном виде, будет отрицателен. То есть второй корень нам не подходит.

Итак, получается, что BD = 15, и это доказывает, что BD = 2AB

б) Проведём теперь перпендикуляры к касательной из точек A и B, меньший из которых равен 9, и найдём площадь трапеции, образовавшейся между этими перпендикулярами, отрезком AB и отрезком касательной, концами которого являются основания проведённых перпендикуляров:

Площадь трапеции, образованной перпендикулярами из точек A и B, стороной AB и отрезком касательной

Начнём с того, что треугольники FBD и EAD подобны по двум углам. Действительно, угол ADE у них общий, а углы AED и BFD равны, поскольку они оба прямые. Коэффициент подобия этих треугольников равен отношению AD:BD, то есть равен \frac{3}{2}. То есть сторона AE равна 9\cdot \frac{3}{2}=13,5. Таким образом мы нашли оба основания трапеции.

Теперь давайте найдём длину FD. Сделать это не сложно. Для этого нужно воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника BFD.  Из этого находим, что FD = 12. Значит, вновь используя подобие треугольников FBD и EAD, можно найти, что ED = 18, а значит EF = 6. То есть мы нашли высоту нашей трапеции.

Теперь мы знает всё, что нужно для нахождения площади нашей трапеции. Итак, искомая площадь равна:

    \[ S = \frac{AE+BF}{2}\cdot EF = \frac{9+13,5}{2}\cdot 6 = 67,5. \]

Это наш ответ.

Ну и ещё одно задание из профильного ЕГЭ по математике, где вам может встретиться окружность, как это ни странно, — это задание под номером 18. Традиционно это задание ассоциируется с параметрами, поэтому причём здесь геометрия с окружностями с первого взгляда не совсем понятно. Но посмотрите на решение следующего задания, и вы поймёте в чём тут суть дела.

Задание 18. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

    \[ \begin{cases} |x+2y+1|\leqslant 11\\ (x-a)^2+(y-2a)^2=2+a \end{cases} \]

имеет единственное решение.

Ссылка на видеоразбор

Рассмотрим три случая:

1. При a<-2. В этом случае (x-a)^2+(y-2a)^2<0, что невозможно ни при каких x и y, поскольку сумма квадратов действительных чисел не может быть отрицательной. То есть в этом случае решений у системы нет.

2. При a=-2 уравнение системы принимает вид (x-a)^2+(y-2a)^2=0, что возможно только в том случае, если оба выражения в скобках одновременно обращаются в нуль. То есть имеет место система:

    \[ \begin{cases} x=a \\ y=2a \end{cases} \begin{cases} x=-2 \\ y=-4. \end{cases} \]

Прямой подстановкой полученных значений в неравенство системы убеждаемся, что они ему удовлетворяют:

    \[ |-2+2\cdot (-4)+1|=9\leqslant 11. \]

Значит вариант с a=-2 нам подходит, система имеет единственное решение при этом значении параметра a.

3. Рассмотрим теперь случай, когда a>-2. В этом случае задание допускает графическое решение. Первое неравенство с модулем можно заменить вот таким двойным неравенством: -12\leqslant x+2y\leqslant 10. Тогда исходную систему можно переписать в следующем виде:

    \[ \begin{cases} x+2y\geqslant -12\\ x+2y\leqslant 10\\ (x-a)^2+(y-2a)^2=2+a. \end{cases} \]

Или в более удобном виде:

    \[ \begin{cases} y\geqslant -6-\frac{1}{2}x\\ y\leqslant 5-\frac{1}{2}x\\ (x-a)^2+(y-2a)^2=2+a. \end{cases} \]

Посмотрим на уравнение системы. Какую линию задаёт на координатной плоскости это уравнение при a>-2? И вот здесь-то и появляется наша любимая окружность. Действительно, ведь этой уравнение окружности! Квадрат радиуса этой окружности равен 2+a, а центр лежит в точке (a;2a), то есть где-то на прямой y=2x. На рисунке снизу она изображена красным цветом. При этом прямая y=2x перпендикулярна прямой y=5-\frac{x}{2}:

Две взаимно перпендикулярные прямые на координатной плоскости

Это легко доказать, если рассмотреть треугольник, полученный между этими прямыми и осью OY. Длины сторон этого треугольника равны \sqrt{25}, \sqrt{20} и \sqrt{5} (подробнее об этом смотрите в видео). Значит, по теореме, обратной теореме Пифагора, этот треугольник является прямоугольным.

Изобразим теперь, какую область на координатной плоскости задают первые два неравенства системы. Для этого изобразим ещё график функции y=-6-\frac{1}{2}x (зелёная линия на рисунке снизу). Тогда выделенная на рисунке снизу область, заключённая между этими прямыми, и будет являться искомой.

Это даёт понять, что система имеет единственное решение в том случае, когда наша окружность внешним образом касается верхней границы заштрихованной области в точке B, как показано на рисунке:

Рисунок к задаче 18 из ЕГЭ по математике профильного уровня с параметром и окружностью
Эта ситуация реализуется, когда a=3. Действительно, поскольку окружность касается области в точке B, то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению окружности, то есть должно быть справедливо равенство:

    \[ (2-a)^2+(4-2a)^2=2+a \]

    \[ 5a^2-21a+18=0 \]

    \[ a_1=3,\, a_2=\frac{6}{5}. \]

Подходит только первый корень, поскольку второй соответствует касанию окружности в точке B внутренним образом. То есть второй случай нам не подходит, так как в этом случае решений у системы будет бесконечно много, а не одно, как требуется в условии.

Итак, мы почти решили задачу. Остаётся открытым вопрос. Может ли подобная ситуация реализоваться в случае с касанием нашей окружности с выделенной областью в точке C внешним образом? Ответ на этот вопрос — нет. Почему? Потому что в этом случае координата x центра окружности, а значит и значение параметра a меньше -2. Но мы уже выяснили выше, что при a<-2 решений у системы нет.

Итак, ответ к этому заданию: a\in\{-2;3\}.

В данной статье мы рассмотрели задачи на окружность, которые могут вам встретиться на ЕГЭ по математике. Они могли показаться вам сложными, особенно если вы только начали свою подготовку к предстоящему экзамену. Но на самом деле, для того, чтобы научиться их решать, не требуется ничего сверхъестественного. Нужно лишь желание, достаточное количество времени, ну и помощь грамотного наставника. Если кому-то из вас нужны занятия с репетитором для подготовки к предстоящему экзамену, пройдите по этой ссылке, там вы найдёте информацию обо мне и моих занятиях. Удачи вам в подготовке к экзамену!

Статью написал репетитор по математике для подготовки к ЕГЭ, Сергей Валерьевич

Понравилась статья? Тогда, возможно, вам будут интересны также следующие:

Добавить комментарий