Вступительный экзамен в СУНЦ МГУ

Суббота, 28 мая, 2016

Поступить в СУНЦ МГУ хотят многие школьники со всех уголков России, но удаётся это только лучшим из лучших. Для поступления в школу-интернат им. А.Н. Колмогорова нужно успешно сдать вступительные экзамены. Попробуйте решить предложенные в статье задания из типового варианта вступительного экзамена в СУНЦ МГУ по математике для поступающих в 10 класс (физико-математический профиль) и узнайте, готовы ли вы к поступлению в эту школу. Все задания снабжены подробными комментариями и решениями от репетитора по математике.

1. Велосипедисту надо было проехать расстояние в 30 км. Выехав на 3 минуты позже назначенного срока, он ехал со скоростью на 1 км/час большей, чем планировал, и приехал на место вовремя. С какой скоростью ехал велосипедист?

Пусть запланированная скорость велосипедиста равна $x$ километр в минуту. Тогда с запланированной скоростью он должен был проехать 30 км пути за $\frac{30}{x}$ минут. Его фактическая скорость равна $x+\frac{1}{60}$ километр в минуту. Тогда фактически он проехал расстояние 30 км за $\frac{30}{x+\frac{1}{60}}$ минут. Известно, что велосипедист реально выехал на 3 минуты позже запланированного срока, то есть двигался на 3 минуты меньше, чем было запланировано изначально. Поэтому имеет место уравнение:

$\frac{30}{x}-\frac{30}{x+\frac{1}{60}} = 3\Leftrightarrow x = \frac{2}{5}.$

Следовательно, реальная скорость велосипедиста была равна $\frac{2}{5}+\frac{1}{60} = \frac{5}{12}$ километров в минуту.

2. Решить уравнение $x|x|-4x+3=0$ .

Для $x>0$ получаем $x^2-4x+3 = 0$ , откуда находим $x_1 = 3$ и $x_2=1$ .

Для $x\leqslant 0$ получаем $x^2+4x-3 = 0$ , откуда получаем $x_3 = -2-\sqrt{7}$ . Второй корень этого уравнения $\sqrt{7}-2>0$ .

3. В геометрической прогрессии $a_1,a_2,\dots,a_{2016}$ произведение членов с чётными номерами в $2^{1008}$ раз больше произведения членов с нечётными номерами. Найдите знаменатель этой прогрессии.

Из условия известно, что имеет место равенство:

$a_2\times a_4\times \dots\times a_{2016} = 2^{1008}\times a_1\times a_3\times \dots\times a_{2015}$

Ни одно из записанных чисел не равно нулю, поскольку они являются членами геометрической прогрессии. Значит, можно поделить обе части получившегося равенства на выражение $a_1\times a_3\times\dots\times a_{2015}\ne 0$ . Тогда получаем следующее выражение:

$\dfrac{a_2}{a_1}\times \dfrac{a_4}{a_3}\times\dots\times \dfrac{a_{2016}}{a_{2015}}=2^{1008}$

Но любая дробь в этом произведении равна $q$ — знаменателю этой прогрессии. Всего в этом произведении стоит ровно 1008 дробей. Тогда имеет место равенство:

$q^{1008} = 2^{1008}\Leftrightarrow q = \pm 2$

4. В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $86^{\circ}$ . Найдите угол $BAO$ , где $O$ — центр описанной около треугольника $ABC$ окружности.

Rendered by QuickLaTeX.com

Вписанный угол $C$ опирается на дугу $AB$ , поэтому градусная мера дуги $AB$ равна $2\angle C = 172^{\circ}$ . Угол $O$ является центральным и опирается на ту же дугу, поэтому $\angle O = 172^{\circ}$ . $AO = OB$ , так как центр описанной около треугольника окружности равноудалён от его вершин. Поэтому треугольник $AOB$ — равнобедренный.
Значит $\angle BAO = \frac{1}{2}(180^{\circ}-172^{\circ}) = 4^{\circ}$ .

5. Корни квадратного уравнения $x^2+px+q = 0$ являются целыми числами. Найдите $p$ и $q$ , если $p+q = 112$ .

Пусть $a$ и $b$ — целочисленные корни уравнения, причём пусть для определенности $a\geqslant b$ . Тогда из условия задачи и из теоремы Виета следует следующая система: