Вступительный экзамен в СУНЦ МГУ

Суббота, 28 мая, 2016

Вид на главное здание МГУПоступить в СУНЦ МГУ хотят многие школьники со всех уголков России, но удаётся это только лучшим из лучших. Для поступления в школу-интернат им. А.Н. Колмогорова нужно успешно сдать вступительные экзамены. Попробуйте решить предложенные в статье задания из типового варианта вступительного экзамена в СУНЦ МГУ по математике для поступающих в 10 класс (физико-математический профиль) и узнайте, готовы ли вы к поступлению в эту школу. Все задания снабжены подробными комментариями и решениями от репетитора по математике.

1. Велосипедисту надо было проехать расстояние в 30 км. Выехав на 3 минуты позже назначенного срока, он ехал со скоростью на 1 км/час большей, чем планировал, и приехал на место вовремя. С какой скоростью ехал велосипедист?

Пусть запланированная скорость велосипедиста равна x километр в минуту. Тогда с запланированной скоростью он должен был проехать 30 км пути за \frac{30}{x} минут. Его фактическая скорость равна x+\frac{1}{60} километр в минуту. Тогда фактически он проехал расстояние 30 км за \frac{30}{x+\frac{1}{60}} минут. Известно, что велосипедист реально выехал на 3 минуты позже запланированного срока, то есть двигался на 3 минуты меньше, чем было запланировано изначально. Поэтому имеет место уравнение:

    \[ \frac{30}{x}-\frac{30}{x+\frac{1}{60}} = 3\Leftrightarrow x = \frac{2}{5}. \]

Следовательно, реальная скорость велосипедиста была равна \frac{2}{5}+\frac{1}{60} = \frac{5}{12} километров в минуту.

2. Решить уравнение x|x|-4x+3=0.

Для x>0 получаем x^2-4x+3 = 0, откуда находим x_1 = 3 и x_2=1.

Для x\leqslant 0 получаем x^2+4x-3 = 0, откуда получаем x_3 = -2-\sqrt{7}. Второй корень этого уравнения \sqrt{7}-2>0.

3. В геометрической прогрессии a_1,a_2,\dots,a_{2016} произведение членов с чётными номерами в 2^{1008} раз больше произведения членов с нечётными номерами. Найдите знаменатель этой прогрессии.

Рассмотрим геометрическую прогрессию 2^1, 2^2,\dots,2^{2016} со знаменателем 2. Докажем, что эта прогрессия удовлетворяет требованиям, указанным в условии.

Произведение членов этой прогрессии с четными номерами равно:

    \[ K_1 = 2^2\cdot2^4\cdot\dots\cdot 2^{2016} = 2^{2+4+\dots+2016}. \]

В показателе стоит сумма арифметической прогрессии с разностью 2, первым членом 2, последним членом 2016, состоящая из 1008 членов. Сумма такой арифметической прогрессии равна:

    \[ S_1 = \frac{2+2016}{2}\cdot 1008 = 1009\cdot 1008. \]

Итак, K_1 = 2^{1009\cdot 1008}.

Произведение членов этой прогрессии с нечётными номерами равно:

    \[ K_2 = 2^1\cdot2^3\cdot\dots\cdot 2^{2015} = 2^{1+3+\dots+2015}. \]

В показателе стоит сумма арифметической прогрессии с разностью 2, первым членом 1, последним членом 2015, состоящая из 1008 членов. Сумма такой арифметической прогрессии равна:

    \[ S_2 = \frac{1+2015}{2}\cdot 1008 = 1008\cdot 1008. \]

Итак, K_2 = 2^{1008\cdot 1008}.

Тогда \frac{K_1}{K_2} = 2^{1008}. Что и требовалось доказать.

Итак, знаменатель геометрической прогрессии равен 2.

4. В остроугольном треугольнике ABC угол C равен 86^{\circ}. Найдите угол BAO, где O — центр описанной около треугольника ABC окружности.

Rendered by QuickLaTeX.com

Вписанный угол C опирается на дугу AB, поэтому градусная мера дуги AB равна 2\angle C = 172^{\circ}. Угол O является центральным и опирается на ту же дугу, поэтому \angle O = 172^{\circ}. AO = OB, так как центр описанной около треугольника окружности равноудалён от его вершин. Поэтому треугольник AOB — равнобедренный.
Значит \angle BAO = \frac{1}{2}(180^{\circ}-172^{\circ}) = 4^{\circ}.

5. Корни квадратного уравнения x^2+px+q = 0 являются целыми числами. Найдите p и q, если p+q = 112.

Пусть a и b — целочисленные корни уравнения, причём пусть для определенности a\geqslant b. Тогда из условия задачи и из теоремы Виета следует следующая система:

    \[ \begin{cases} a+b = -p \\ ab = q \\ p+q = 112 \end{cases}\Leftrightarrow a+b-ab = -112. \]

Заметим сразу, что a\ne 1, поэтому последнее уравнение можно преобразовать к виду:

    \[ b = \frac{a+112}{a-1} = \frac{a-1+113}{a-1}=1+\frac{113}{a-1}. \]

Последнее уравнение решается в целых числах при следующих a\geqslant b:

    \[ \begin{array}{llll} a-1 = 113 & \Leftrightarrow & a = 114 & b = 2 \\ a-1 = -1 & \Leftrightarrow & a = 0 & b = -112 \\ \end{array} \]

В этих случаях соответствующие значения p и q равны:

    \[ \begin{array}{ll} p = -116 & q = 228 \\ p = 112 & q = 0 \\ \end{array} \]

Репетитор по математике и физике, осуществляющий подготовку к поступлению в СУНЦ МГУ, Сергей Валерьевич

Добавить комментарий