Величина вписанного угла

Четверг, 17 декабря, 2015

В данной статье репетитором по математике и физике дается информация о том, как найти величину вписанного угла. Рассматривается определение вписанного угла, а также теорема о вписанном угле и следствия из этой теоремы. После этого дается подробный анализ решения задачи со вписанным углом.

Вписанным углом называют угол, вершина которого принадлежит окружности, а стороны пересекают эту окружность.

Rendered by QuickLaTeX.com

Например, на рисунке $\angle ABC$ — вписанный, при этом он опирается на дугу $AC$ .

Как найти величину вписанного угла

Величина вписанного угла в два раза меньше градусной меры дуги, на которую он опирается.

Rendered by QuickLaTeX.com

Например, на рисунке градусная мера дуги $AC$ равна $74^{\circ}$ . На эту дугу опирается вписанный $\angle ABC$ . Следовательно, $\angle ABC = 37^{\circ}$ .

Следствия из теоремы о вписанном угле

К это теореме есть два важным следствия и одно замечание:

	Вписанные углы, которые опираются на равные дуги (или на одну и ту же дугу), равны. Например, на рисунке: $\angle BA_1C = \angle BA_2C = \angle BA_3C$ .
	Вписанный угол, который опирается на полуокружность (иначе говоря, на диаметр окружности), равен $90^{\circ}$ . Например, на рисунке вписанный $\angle ACB$ опирается на диаметр $AB$ окружности с центром в точке $O$ . Следовательно, $\angle ACB = 90^{\circ}$ .
	Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, который опирается на ту же дугу. Например, на рисунке $\angle BAC$ — вписанный, а $\angle BOC$ — центральный. Они опираются на одну и ту же дугу $BC$ . Следовательно, $\angle BOC = 2\angle BAC$ .

Решение задачи со вписанным углом

Окружность с центром в точке $O$ описана около треугольника $ABC$ . Известно, что $\angle ABC = 106^{\circ}$ . Найдите величину $\angle AOC$ .

Rendered by QuickLaTeX.com

1. Заместим, что $\angle CBA$ — вписанный. Следовательно, градусная мера дуги $AC$ , на которую он опирается, вдвое больше его градусной меры, то есть равна $212^{\circ}$ .

2. Тогда градусная мера дуги, на которую опирается центральный угол $COA$ (это тоже дуга $AC$ , только «маленькая»), равна $360^{\circ}-212^{\circ}=148^{\circ}$ , так как градусная мера полной окружности равна $360^{\circ}$ .