Вступительный экзамен по математике в РЭУ им. Г.В. Плеханова

Пятница, Август 25, 2017

Фасад главного здания РЭУ им. Г.В. ПлехановаВ данной статье представлен разбор примера варианта вступительного испытания по математике в РЭУ им. Г.В. Плеханова от профессионального репетитора, занимающегося подготовкой абитуриентов к поступлению в этот университет. Все решения снабжены подробными комментариями и пояснениями, так что при желании каждый сможет самостоятельно разобраться со всеми заданиями.

Разбор варианта вступительного экзамена по математике в РЭУ им. Г.В. Плеханова

1. Вычислить

    \[ \sqrt[3]{3\frac{3}{8}}. \]

Варианты ответов:
а) 1.5;
б) 2;
в) 2,5;
г) 3,5.

Вычислим значение, используя стандартные правила преобразования выражений, содержащих радикалы:

    \[ \sqrt[3]{3\frac{3}{8}} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2}=1.5. \]

2. Корнем какого уравнения является число 2?

Далее идут варианты ответов с длинными уравнениями, которые я не буду здесь переписывать.

Правильный ответ в):

    \[ \frac{x^3-3x-2}{3x+7}-\frac{2x-3}{5-x^2}+\frac{2x^2+x-9}{9-x^2}=0, \]

поскольку из предложенных вариантов только для данного уравнения при подстановке вместо x везде числа 2, оно обращается в верное равенство.

3. 25% учащихся 11 класса учатся только на отлично, а 50% учится только на хорошо. Число учащихся, имеющих удовлетворительные результаты, в 3 раза больше числа неуспевающих учеников. Сколько учеников в классе, если не успевают только 2 ученика?

Приходится предположить, что в классе нет учеников, которые учатся на отлично и хорошо, иначе задача не имеет решения. Поскольку неуспевающих двое, то число учеников, которые имеют удовлетворительные результаты, равно 6. Пусть всего учеников в классе x. Тогда число учащихся, которые учатся только на отлично, равно, очевидно, 0.25x. А число учащихся, которые учатся только на хорошо, соответственно, 0.5x. Тогда имеет место равенство:

    \[ x = 2+6+0.5x+0.25x\Leftrightarrow x = 32. \]

4. Решить уравнение

    \[ \sqrt{|x|+3}+\sqrt{3|x|-2}=7. \]

Введём замену t=|x| и рассмотрим функцию

    \[ y=\sqrt{t+3}+\sqrt{3t-2}. \]

Данная функция является возрастающей, так как равна сумме двух возрастающих функций. Это значит, что если эта функция принимает значение 7, то в при единственном значении t. Это значение легко угадать: t=6. То есть |x|=6, откуда получаем, что x=\pm 6.

5. Решите неравенство

    \[ x\leqslant 3-\frac{1}{x-1}. \]

Переносим все члены в левую сторону неравенства и приводим всё к общему знаменателю:

    \[ \frac{x(x-1)-3(x-1)+1}{x-1}\leqslant 0. \]

Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые:

    \[ \frac{x^2-4x+4}{x-1}\leqslant 0. \]

Воспользуемся в числителе формулой сокращённого умножения «квадрат разности»:

    \[ \frac{(x-2)^2}{x-1}\leqslant 0. \]

Теперь видно, что полученная дробь равна нулю при x=2, а отрицательна она может быть только при отрицательном знаменателе, то есть при x<1, ибо в числителе выражение стоит в квадрате. Итак, окончательный ответ: x\in(-\mathcal{1};1)\cup\{2\}.

6. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды длиной 2 наклонено к плоскости основания под углом 30º. Найти объём пирамиды.

Правильная четырёхугольная пирамида с боковым ребром, наклонённым под угол 30 градусов к основанию

1. В прямоугольном треугольнике AFE против угла A в 30º лежит катет EF, который равен половине гипотенузы AE. То есть EF = 1. Высоту пирамиды нашли. Из того же прямоугольного треугольника по теореме Пифагора находим теперь AF = \sqrt{3}.

2. В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат ABCD. Ищем его сторону. AC = 2AF = 2\sqrt{3}. Записываем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ACD: 2a^2 = 12, где a — сторона квадрата. Значит, a^2 = 6. Это есть площадь основания пирамиды.

3. Объём пирамиды равен одной трети от произведения площади её основания на высоту. Значит, искомый объём равен 2.

7. Решить уравнение

    \[ \sqrt{2+5x-3x^2}+\ln(x-1)=\sqrt{x^2+x-6}. \]

Область допустимых значений данного уравнения определяется следующей системой неравенств:

    \[ \begin{cases} 2+5x-3x^2\geqslant 0 \\ x^2+x-6\geqslant 0 \\ x-1>0. \end{cases} \]

Решая эту систему. Первые два неравенства легко решаются методом интервалов. Последнее неравенство решается автоматически:

    \[ \begin{cases} -\frac{1}{3}\leqslant a\leqslant 2 \\ a\in(-\mathcal{1};-3]\cup[2;+\mathcal{1}) \\ x>1. \end{cases} \]

В результате получаем, что в область допустимых значений входит одно единственной число x=2. Прямой подстановкой убеждаемся, что это корень данного уравнения.

