Главная | Цены | Статьи | Контакты
Меню
Категории
Мой канал на Youtube
Вступительный экзамен в СУНЦ МГУ
28.05.2016 Методическая копилка

Вид на главное здание МГУПоступить в СУНЦ МГУ хотят многие школьники со всех уголков России, но удаётся это только лучшим из лучших. Для поступления в школу-интернат им. А.Н. Колмогорова нужно успешно сдать вступительные экзамены. Попробуйте решить предложенные в статье задания из типового варианта вступительного экзамена в СУНЦ МГУ по математике для поступающих в 10 класс (физико-математический профиль) и узнайте, готовы ли вы к поступлению в эту школу. Все задания снабжены подробными комментариями и решениями от репетитора по математике.

1. Велосипедисту надо было проехать расстояние в 30 км. Выехав на 3 минуты позже назначенного срока, он ехал со скоростью на 1 км/час большей, чем планировал, и приехал на место вовремя. С какой скоростью ехал велосипедист?

Пусть запланированная скорость велосипедиста равна x километр в минуту. Тогда с запланированной скоростью он должен был проехать 30 км пути за \frac{30}{x} минут. Его фактическая скорость равна x+\frac{1}{60} километр в минуту. Тогда фактически он проехал расстояние 30 км за \frac{30}{x+\frac{1}{60}} минут. Известно, что велосипедист реально выехал на 3 минуты позже запланированного срока, то есть двигался на 3 минуты меньше, чем было запланировано изначально. Поэтому имеет место уравнение:

    \[ \frac{30}{x}-\frac{30}{x+\frac{1}{60}} = 3\Leftrightarrow x = \frac{2}{5}. \]

Следовательно, реальная скорость велосипедиста была равна \frac{2}{5}+\frac{1}{60} = \frac{5}{12} километров в минуту.

2. Решить уравнение x|x|-4x+3=0.

Для x>0 получаем x^2-4x+3 = 0, откуда находим x_1 = 3 и x_2=1.

Для x\leqslant 0 получаем x^2+4x-3 = 0, откуда получаем x_3 = -2-\sqrt{7}. Второй корень этого уравнения \sqrt{7}-2>0.

3. В геометрической прогрессии a_1,a_2,\dots,a_{2016} произведение членов с чётными номерами в 2^{1008} раз больше произведения членов с нечётными номерами. Найдите знаменатель этой прогрессии.

Из условия известно, что имеет место равенство:

    \[ a_2\times a_4\times \dots\times a_{2016} = 2^{1008}\times a_1\times a_3\times \dots\times a_{2015} \]

Ни одно из записанных чисел не равно нулю, поскольку они являются членами геометрической прогрессии. Значит, можно поделить обе части получившегося равенства на выражение a_1\times a_3\times\dots\times a_{2015}\ne 0. Тогда получаем следующее выражение:

    \[ \dfrac{a_2}{a_1}\times \dfrac{a_4}{a_3}\times\dots\times \dfrac{a_{2016}}{a_{2015}}=2^{1008} \]

Но любая дробь в этом произведении равна q — знаменателю этой прогрессии. Всего в этом произведении стоит ровно 1008 дробей. Тогда имеет место равенство:

    \[ q^{1008} = 2^{1008}\Leftrightarrow q = \pm 2 \]

4. В остроугольном треугольнике ABC угол C равен 86^{\circ}. Найдите угол BAO, где O — центр описанной около треугольника ABC окружности.

Rendered by QuickLaTeX.com

Вписанный угол C опирается на дугу AB, поэтому градусная мера дуги AB равна 2\angle C = 172^{\circ}. Угол O является центральным и опирается на ту же дугу, поэтому \angle O = 172^{\circ}. AO = OB, так как центр описанной около треугольника окружности равноудалён от его вершин. Поэтому треугольник AOB — равнобедренный.
Значит \angle BAO = \frac{1}{2}(180^{\circ}-172^{\circ}) = 4^{\circ}.

5. Корни квадратного уравнения x^2+px+q = 0 являются целыми числами. Найдите p и q, если p+q = 112.

Пусть a и b — целочисленные корни уравнения, причём пусть для определенности a\geqslant b. Тогда из условия задачи и из теоремы Виета следует следующая система:

    \[ \begin{cases} a+b = -p \\ ab = q \\ p+q = 112 \end{cases}\Leftrightarrow a+b-ab = -112. \]

Заметим сразу, что a\ne 1, поэтому последнее уравнение можно преобразовать к виду:

    \[ b = \frac{a+112}{a-1} = \frac{a-1+113}{a-1}=1+\frac{113}{a-1}. \]

Последнее уравнение решается в целых числах при следующих a\geqslant b:

    \[ \begin{array}{llll} a-1 = 113 & \Leftrightarrow & a = 114 & b = 2 \\ a-1 = -1 & \Leftrightarrow & a = 0 & b = -112 \\ \end{array} \]

В этих случаях соответствующие значения p и q равны:

    \[ \begin{array}{ll} p = -116 & q = 228 \\ p = 112 & q = 0 \\ \end{array} \]

Репетитор по математике и физике, осуществляющий подготовку к поступлению в СУНЦ МГУ, Сергей Валерьевич

Добавить комментарий


Можно не заполнять

Можно не заполнять

*