8. Решить неравенство

    \[ \cos x\cdot\left(3^{x^2+1}+2\right)+2\sin^2x\geqslant 3\cdot 3^{x^2}+2. \]

Пусть 3^{x^2+1}+2 = t. При этом сразу замечаем, что t\geqslant 5. Действительно, минимальное значение выражение 3^{x^2+1}+2 принимает при x=0. Это минимальное значение равно 5. При всех остальных значениях x значение выражения будет больше 5.

С учётом этой замены неравенство можно переписать в следующем виде:

    \[ 2\sin^2x\geqslant (1 - \cos x)t. \]

Начнём с того, что значения x=2\pi n,\, n\in Z удовлетворяют этому неравенству. При всех остальных x выражением 1-\cos x положительно. Значит, для x\ne 2\pi n,\, n\in Z мы может разделить обе части последнего неравенства на это выражение, не меняя при этом знак неравенства:

(1)   \begin{equation*} \frac{2\sin^2x}{1 - \cos x}\geqslant t. \end{equation*}

Преобразуем полученное слева выражение при x\ne 2\pi n,\, n\in Z:

    \[ \frac{2\sin^2x}{1 - \cos x} = \frac{2(1-\cos^2x)}{1 - \cos x} = \]

    \[ =\frac{2(1-\cos x)(1+\cos x)}{1 - \cos x} = 2(1+\cos x). \]

Определим, какие значения может принимать полученное выражение при x\ne 2\pi n,\, n\in Z:

    \[ -1\leqslant\cos x<1\Leftrightarrow 0\leqslant 1+\cos x<2\Leftrightarrow \]

    \[ \Leftrightarrow 0\leqslant 2(1+\cos x)<4. \]

Итак, получили:

    \[ 0\leqslant \frac{2\sin^2x}{1 - \cos x}<4. \]

Но, как мы выяснили раньше, t\geqslant 5, поэтому неравенство (1) не выполняется ни при каких x.

Итак, получается, что исходное неравенство выполняется только при x=2\pi n,\, n\in Z.

9. В треугольнике ABC сторона AB = 1, сторона BC=\sqrt{2}. Биссектрисы AE и CD пересекаются в точке O. Кроме того, ∠AOC:∠ABC = 5:2. Найдите AC.

Рисунок к задаче по планиметрии из вступительного экзамена по математике в РЕУ им. Г.В. Плеханова

Для треугольника ACO имеем:

(2)   \begin{equation*} \alpha + \beta +5x = 180^{\circ}. \end{equation*}

Для треугольника ABC имеем:

(3)   \begin{equation*} 2\alpha + 2\beta +2x = 180^{\circ}. \end{equation*}

Из уравнения (2) получаем:

    \[ \alpha+\beta = 180^{\circ} - 5x. \]

Подставляем этот результат в уравнение (3) и получаем:

    \[ 2\cdot (180^{\circ} - 5x) +2x = 180^{\circ}\Leftrightarrow 2x = 45^{\circ}. \]

Для нахождения стороны AC используем теперь теорему косинусов:

    \[ AC = \sqrt{AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos\angle B} = \]

    \[ =\sqrt{3-2\cdot\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1. \]

Примечание. Параллельно, кстати, получилось, что треугольник ABC — равнобедренный и прямоугольный с прямым углом A. Но для изложенного решения это не потребовалось.

10. Найти все значения a, при которых один корень уравнения

    \[ 2ax^2-2x-3a-2=0 \]

больше 1, а другой меньше 1.


Заметим сразу, что a=0 нам не подходит, ибо в этом случае мы получаем линейное уравнение относительно x, которое не может иметь ровно двух корней.

Тогда при a\ne 0 разделим обе части уравнения на 2a:

    \[ x^2-\frac{1}{a}x-\frac{3a+2}{2a}=0. \]

Для того, чтобы данное уравнение имело два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1, нужно чтобы соответствующая парабола, ветви которой направлены вверх, пересекала прямую x=1 в точке, ордината которой лежит ниже оси OY. То есть должно быть выполнено условие:

    \[ 1^2-\frac{1}{a}\cdot 1-\frac{3a+2}{2a}<0. \]

После всех преобразований получаем:

    \[ \frac{a+4}{2a}>0. \]

Решением этого неравенства является промежуток:

a\in(-\mathcal{1};-4)\cup(0;+\mathcal{1}).

Подготовка к вступительному экзамену по математике в РЭУ им. Г.В. Плеханова

Если вам требуется подготовка к вступительному экзамену по математике в РЭУ им. Г.В. Плеханова, вы можете обратиться к репетитору, профессионально занимающемуся подготовкой абитуриентов к этому экзамену. Возможны как очные занятия, так и занятия через интернет.

Комментарии

  1. Юрий:

    в 9 задаче ****Биссектрисы AP и CM пересекаются в точке O****
    описка : точки D и Е

    1. Сергей:

      Да, спасибо, исправил в условии.

  2. Юрий:

    Очень интерсено,толково ,обстоятельно Спасибо.
    Я Ваши ролики советую своим ученикам.

    1. Сергей:

      Рад, что Вы меня смотрите и советуете своим ученикам. Скоро выйдут новые ролики по методу рационализации в логарифмических неравенствах и в неравенствах с модулем. Как раз для новоиспечённых одиннадцатиклассников, чтобы к ЕГЭ по математике готовились)

Добавить комментарий